大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版上課件D25-微分REPORTING目錄微分的定義與性質(zhì)微分法則微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在幾何學(xué)中的應(yīng)用微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用PART01微分的定義與性質(zhì)REPORTING微分的定義030201微分定義為函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，即函數(shù)在這一點(diǎn)附近的小增量與自變量增量的比值在增量趨于0時的極限。微分是函數(shù)值的增量與自變量增量的線性關(guān)系，即函數(shù)在某一點(diǎn)的變化可以近似地表示為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與自變量增量的乘積。微分可以看作是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率。常數(shù)倍性質(zhì)常數(shù)倍函數(shù)的微分為該常數(shù)與原函數(shù)微分的乘積。冪函數(shù)的微分冪函數(shù)的微分結(jié)果為冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量，再乘以冪函數(shù)的指數(shù)。線性性質(zhì)對于函數(shù)的和、差、積、商，其微分具有線性性質(zhì)，即函數(shù)的和、差、積、商的微分等于各個函數(shù)微分之和、差、積、商。微分的性質(zhì)微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的切線的斜率，而微分是函數(shù)在該點(diǎn)附近的小斜率，因此導(dǎo)數(shù)是微分的極限形式。對于可微函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的值等于該點(diǎn)的微分系數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)的切線斜率。導(dǎo)數(shù)和微分都是描述函數(shù)局部變化特性的工具，導(dǎo)數(shù)描述的是函數(shù)在一點(diǎn)的變化率，而微分描述的是函數(shù)在一點(diǎn)附近的變化率。PART02微分法則REPORTING如果函數(shù)u和v是可微的，那么它們的和、差、數(shù)乘的微分等于它們微分的和、差、數(shù)乘。即，d(u±v)=du±dv，d(ku)=kudv。在計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的微分時，可以將函數(shù)拆分成簡單的部分，利用線性法則分別求出各部分的微分，再根據(jù)需要組合起來。線性法則應(yīng)用線性法則乘積法則乘積法則如果兩個函數(shù)的乘積是可微的，那么它們的微分的乘積等于乘積的微分。即，d(uv)=udv+vdu。應(yīng)用在計(jì)算乘積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，可以利用乘積法則將導(dǎo)數(shù)拆分成兩部分，分別對每一部分進(jìn)行求導(dǎo)，再根據(jù)需要組合起來。商的微分法則如果兩個函數(shù)的商是可微的，那么商的微分等于被除數(shù)的微分除以除數(shù)減去除數(shù)的微分乘以被除數(shù)。即，d(u/v)=(du/v-udv/v2)。應(yīng)用在計(jì)算商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，可以利用商的微分法則將導(dǎo)數(shù)拆分成兩部分，分別對每一部分進(jìn)行求導(dǎo)，再根據(jù)需要組合起來。商的微分法則如果一個復(fù)合函數(shù)是可微的，那么它的微分等于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分。即，d(f(g(x)))=f'(g(x))*g'(x)dx。復(fù)合函數(shù)的微分法則在計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，可以利用復(fù)合函數(shù)的微分法則將導(dǎo)數(shù)拆分成兩部分，分別對每一部分進(jìn)行求導(dǎo)，再根據(jù)需要組合起來。應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的微分法則PART03微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用REPORTINGVS一階導(dǎo)數(shù)可以用于判斷函數(shù)在某點(diǎn)的增減性，從而確定函數(shù)值在該點(diǎn)的近似值。例如，當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為正時，函數(shù)在該點(diǎn)附近的值會增大，反之則會減小。因此，可以利用一階導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)值的近似值。泰勒展開式泰勒展開式是一階導(dǎo)數(shù)在近似計(jì)算中的重要應(yīng)用之一。它將一個復(fù)雜的函數(shù)表示為多項(xiàng)式的和，其中多項(xiàng)式的系數(shù)由函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)確定。通過泰勒展開式，可以近似計(jì)算函數(shù)的值，并得到高精度的結(jié)果。一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)可以用于判斷函數(shù)在某點(diǎn)的凹凸性，從而確定函數(shù)值在該點(diǎn)的近似值。例如，當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時，函數(shù)在該點(diǎn)附近的值會先減小后增大，反之則會先增大后減小。因此，可以利用二階導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)值的近似值。牛頓法是一種利用二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算的數(shù)值方法。它通過迭代的方式逐步逼近函數(shù)的根或極值點(diǎn)，每次迭代都利用二階導(dǎo)數(shù)來計(jì)算下一個迭代點(diǎn)的位置。牛頓法的收斂速度較快，因此在求解方程和優(yōu)化問題中廣泛應(yīng)用。二階導(dǎo)數(shù)牛頓法二階導(dǎo)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)可以用于更精確地描述函數(shù)的性質(zhì)，從而在近似計(jì)算中提供更高的精度。例如，高階導(dǎo)數(shù)可以用于確定函數(shù)的拐點(diǎn)、極值點(diǎn)和漸近線等重要特征。因此，在某些情況下，利用高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算可以得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值是一種利用高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算的方法。它通過構(gòu)造一個多項(xiàng)式來逼近給定的函數(shù)，并利用高階導(dǎo)數(shù)來確定多項(xiàng)式的系數(shù)。多項(xiàng)式插值在數(shù)值分析和工程計(jì)算中廣泛應(yīng)用，可以用于數(shù)據(jù)擬合、函數(shù)逼近和數(shù)值積分等領(lǐng)域。高階導(dǎo)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用PART04微分在幾何學(xué)中的應(yīng)用REPORTING切線斜率微分可以用來求曲線在某一點(diǎn)的切線斜率，即該點(diǎn)處曲線切線的斜率。要點(diǎn)一要點(diǎn)二法線斜率法線是與切線垂直的線，微分同樣可以用來求曲線在某一點(diǎn)的法線斜率。切線斜率與曲線在某點(diǎn)的法線斜率曲線的切線與法線方程的求解通過微分得到切線斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，可以求解曲線的切線方程。切線方程利用切線斜率和法線斜率的乘積為-1的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，可以求解曲線的法線方程。法線方程局部變化率微分可以用來描述曲線在某一點(diǎn)的局部變化率，即該點(diǎn)附近曲線形狀的變化快慢。曲率曲率是描述曲線彎曲程度的量，通過微分可以計(jì)算出曲線的曲率，進(jìn)而分析曲線的彎曲程度和變化趨勢。曲線的局部變化率與曲率PART05微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用REPORTING在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本是指企業(yè)在生產(chǎn)過程中增加一個單位產(chǎn)量所需要增加的成本。通過計(jì)算邊際成本，企業(yè)可以了解生產(chǎn)過程中的成本變化情況，從而做出更合理的決策。邊際成本邊際收益是指企業(yè)在銷售過程中增加一個單位銷售量所獲得的收益。通過計(jì)算邊際收益，企業(yè)可以了解銷售過程中的收益變化情況，從而制定更有效的銷售策略。邊際收益導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用需求彈性需求彈性是指商品需求量對價格變動反應(yīng)的敏感程度。通過計(jì)算需求彈性，企業(yè)可以了解市場需求對價格變動的反應(yīng)，從而制定更有效的定價策略。供給彈性供給彈性是指商品供給量對價格變動反應(yīng)的敏感程度。通過計(jì)算供給彈性，企業(yè)可以了解市場供給對價格變動的反應(yīng)，從而制定更有效的生產(chǎn)策略。導(dǎo)數(shù)在彈性分析中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)問題求解中的應(yīng)用最優(yōu)產(chǎn)量在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，最優(yōu)產(chǎn)量是指企業(yè)在生產(chǎn)過程中實(shí)