專題21.10一元二次方程的應用綜合-重難點題型【人教版】【題型1與一元二次方程有關的三角形動點問題】【例1】（2020秋?興城市月考）如圖，在△ABC內，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點P從A點出發，以1cm/s的速度向B點移動，點Q從B點出發，以2cm/s的速度向C點移動，當其中一個動點到達終點時，另一動點也隨之停止運動，當如果P、Q兩點同時出發，經過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【解題思路】過點Q作QE⊥PB于E，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出QE=12QB，設經過t秒后△PBQ得面積等于4cm2，則PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根據△PBQ的面積等于4cm2，即可得出關于【解答過程】解：如圖，過點Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE=12設經過t秒后△PBQ得面積等于4cm2，則PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根據題意得：12?（6﹣t）?t整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．當t＝4時，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，∴t＝2．答：經過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【變式1-1】（2020秋?茶陵縣期末）如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，現有動點P從點B出發，沿射線BA方向運動，動點Q從點C出發，沿射線CA方向運動，已知點P的速度是2cm/s，點Q的速度是1cm/s，它們同時出發，設運動時間是ts（t＞0）．（1）當t＝4時，求△APQ的面積．（2）經過多少秒時，△APQ的面積是△ABC面積的一半．【解題思路】（1）根據點P的速度是2cm/s，點Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面積公式求解；（2）設經過t秒△APQ的面積是△ABC面積的一半，則BP＝2tcm，CQ＝2tcm，進而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，利用面積公式表示出方程求解但是由于題目給的是射線，注意分類討論．【解答過程】解：（1）∵點P的速度是2cm/s，點Q的速度是1m/s，當t＝4時，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，∴AP＝4cm，AQ＝4cm，∴S△APQ=12×4×4＝8（（2）設經過t秒△APQ的面積是△ABC面積的一半．根據題意得：12S△ABC=12×當0＜t＜6時如圖1：S△APQ=12（12﹣2t）（8﹣整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12（舍去）或t＝2．當6＜t＜8時如圖2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣整理得t2﹣14t+72＝0，△＜0，無解．當t＞8時如圖3：S△APQ=12（2t﹣12）（整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．綜上所述：經過2秒或12秒△APQ的面積是△ABC面積的一半．【變式1-2】（2021?廣州模擬）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A，B同時出發，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．（2）若P點沿射線AB方向從A點出發以1cm/s的速度移動，點Q沿射線CB方向從C點出發以2cm/s的速度移動，P、Q同時出發，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？【解題思路】（1）設經過x秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，根據面積之間的等量關系和判別式即可求解；（2）分三種情況：①點P在線段AB上，點Q在線段CB上（0＜t≤4）；②點P在線段AB上，點Q在線段CB上（4＜t≤6）；③點P在射線AB上，點Q在射線CB上（t＞6）；進行討論即可求解．【解答過程】解：（1）設經過x秒，線段PQ能將△ABC分成面積相等的兩部分由題意知：AP＝x，BQ＝2x，則BP＝6﹣x，∴12（6﹣x）?2x=∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程無解，∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；（2）設t秒后，△PBQ的面積為1①當點P在線段AB上，點Q在線段CB上時此時0＜t≤4由題意知：12（6﹣t）（8﹣2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2（不合題意，應舍去），t2＝5?②當點P在線段AB上，點Q在線段CB的延長線上時此時4＜t≤6，由題意知：12（6﹣t）（2t整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③當點P在線段AB的延長線上，點Q在線段CB的延長線上時此時t＞6，由題意知：12（t﹣6）（2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2，t2＝5?綜上所述，經過5?2秒、5秒或5+2秒后，△【變式1-3】（2020秋?鶴城區期末）已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．