[練案10]第七講對數與對數函數A組基礎鞏固一、單選題1．計算：(lgeq\f(1,4)－lg25)÷100－eq\f(1,2)＝(D)A．1 B．eq\f(1,10)C．－10 D．－20[解析]原式＝(lg2－2－lg52)×100eq\f(1,2)＝lg(eq\f(1,22×52))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.故選D.2．函數y＝eq\f(1,log2x－2)的定義域是(C)A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,log2x－2≠0，))所以x>2且x≠3.3．(2020·河南鄭州模擬)函數y＝3＋loga(2x＋3)的圖象必經過定點的坐標為(A)A．(－1,3) B．(－1,4)C．(0,3) D．(2,2)[解析]因為當x＝－1時，y＝3＋0＝3，所以該函數的圖象必經過定點(－1,3)，故選A.4．函數f(x)＝logeq\s\do4(\f(1,2))(x2－4)的單調遞增區間為(D)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)[解析]函數y＝f(x)的定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因為函數y＝f(x)是由y＝logeq\s\do4(\f(1,2))t與t＝g(x)＝x2－4復合而成，又y＝logeq\s\do4(\f(1,2))t在(0，＋∞)上單調遞減，g(x)在(－∞，－2)上單調遞減，所以函數y＝f(x)在(－∞，－2)上單調遞增．選D.5．(2020·浙江金華模擬)已知函數f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝eq\f(1,2)，則f(－a)＝(D)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]f(－a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)＝lg(eq\f(1－a,1＋a))－1＝－f(a)＝－eq\f(1,2)，故選D.6．(2020·河南洛陽尖子生聯考)設a＝log36，b＝log510，c＝log714，則(D)A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c[解析]由已知可得a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72,0<log23<log25<log27?log32>log52>log72?log32＋1>log52＋1>log72＋1?a>b>c.二、多選題7．在同一直角坐標系中，函數y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))(a>0，且a≠1)的圖象不可能是(ABC)[解析]解法一：若0<a<1，則函數y＝eq\f(1,ax)是增函數，y＝loga(x＋eq\f(1,2))是減函數且其圖象過點(eq\f(1,2)，0)，結合選項可知，選項D可能成立；若a>1，則y＝eq\f(1,ax)是減函數，而y＝loga(x＋eq\f(1,2))是增函數且其圖象過點(eq\f(1,2)，0)，結合選項可知，沒有符合的圖象．故選A、B、C.解法二：分別取a＝eq\f(1,2)和a＝2，在同一坐標系內畫出相應函數的圖象(圖略)，通過對比可知D正確，故選A、B、C.8．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do4(\f(1,2))－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，則實數a的取值范圍可以是(AD)A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)[解析]當a>0時，f(a)>f(－a)，即log2a>logeq\s\do4(\f(1,2))a，解得：a>1，當a<0時，f(a)>f(－a)即logeq\s\do4(\f(1,2))(－a)>log2(－a)，解得：－1<a<0，綜上，a∈(－1,0)∪(1，＋∞)，故選A、D.三、填空題9．(2020·河南信陽質量檢測)若aeq\s\up4(\f(3,4))＝eq\f(8,27)(a>0)，則logeq\s\do4(\f(2,3))a＝__4__.[解析]∵aeq\f(3,4)＝eq\f(8,27)＝(eq\f(2,3))3(a>0)，∴aeq\f(1,4)＝eq\f(2,3)，∴a＝(eq\f(2,3))4，∴logeq\s\do4(\f(2,3))a＝4.10．(2020·云南玉溪模擬)f(x)＝(logeq\s\do4(\f(1,2))a)x在R上為減函數，則實數a的取值范圍是eq\f(1,2)<a<1.[解析]∵f(x)＝(logeq\s\do4(\f(1,2))a)x在R上為減函數，∴0<logeq\s\do4(\f(1,2))a<1，即logeq\s\do4(\f(1,2))1<logeq\s\do4(\f(1,2))a<logeq\s\do4(\f(1,2))eq\f(1,2).∴eq\f(1,2)<a<1.11．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數a的取值范圍是__(1,2]__.[解析]當x≤2時，f(x)≥4；又函數f(x)的值域為[4，＋∞)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,3＋loga2≥4，))解1<a≤2.所以實數a的取值范圍為(1,2]．故填(1,2]．12．(2019·全國卷Ⅲ)已知函數f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝__－2__.