遼寧省鞍山市第二高級中學2021-2022學年高二數學理

模擬試題含解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

x+—=-1x*1,+

1.已知X，則產1r的值為（）

A-1B1C

2D-21

參考答案：

A

略

2.若點（0,0）和點F（-2,。）分別是雙曲線/J-,。＞0的中心和左焦點，點P

為雙曲線右支上的任意一點，則。FFF的取值范圍為（）s5_u.co*m

A.[3+2V3.+CO)B,[3-273.-H?)c.'1rHl°)D.’4”)

參考答案：

A

略

3.如圖，六棱錐P—ABCDEF的底面是正六邊形，平面ABC,PA=2AB,則下列結

論正確的是

A.PBLADB.平面尸48_L平面PBC

C.直線8C〃平面P4ED.平面平面PAE

參考答案:

D

略

4.棱長為2的正方體的外接球的體積為()

80

A.8B.8升C.4后

D.

參考答案:

C

略

fi(加(

5.已知定積分,且/(X)為偶函數，則)

A.0B.8C.12D.16

參考答案：

D

如圖，平面不能用()表示.

(A)平面a(B)平面AB

(C)平面AC(D)平面ABCD

6.

參考答案:

B

7.如圖是函數y=f(x)的導函數丫=f(x)的圖象，給出下列命題:

①函數y=f(x)必有兩個相異的零點;

②函數y=f(x)只有一個極值點;

③y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零；

④y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增.

則正確命題的序號是()

A.①④B.②④C.②③D.③④

參考答案：

B

【考點】利用導數研究函數的單調性.

【分析】根據導函數圖象可判定導函數的符號，從而確定函數的單調性，得到極值點，以

及根據導數的幾何意義可知在某點處的導數即為在該點處的切線斜率.

【解答】解：根據導函數圖象可知當xC(-8,-3)時、f'(x)<0,在xG(-3,

1)時,f'(x)20,

...函數y=f(x)在(-8,-3)上單調遞減，在(-3,1)上單調遞增，故④正確；

-3是函數y=f(x)的極小值點，當f(-3)<0時;函數y=f(x)有兩個相異的零點，

故①錯誤；

?.?在(-3,1)上單調遞增；.-1不是函數y=f(x)的最小值點，

函數y=f(x)只有一個極值點，故②正確；

?.?函數y=f(x)在x=0處的導數大于0,.?.切線的斜率大于零，故③不正確；

故②④正確，

故選:B.

8.矩形的對角線互相垂直，正方形的對角線互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段論的推

理中()

A.推理形式錯誤B.小前提錯誤C.大前提錯誤D.結論錯誤

參考答案：

C

【分析】

利用幾何知識可知矩形的對角線不是垂直的，所以是大前提出現了錯誤.

【詳解】矩形的對角線不是垂直的，正方形的對角線是垂直的，正方形是矩形，所以可知

大前提出現了錯誤.

【點睛】本題主要考查邏輯推理的結構，分清三段論推理中的大前提，小前提，結論是求

解關鍵.

9設"L.憶卷則的大小關系是()

A.a>b>c^.a>obc.b>a>cD.b>c>a

參考答案：

A

10.設4>b>C,則下列不等式一定成立的是().

222

A."H>陽B.ab>aec,a<b<cD.

a-\:\>b-]c\

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知

〃+1-

則丁.

參考答案：

2014

略

12.已知三棱柱ABC-AiBiCi的一個側面ABBiAi的面積為4,側棱CCi到側面

ABBiAi的距離為2,則三棱柱ABC-AiBiCi的體積為。

參考答案：

4

13.AABC中，BC邊上有一動點P,由P引AB,AC的垂線，垂足分別為M,N,求

使4MNP面積最大時點P的位置。

參考答案：

解:$3=；心橋的NMW,.：MpLA￡^pLAC

..==定值

=叱NP^-jABACMPNP

MPNP<

ABAC

當A9MP=ACNF時，ANINP取最大值。

MPAC

P點位置滿足麗=劉。

略

14.已知函數/(x)=x(1nx-a)c)有兩個極值點，則實數。的取值范圍

是.

參考答案：

嗎)

略

15.已知迎一?3(0,5),若曲線C上存在點M,使|M4|-|“外8,則稱曲線C為"含

特點曲線”.給出下列四條曲線：

①X+尸=】7②169③916④

其中為“含特點曲線"的是.(寫出所有"含特點曲線"的序號)

參考答案：

.(D@

略

16.已知-<,v,是偶函數，且當x>0時，巔耳=Z-3,,則當x<0時，

/(x)=________

參考答案：

P+2X

17.用秦九韶算法計算多項式

i52

小)=/_12x+60x*-160x+240x-192x+64當x=2時的值為0

參考答案：

0

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

/(x)=-?--(2a+l)xa+(aJ+a)x

18-已知函數32

(I)若/<>)在x=l處取得極大值，求實數a的值；

(II)若4>一1,求了。)在區間【0J上的最大值.