（1）如果P，Q分別從A，B同時出發，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時出發，那么幾秒后，PQ的長度等于210cm（3）△PQB的面積能否等于7cm2？請說明理由．【解題思路】（1）經過x秒鐘，△PBQ的面積等于4cm2，根據點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）令S△PQB＝7，根據三角形的面積公式列出方程，再根據b2﹣4ac得出原方程沒有實數根，從而得出△PQB的面積不能等于7cm2．【解答過程】解：（1）設經過x秒以后，△PBQ面積為4cm2（0＜x≤3.5）此時AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由12BP?BQ=4，得整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍）；答：1秒后△PBQ的面積等于4cm2；（2）設經過t秒后，PQ的長度等于210cm，由PQ2＝BP2+BQ即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或3．則3秒后，PQ的長度為210（3）假設經過t秒后，△PBQ的面積等于7cm2，即BP×BQ2=7整理得：t2﹣5t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，則原方程沒有實數根，所以△PQB的面積不能等于7cm2．【題型2與一元二次方程有關的四邊形動點問題】【例2】（2020秋?天寧區校級月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點P從點A出發沿AB以2cm/s的速度向點B運動；同時，點Q從點B出發沿BC以1cm/s的速度向點C運動，點P運動到點B時，點Q也停止運動；當△PQC的面積等于16cm2時，運動時間為s．【解題思路】設運動時間為xs（0≤x≤6），則PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面積的計算公式結合△PQC的面積等于16cm2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【解答過程】解：設運動時間為xs（0≤x≤6），則PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，依題意，得：12（12﹣2x）（6﹣x整理，得：x2﹣12x+20＝0，解得：x1＝2，x2＝10（不合題意，舍去）．故答案為：2．【變式2-1】（2021秋?渭濱區校級期中）如圖，在邊長為6cm正方形ABCD中，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC和CD邊向D點以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、B同時出發，其中一點到終點，另一點也隨之停止．過了秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2．【解題思路】設經過x秒，△PBQ的面積等于8cm2，分類討論當0＜x＜3秒時，Q點在BC上運動，P在AB上運動，求出面積的表達式，求出一個值，當3＜x＜6秒時，Q點在CD上運動，P在AB上運動，根據條件列出一個一元一次方程，求出一個值．【解答過程】解：設經過x秒，△PBQ的面積等于8cm2，當0＜x＜3秒時，Q點在BC上運動，P在AB上運動，PB＝6﹣x，BQ＝2x，所以S△PBQ=12PB?BQ=12×解得x＝2或4，又知x＜3，故x＝2符合題意，當3＜x＜6秒時，Q點在CD上運動，P在AB上運動，S△PBQ=12（6﹣解得x=10故答案為：2或103【變式2-2】（2020秋?江岸區校級月考）如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝6cm，動點P，Q分別從點A，C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達點B為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動（1）P，Q兩點從出發開始到幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2？（2）P，Q兩點從出發開始到幾秒時，點P和點Q的距離第一次是10cm？【解題思路】當運動時間為t秒時，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）利用梯形的面積公式結合四邊形PBCQ的面積為33cm2，即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）過點Q作QM⊥AB于點M，則PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理結合PQ＝10cm，即可得出關于t的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【解答過程】解：當運動時間為t秒時，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）依題意，得：12×（16﹣3t+2解得：t＝5．答：P，Q兩點從出發開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2．（2）過點Q作QM⊥AB于點M，如圖所示．∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：t1=85，t2答：P，Q兩點從出發開始到85秒時，點P和點Q的距離第一次是10cm【變式2-3】如圖，菱形ABCD中，AC，BD交于點O，AC＝8cmBD＝6cm，動點M從A點出發沿AC方向以2cm/s勻速直線運動到C點，動點N從B點出發沿BD方向以1cm/s勻速直線運動到D點，若M，N同時出發，設運動時間為t秒：（1）當t＝1秒時，M，N兩點之間的距離是多少？