課后作業(yè)(二)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、選擇題1．(2012·浙江高考)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝0，b＝0”的逆否命題是()A．若a2＋b2≠0，a，b∈R，則a≠0或b≠0B．若a≠0且b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0C．若a＝0或b＝0，則a2＋b2＝0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠03．(2013·宿州模擬)下列命題：①“若a2＜b2，則a＜b”的否命題；②“全等三角形面積相等”的逆命題；③“若a＞1，則ax2－2ax＋a＋3＞0的解集為R”的逆否命題；④“若eq\r(3)x(x≠0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題．其中正確的命題是()A．③④ B．①③ C．①② D．②④4．設(shè)M＝{1，2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件5．(2012·蚌埠二模)設(shè)p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，則綈p是綈q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．a(chǎn)，b為非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)為一次函數(shù)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題7．命題“若m＞0，則關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為________．8．(2013·溫州模擬)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．9．“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”的充要條件是________．三、解答題10．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)寫出否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫出逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(x2－x－2)的定義域為集合A，函數(shù)g(x)＝eq\r(\f(3,x)－1)的定義域為集合B.已知α：x∈A∩B，β：x滿足2x＋p≤0，且α是β的充分條件，求實數(shù)p的取值范圍．12．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.解析及答案一、選擇題1．【解析】若直線l1與l2平行，則a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件．【答案】A2．【解析】“若p，則q”的逆否命題為“若綈q，則綈p”，又“a＝0，b＝0”的否定為“a≠0或b≠0”，故所求逆否命題為“若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0”【答案】D3．【解析】①中否命題為“若a2≥b2，則a≥b”是假命題；②中逆命題為“若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形是全等三角形”是假命題；③中原命題正確，則其逆否命題也正確；④中原命題正確，則其逆否命題也正確，故選A.【答案】A4.【解析】因為“a＝1”，即N＝{1}，滿足“N?M”；反之“N?M”，則N＝{a2}＝{1}或N＝{a2}＝{2}，不一定有“a＝1”．【答案】A5．【解析】依題意，綈p：－1≤x≤1；綈q：－2≤x≤1，且{x|－1≤x≤1}?{x|－2≤x≤1}，因此綈p是綈q的充分不必要條件，選A.【答案】A6．【解析】函數(shù)f(x)＝x2a·b－(a2－b2)x－a·b當(dāng)函數(shù)f(x)是一次函數(shù)時，必然要求a·b＝0，即a⊥b.但當(dāng)a⊥b，|a|＝|b|時，函數(shù)f(x)不是一次函數(shù)，故條件是必要而不充分的．【答案】B二、填空題7．【解析】由Δ＝1＋4m≥0得m≥－eq\f(1,4)，故原命題及其逆否命題是真命題，逆命題“若關(guān)于x的方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根，則m＞0”，是假命題；從而否命題也是假命題．故共有2個真命題．【答案】28．【解析】由題意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴綈p：x＜1或x＞5.q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.又∵綈p是綈q的充分而不必要條件，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≥1，,m＋1≤5.))∴2≤m≤4.【答案】[2，4]9．【解析】當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)＝|x－1|在區(qū)間(－∞，1]上為減函數(shù)，在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，必須且只需a≤1即可．【答案】a≤1三、解答題10．【解】(1)否命題：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b＜0，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．該命題是真命題，證明如下：∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命題為真命題．(2)逆否命題：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，則a＋b＜0.真命題，可證明原命題為真來證明它．因為a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命題為真命題，所以逆否命題為真命題．11．【解】依題意，得A＝{x|x2－x－2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝{x|eq\f(3,x)－1≥0}＝(0，3]，∴A∩B＝(2，3]．設(shè)集合C＝{x|2x＋p≤0}，則x∈(－∞，－eq\f(p,2)]．∵α是β的充分條件，∴(A∩B)?C.則需滿足3≤－eq\f(p,2)?p≤－6.∴實數(shù)p的取值范圍是(－∞，－6]．12．【證明】必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，則x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.充分