絕密★啟用前2018年普通高等學校招生全國統一考試 理科數學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A． B． C． D．2．已知集合，則中元素的個數為A．9 B．8 C．5 D．43．函數的圖像大致為4．已知向量，滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．05．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．6．在中，，，，則A． B． C． D．7．為計算，設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入A．B．C．D．8．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是A． B． C． D．9．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．10．若在是減函數，則的最大值是A． B． C． D．11．已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則A． B．0 C．2 D．5012．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為__________．14．若滿足約束條件則的最大值為__________．15．已知，，則__________．16．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記為等差數列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．18．（12分）下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數據（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據2010年至2016年的數據（時間變量的值依次為）建立模型②：．（1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．學科*網19．（12分）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函數．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4－4：坐標系與參數方程]（10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）．（1）求和的直角坐標方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．23．[選修4－5：不等式選講]（10分）設函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍．參考答案:一、選擇題1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D二、填空題13. 14.9 15. 16.三、解答題17.(12分)解：（1）設的公差為d，由題意得.由得d=2.所以的通項公式為.（2）由（1）得.所以當n=4時,取得最小值,最小值為?16.18.(12分)解：（1）利用模型①,該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為(億元).利用模型②,該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為(億元).（2）利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下：（ⅰ）從折線圖可以看出,2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線上下.這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數據建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠.學.科網（ⅱ）從計算結果看,相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.19.(12分)解：（1）由題意得，l的方程為.設，由得.，故.所以.由題設知，解得（舍去），.因此l的方程為.（2）由（1）得AB的中點坐標為，所以AB的垂直平分線方程為，即.設所求圓的圓心坐標為，則解得或因此所求圓的方程為或.20.(12分)解：（1）因為，為的中點，所以，且.連結.因為，所以為等腰直角三角形，且，.由知.由知平面.（2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.由已知得取平面的法向量.設，則.設平面的法向量為.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.21．（12分）【解析】（1）當時，等價于．設函數，則．當時，，所以在單調遞減．而，故當時，，即．（2）設函數．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．故是在的最小值．學&科網①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．22．[選修44：坐標系與參數方程]（10分）【解析】（1）曲線的直角坐標方程為．當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為．（2）將的參數方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程．①因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，，則．又由①得，故，于是直線的斜率．23．[選修45：不等式選講]（10分）【解析】（1）當時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．選擇填空解析：一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根據復數除法法則化簡復數，即得結果.詳解：選D.點睛：本題考查復數除法法則，考查學生基本運算能力.2.已知集合，則中元素的個數為A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】分析：根據枚舉法，確定圓及其內部整點個數.詳解：，當時，；當時，；當時，；所以共有9個，選A.點睛：本題考查集合與元素關系，點與圓位置關系，考查學生對概念理解與識別.3.函數的圖像大致為A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】分析：通過研究函數奇偶性以及單調性，確定函數圖像.詳解：為奇函數，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．4.已知向量，滿足，，則A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】分析：根據向量模的性質以及向量乘法得結果.詳解：因為所以選B.點睛：向量加減乘：5.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.6.在中，，，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根據二倍角余弦公式求cosC,再根據余弦定理求AB.詳解：因為所以，選A.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.7.為計算，設計了下面的程序框圖，則在空白框中應填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根據程序框圖可知先對奇數項累加，偶數項累加，最后再相減.因此累加量為隔項.詳解：由得程序框圖先對奇數項累加，偶數項累加，最后再相減.因此在空白框中應填入，選B.點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環結構、偽代碼，其次要重視循環起點條件、循環次數、循環終止條件，更要通過循環規律，明確流程圖研究的數學問題，是求和還是求項.8.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先確定不超過30的素數，再確定兩個不同的數的和等于30的取法，最后根據古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點睛：古典概型中基本事件數的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.9.在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數量積求向量夾角，再根據向量夾角與線線角相等或互補關系求結果.詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.10.若在是減函數，則的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先確定三角函數單調減區間，再根據集合包含關系確定的最大值詳解：因為，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點睛：函數的性質：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，(4)由求增區間;由求減區間.11.已知是定義域為的奇函數，滿足．若，則A.B.0C.2D.50【答案】C【解析】分析：先根據奇函數性質以及對稱性確定函數周期，再根據周期以及對應函數值求結果.詳解：因為是定義域為的奇函數，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．12.已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根據條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】分析：先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式求切線方程.詳解：點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.14.若滿足約束條件則的最大值為__________．【答案】9【解析】分析：先作可行