（2）當2＜t＜3時，用含t的代數式表示OM的長；設W＝MN2，求W關于t的函數關系式；（3）當t為何值時，△MON的面積為14cm2【解題思路】（1）利用菱形的性質得出OM、ON，利用勾股定理得出MN即可；（2）當2＜t＜3時，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，利用勾股定理求得MN的平方即可；（3）根據點M、N運動過程中與O點的位置關系，分當t＜2時，點M在線段AO上，點N在線段BO上、當2＜t＜3時，點M在線段OC上，點N在線段BO上和當t＞3時，點M在線段OC上，點N在線段OD上三種情況分別討論，利用三角形的面積建立方程求得答案即可．【解答過程】解：（1）∵菱形ABCD中，AC＝8cmBD＝6cm，∴OA＝4，OB＝3，∵當t＝1秒時，OM＝4﹣2＝2，ON＝3﹣1＝2，∴MN=22+（2）當2＜t＜3時，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，W＝MN2＝OM2+ON2＝（2t﹣4）2+（3﹣t）2＝5t2﹣22t+25；（3）①當t＜2時，點M在線段AO上，點N在線段BO上．12（4﹣2t）（3﹣t）=解得t1=5+22，t∵t＜2，∴t=5?②當2＜t＜3時，點M在線段OC上，點N在線段BO上，12（2t﹣4）（3﹣t）=解得t1＝t2=5③當t＞3時，點M在線段OC上，點N在線段OD上，12（2t﹣4）（t﹣3）=解得t1=5+22，t∵t＞3，∴t=5+綜上所述，出發后5?22s或52s或5+22s時，△MON【題型3一元二次方程與一次函數的綜合】【例3】（2020春?平潭縣校級月考）北京國家體育場“鳥巢”的模型深受游客喜愛．圖中折線（AB∥CD∥x軸）反映了某種規格“鳥巢”模型的單價y（元）與購買數量x（個）之間的函數關系．（1）求當10≤x≤20時，y與x的函數關系式；（2）已知某旅游團購買該種規格的“鳥巢”模型的總金額為2625元，問該旅游團共購買這種模型多少個？（總金額＝數量×單價）【解題思路】（1）設出一次函數解析式，把B、C兩點的坐標代入可得所求函數關系式；（2）所用金額既不是200的倍數，也不是150的倍數，可得模型的單價在150和200之間，根據總價等于2625得到一元二次方程，求解即可．【解答過程】解：（1）當10≤x≤20時，設y＝kx+b（k≠0）（11分）依題意，得10k+b=20020k+b=150解得k=?5b=250∴當10≤x≤20時，y＝﹣5x+250；（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x＜20，依題意，得xy＝x（﹣5x+250）＝2625，即x2﹣50x+525＝0，解得x1＝15，x2＝35（舍去）∴只取x＝15．答：該旅游團共購買這種模型15個．【變式3-1】（2021春?天心區期末）為積極響應新舊功能轉換，提高公司經濟效益，某科技公司近期研發出一種新型高科技設備，每臺設備成本價為30萬元，經過市場調研發現，每臺售價為35萬元時，年銷售量為550臺；每臺售價為40萬元時，年銷售量為500臺．假定該設備的年銷售量y（單位：臺）和銷售單價x（單位：萬元）成一次函數關系．（1）求年銷售量y與銷售單價x的函數關系式；（2）根據相關規定，此設備的銷售單價不得高于60萬元，如果該公司想獲得8000萬元的年利潤，則該設備的銷售單價應是多少萬元？【解題思路】（1）根據點的坐標，利用待定系數法即可求出年銷售量y與銷售單價x的函數關系式；（2）設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數量為（﹣10x+900）臺，根據總利潤＝單臺利潤×銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出結論．【解答過程】解：（1）設年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），將（35，550）、（40，500）代入y＝kx+b，得35k+b=55040k+b=500解得：k=?10b=900∴年銷售量y與銷售單價x的函數關系式為y＝﹣10x+900；（2）設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數量為（﹣10x+900）臺，根據題意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000．整理，得：x2﹣120x+3500＝0，解得：x1＝50，x2＝70．∵此設備的銷售單價不得高于60萬元，∴x＝50．答：該設備的銷售單價應是50萬元/臺．【變式3-2】（2020春?西湖區校級月考）某商店代銷一種智能學習機，促銷廣告顯示“如果購買不超過40臺學習機，則每臺售價800元，如果超出40臺，則每超過1臺，每臺售價將均減少5元”該學習機的進貨價與進貨數量關系如圖所示：（1）當x＞40時，用含x的代數式表示每臺學習機的售價；（2）當該商店一次性購進并銷售學習機60臺，每臺學習機可以獲利多少元；（3）若該商店在一次銷售中獲利4800元，則該商店可能購進并銷售學習機多少臺．【解題思路】（1）根據如果超出40臺，則每超過1臺，每臺售價將均減少5元，可列式；（2）先根據待定系數法計算直線的解析式，再計算x＝60時的進價和售價，可得利潤；（3）分當x＞40和當x≤40時，分別計算每臺的售價，列方程解出即可．【解答過程】解：（1）由題意得：當x＞40時，每臺學習機的售價為（單位：元）：800﹣5（x﹣40）＝﹣5x+1000；（2）設圖中直線解析式為：y＝kx+b，把（0，700）和（50，600）代入得：50k+b=600b=700解得：k=?2b=700直線解析式為：y＝﹣2x+700，當x＝60時，進價為：y＝﹣2×60+700＝580，售價為：800﹣5×（60﹣40）＝700，則每臺學習機可以獲利：700﹣580＝120（元）；（3）當x＞40時，每臺學習機的利潤是：（﹣5x+1000）﹣（﹣2x+700）＝﹣3x+300，則x（﹣3x+300）＝4800，解得：x1＝80，x2＝20（舍），當x≤40時，每臺學習機的利潤是：800﹣（﹣2x+700）＝2x+100，則x（2x+100）＝4800，解得：x1＝30，x2＝﹣80（舍），答：則該商店可能購進并銷售學習機80臺或30臺．【變式3-3】（2020秋?麻城市校級月考）某商店以20元/千克的單價新進一批商品，經調查發現，在一段時間內，銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數關系如圖所示．①求y與x之間的函數關系式；②若某段時間內該商品的銷售單價為70元，則銷售利潤為多少元？（利潤＝（銷售單價﹣進價）×銷售量）③要使銷售利潤達到800元，則銷售單價應定為每千克多少元？④在一段時間內，銷售利潤能達到1000元嗎？若能，求出此時的銷售單價；若不能，說明理由．【解題思路】①當20≤x≤80時，利用待定系數法即可得到y與x的函數表達式；②把x＝70代入函數式求得銷量，然后由利潤＝（銷售單價﹣進價）×銷售量求得答案；③根據銷售利潤達到800元，可得方程，解方程即可得到銷售單價；④根據銷售利潤達到1000元，可得方程，解方程即可得到銷售單價．【解答過程】解：①當0＜x＜20時，y＝60；當20≤x≤80時，設y與x的函數表達式為y＝kx+b，把（20，60），（80，0）代入，可得60=20k+b0=80k+b解得k=?1b=80∴y＝﹣x+80，∴y與x的函數表達式為y=60(0≤x≤20)②把x＝70代入y＝﹣x+80，得到：y＝﹣70+80＝10，故w＝（70﹣20）×10＝500（元）；③若銷售利潤達到800元，若20≤x≤80，則（x﹣20）（﹣x+80）＝800，解得x1＝40，x2＝60，若0＜x＜20，則（x﹣20）×60＝800，解得x=100∴要使銷售利潤達到800元，銷售單價應定為每千克40元或60元．④根據題意，得（x﹣20）（﹣x+80）＝1000，整理，得x2﹣100x+2600＝0．因為△＝1002﹣4×2600＝﹣400＜0，所以方程無實數根，所以不能達到1000元．【題型4與一元二次方程有關的閱讀探究問題】【例4】（2020秋?洛寧縣月考）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，那么稱這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“減半”矩形．任務：當矩形的長為8，寬為1時，它是否存在“減半”矩形？如果存在，請求出“減半”矩形的長和寬；如果不存在，請說明理由．【解題思路】假設存在，設“減半”矩形的長為x，則寬為（92?x），根據矩形的面積公式，即可得出關于【解答過程】解：假設存在，設“減半”矩形的長為x，則寬為（92?依題意，得：x（92?x）整理，得：x2?92解得：x1=9+174，x當x=9+174時，9當x=9?174時，9∴長為8，寬為1的矩形存在“減半”矩形，且“減半”矩形的長為9+174，寬為【變式4-1】（2020秋?樂清市期末）閱讀探究：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）（1）當已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組x+y=72xy=3，消去y化簡得：2x2∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴滿足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？【解題思路】（1）利用求根公式即可求出方程的兩根；（2）仿照（1）找準關于x的一元二次方程，由根的判別式△＝﹣7＜0，可得出方程無解，即不存在滿足要求的矩形B；（3）仿照（1）找準關于x的一元二次方程，由根的判別式△≥0，可找出m、n之間的關系．【解答過程】解：（1）利用求根公式可知：x1=7?12×2=32故答案為：32（2）設所求矩形的兩邊分別是x和y，根據題意得：x+y=3消去y化簡得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴該方程無解，∴不存在滿足要求的矩形B．（3）設所求矩形的兩邊分別是x和y，根據題意得：x+y=m+n消去y化簡得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故當m、n滿足（m﹣n）2≥4mn時，矩形B存在．【變式4-2】（2020?任城區三模）閱讀下面材料：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，它通常用字母d表示，我們可以用公式S＝na+n(n?1)2×d來計算等差數列的和．（公式中的n例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10?1)用上面的知識解決下列問題．（1）計算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某縣決定對坡荒地進行退耕還林．從2009年起在坡荒地上植樹造林，以后每年植樹后坡荒地的實際面積按一定規律減少，如表為2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面積的統計數據．問到哪一年，可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木．2009年2010年2011年2012年植樹后坡荒地的實際面積（公頃）25200240002240020400【解題思路】（1）利用材料中的公式解答；（2）設在2009年的基礎上，再過x年可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹木．從表格中可以看到2010年坡荒地是面積減少了1200公頃，則依次減少的公頃數是1600，2000+…+400（x﹣1），根據2009年植樹后坡荒地是實際面積是25200公頃列方程求解．【解答過程】解：（1）2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116＝20×2+20×19（2）解：設再過x年可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹木．根據題意，得1200x+x(x?1)（x﹣9）（x+14）＝0，x＝9或x＝﹣14（負值舍去）．答：到2017年，可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹木．【變式4-3】（2020秋?順昌縣校級月考）實驗與探究：三角點陣前n行的點數計算．如圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點…容易發現，10是三角點陣中前4行的點數的和，你能發現300是前多