參考答案：

(J)因為八*)=/-(*+1)1+(“+<0

=。-加-(。+1)]

令/口)=。，得X|=3+1),4=0

所以廣(玲，/(“隨X的變化情況如下表:

X(-8Q)a(a.o+l)a+1(a+1,+co)

廣。)+0一0

極小值

“X)二極大值□二

所以

4=1

(II)因為a>-L所以”+1>0,當"N1時，/口)2。對xe［。』成

立

所以當時，/?)取得最大值，6

當0<」<1時，在xe(0.a)時，/口)>0,/(x)單調遞增

在X€9,1〉時，A?)<0,7CO單調遞減

〃\/(il)--</+—4Z1

所以當x?a時，/(Q取得最大值32

當。=0時,在xe(QJ)時，八單調遞減

所以當x=0時，八玲取得最大值/(°)=°

當-1<a<0時，在n(IU+D時，1Ax)<0,加)單調遞減

在z(a+1,1)時,A?)>0,—單調遞增

/(0)=0JQ)="Y

又6,

—1<<7<—，/八,/(I)=<7*——

當6時，/(I)在x=l取得最大值八

當一/5時,加)在1=0取得最大值/(0)=。

…遠

當6時，/(x)在x=0,x=l處都取得最大值0.

綜上所述，

、1-1f,、/(1)=/-1

當。之1或6時，人琦取得最大值,

當0<&<1時，/?)取得最大值八口)?尸鏟

當6時，/(x)在x?0,x-l處都取得最大值0

當一T時，制在“0取得最大值/(0"。

19.如圖，在矩形力中，AB=4,AD=2,E為AB的中點，現將4ADE沿直線DE

翻折成△4OE,使平面4OE_L平面BCDE,F為線段4。的中點.ks5u

(I)求證：EF〃平面@3C；ks5u

(II)求直線力力與平面工'。￡所成角的正切值.

參考答案：

(I)證明：取*。的中點M,連接則PM||ZX7,

-DC-DC

且HM=2，又，且FB=2,從而有

用WUEB,所以四邊形為平行四邊形，故有

SP//MB,.......4分

又二平面A'B。，MBU平面月BC,

所以E9〃平面*BC......................6分

(II)過后作。為垂足，連接力'。，

因為平面4DE_L平面BC0￡,且面ADEn平面

BCDE=DE,所以B。_L平面4DR,

所以/3才。就是直線4E與平面所成的角.…10分

過4作461S為垂足，

在中，

6S=&,SO=2-J2,所以4。?如.又5。=加，

BO《甘

所以加?4。.而.5,

正

故直線4Q與平面4B9所成角的正切值為5...............12分

A

20.如圖，矩形A8C。的長是寬的2倍，將沿對角線AC翻折，使得平面DZCJ■平

面A8C,連接BD

(I)若BC=4,計算翻折后得到的三棱錐A-BCO的體積；

(II)若A、8、C、。四點都在表面積為80兀的球面上，求三棱錐O-ABC的表面積.

參考答案：

1砧門.32、伍

【分析】

(I)由JC=4,得4=2,JC-lJs,求出三角形ZBC的面積，再由等面積法求出

三棱錐。一ZAC的高，利用等體積法求三棱錐的體積；(H)取配中點。，

可知。為三棱錐的外接球的球心，求得半徑上=2拈，得dC=4>6,然后分別

求解三角形可得三棱錐D-dbC的表面積.

【詳解】(I)若BC=4,則疝1=2,比aS,

1ADDC848

工=—ARAC=4=—w=

則2,三棱錐的高為AC2y55,

（II）取4c中點O,則在直角三角形ZDC中,

QA=OC=OD=-AC-OA=OC^OB^-AC

得2,同理在直角三角形/BC中，2

.??球的半徑一5,由4d^二&加，可得Jt=2&,則

又初=Z?=2DC,..HT=m=4,ZD=SC=8,

$uoc=%ac=-x4xS=16

過點。作OE_L/C于E,再過點因作即：6C于尸，連接。F,得乃產_LHJ,

ADDC32^5「」—1砧4出

nw=1

=——=cr4E—、AD-DE=-------CE=-----

AC4V55,5,5,

—^—AF--AB=^-DF-JAD^-AF,=

.ABAC,..置5,5,

。o1“g】/Jk/2116同

=~ABDF=-x4x------=--------

g2255,

三棱錐D-JifC的表面積為5.

【點睛】本題考查多面體體積和表面積的求法，考查等體積法的應用，考查空間想象能力

和計算能力，屬于中檔題.

21.某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）.設該蓄水池的底面半徑為r米，

高為萬米，體積為/立方米.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平

方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000T元（汗為圓周

率）.

（1）將夕表示成r的函數F（「），并求該函數的定義域；

(2)討論函數的單調性，并確定尸和力為何值時該蓄水池的體積最大.

參考答案：

(1)因為蓄水池側面的總成本為100?2nrh=200JTrh元，底面的總成本為160兆召元，所

以蓄水池的總成本為(200Jirh+160“r2)元.

又據題意200Jrrh+160Jir2=12000n,

1

所以h=5r(300—4r2),

n

從而V(r)=Jtr'h=5(300r—4r3).

因r>0,又由h>0可得與，

故函數V(r)的定義域為(0,5后).

(2)因V(r)=5(300r-4r3),

兀

故V'(r)=5(300-12?).

令V'(r)=0,解得n=5,n=-5(因n=-5不在定義域內，舍去).

當rd(0,5)時，V(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數；

當re(5,5小)時，y(r)<0,故V(r)在(5,5布)上為減函數.

由此可知，V(r)在r=5處取得最大值，此時h=8.

即當r=5,h=8時，該蓄水池的體積最大.

22.(本小題滿分12分)某高中有高級教師96人，中級教師144人，初級教師48人，為

了進一步推進高中課程改革，邀請甲、乙、丙、丁四位專家到校指導。學校計劃從所有教

師中采用分層抽樣辦法選取6名教師分別與專家一對一交流，選出的6名教師再由專家隨

機抽取教師進行教學調研。

(1)求應從高級教師、中級教師、初級教師中分別抽取幾人；

(2)