第第頁(yè)專(zhuān)題02《三角形》壓軸題真題分類(lèi)-高分必刷題（原卷版）專(zhuān)題簡(jiǎn)介：本份資料包含《三角形》這一章中求角度的的四種類(lèi)型的常考?jí)狠S題，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題，具體包含的題型有：與內(nèi)角外角平分線有關(guān)的壓軸題、與8字模型有關(guān)的壓軸題、與燕尾模型有關(guān)的壓軸題、與動(dòng)角有關(guān)的壓軸題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者學(xué)生考前刷題時(shí)使用。題型一：與內(nèi)角外角平分線有關(guān)的壓軸題1.（上海）（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點(diǎn)為，，求的度數(shù)．（2）如圖，和分別平分和，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，且B、P、D三點(diǎn)共線，，則_________．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)在直線外時(shí)，如下圖：，，求的度數(shù)．

2．∠MOQ＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM、OQ上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．(1)如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度數(shù)．(2)如圖2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI于點(diǎn)D．①若∠BAO＝40°，則∠ADB＝°；②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ADB是否發(fā)生變化，若不變，試求∠ADB的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化規(guī)律．

3．（江蘇）直線與直線垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知分別是和角的平分線，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出的大?。?）如圖2，已知不平行分別是和的角平分線，又分別是和的角平分線，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出的度數(shù)．（3）如圖3，延長(zhǎng)至G，已知的角平分線與的角平分線及反向延長(zhǎng)線相交于，在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則的度數(shù)為_(kāi)___（直接寫(xiě)答案）

4．已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，滿(mǎn)足：點(diǎn)A在y軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上移動(dòng)，點(diǎn)C為y軸右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)．（1）若點(diǎn)A（0，a）和點(diǎn)B（b，0）坐標(biāo)恰好滿(mǎn)足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接寫(xiě)出a、b的值．（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限時(shí)，若AM、AO將∠BAC三等分，BM、BO將∠ABC三等分，在A、B、C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試求出∠C和∠M的大?。骄浚海?）如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限時(shí)，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠C和∠M是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，且在（1）中的條件不變的前提下，∠C和∠M又有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．

題型二：與8字模型有關(guān)的壓軸題5．（江蘇）圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問(wèn)題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）．

6．（四川）（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）如圖2，BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度數(shù)；②∠A和∠C為任意角時(shí)，其他條件不變，猜想∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）在圖3中，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延長(zhǎng)線與DP交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P與∠A、∠C的關(guān)系，無(wú)需證明．

7．（江蘇）已知：線段AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD．(1)如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝44°，則∠P的度數(shù)=°；(3)如圖3，∠BAD和∠BCD的三等分線AP和CP相交于點(diǎn)P，，，試探究∠B、∠D、∠P三者之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(4)如圖4，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)P，請(qǐng)猜想∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要說(shuō)明理由．

6．如圖①，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AC，BD，我們把形如圖①的圖形稱(chēng)之為“8字形”．如圖②，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，并且與CD，AB分別相交于M，N．試解答下列問(wèn)題：(1)在圖①中，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于∠A、∠B、∠C、∠D的關(guān)系的等式．(2)在圖②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度數(shù)；(3)在圖②中，若設(shè)∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問(wèn)∠P與∠C，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用α，β表示∠P），并說(shuō)明理由；(4)如圖③，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)為．

8．（江蘇）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，顯然有；閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問(wèn)題：(1)如圖2，AP、CP分別平分、，若，，求的度數(shù)；(2)①在圖3中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②在圖4中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．③在圖5中，AP平分，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．

題型三：與燕尾模型有關(guān)的壓軸題9．利用“模型”解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱(chēng)它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問(wèn)題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．

10．（山西晉中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱(chēng)它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠C的大?。?/p>

11．（江蘇）模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．12．（福建）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．

題型四：與動(dòng)角有關(guān)的壓軸題13．（江蘇泰州）直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，點(diǎn)F在直線AB上且在點(diǎn)O的右側(cè)，點(diǎn)E在直線CD上（點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），連接EF，直線EM、FN交于點(diǎn)G．（1）如圖1，若點(diǎn)E在射線OC上，α＝60°，EM、FN分別平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)E在射線OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度數(shù)與∠AFE的度數(shù)無(wú)關(guān)，求m的值及∠EGF的度數(shù)（用含有α的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，若將（2）中的“點(diǎn)E在射線OC上”改為“點(diǎn)E在射線OD上”，其他條件不變，直接寫(xiě)出∠EGF的度數(shù)（用含有a的代數(shù)式表示）

14．如圖1，含角的直角三角板與含角的直角三角板的斜邊在同一直線上，D為的中點(diǎn)，將直角三角板繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：（1）如圖2，當(dāng)________時(shí)，；當(dāng)______時(shí)，；（2）如圖③，當(dāng)直角三角板的邊、分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N時(shí)；①與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與度數(shù)的和；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若使得，求出、的度數(shù)，并直接寫(xiě)出此時(shí)的度數(shù)；③若使得，求的度數(shù)范圍．

15．（河南鄭州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB邊上的中點(diǎn)，三角板OMN的直角頂點(diǎn)與O重臺(tái)，∠MON=90°，直角三角形板MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)使邊OM交AC于點(diǎn)D，邊ON交BC于點(diǎn)E（D、E不與A、B重合），連接DE．(1)如圖①，當(dāng)CA=CB=4時(shí)，①請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的取值范圍：②判斷△DOE的形狀并說(shuō)明理由；③判斷四邊形ODCB的面積在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中是否變化，若不變，求出該四邊形的面積；若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的范圍；(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段AD，DE和BE的數(shù)量關(guān)系．

16.（遼寧大連）