[解析]由題意得f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1＋ln(eq\r(1＋x2)＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝－2.故填－2.四、解答題13．(2020·天津一中月考)設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區間[0，eq\f(3,2)]上的最大值．[解析](1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得x∈(－1,3)，∴函數f(x)的定義域為(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴當x∈(－1,1]時，f(x)是增函數，當x∈(1,3)時，f(x)是減函數，故函數f(x)在[0，eq\f(3,2)]上的最大值是f(1)＝log24＝2.14．已知函數f(x)＝logeq\s\do4(\f(1,2))(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定義域為R，求實數a的取值范圍；(2)若函數f(x)的值域為R，求實數a的取值范圍；(3)若函數f(x)在[－1，＋∞)內有意義，求實數a的取值范圍；(4)若函數f(x)的值域為(－∞，－1]，求實數a的值．[解析](1)由f(x)的定義域為R，知x2－2ax＋3>0的解集為R，則Δ＝4a2－12<0，解得－eq\r(3)<a<eq\r(3).所以a的取值范圍為(－eq\r(3)，eq\r(3))．(2)函數f(x)的值域為R等價于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0?a≤－eq\r(3)或a≥eq\r(3).所以實數a的取值范圍是(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)內有意義，知u(x)＝x2－2ax＋3>0對x∈[－1，＋∞)恒成立，因為y＝u(x)圖象的對稱軸為x＝a，所以當a<－1時，u(x)min＝u(－1)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,2a＋4>0，))解得－2<a<－1；當a≥－1時，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－eq\r(3)<a<eq\r(3)，所以－1≤a<eq\r(3).綜上可知，a的取值范圍為(－2，eq\r(3))．(4)因為y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域為[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，則有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.B組能力提升1．(多選題)(2020·山東煙臺模擬)已知logaeq\f(3,4)<1(a>0且a≠1)，則實數a的取值范圍可以是(AD)A．(0，eq\f(3,4)) B．(eq\f(3,4)，＋∞)C．(eq\f(3,4)，1) D．(1，＋∞)[解析]∵logaeq\f(3,4)<1＝logaa，故當0<a<1時，y＝logax為減函數，0<a<eq\f(3,4)；當a>1時，y＝logax<0，∴a>1，綜上知A、D正確．2．(2020·河北省定州市高三上學期期中考試)已知函數y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A也在函數f(x)＝3x＋b的圖象上，則f(log32)為(A)A．eq\f(8,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,9)[解析]當x＋3＝1時，y＝－1，所以A(－2，－1)；當x＝－2時，－1＝3－2＋b，∴b＝－eq\f(10,9)，∴f(log32)＝3log32－eq\f(10,9)＝eq\f(8,9)，故選A.3．(2020·甘肅會寧模擬)設函數f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，eq\f(1,4)≤x≤4，則f(x)的最大值為(C)A．10 B．11C．12 D．13[解析]設t＝log2x，∵eq\f(1,4)≤x≤4，∴－2≤t≤2，∴f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，令g(t)＝(t＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，－2≤t≤2，∴當t＝2，即x＝4時，g(t)取得最大值g(2)＝12，即f(x)的最大值為12，故選C.4．設a，b，c均為正數，且2a＝logeq\f(1,2)a，(eq\f(1,2))b＝logeq\s\do4(\f(1,2))b，(eq\f(1,2))c＝log2c，則(A)A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c[解析]a，b，c均為正數，將a，b，c分別看成是函數圖象的交點的橫坐標．分別畫y＝2x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝log2x，y＝logeq\s\do4(\f(1,2))x圖象如圖．由圖形可知：a<b<c.故選A.5．(2020·安徽蚌埠月考)已知函數f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函數．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求實數m的取值范圍．[解析](1)由函數f(x)是偶函數，可知f(x)＝f(－x)，所以log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx