注西南布考救老考瑞人枇祺敗

一、單選題（共60分）

冗g,則sin(2a+5%

1.若sina+—()

6~6~

71c.§2

A.-B.-D.-

9393

a2+2a7+%_20S..

2.已知等差數列｛為｝的前〃項和為S“，且則”=(

%+%1188

3155

A.-B.-c.—D.

76114

3.(；—1|的展開式中1項的系數為（

)

)》

A.-5B.-10C.5D.10

4.執行如圖的程序框圖，若輸入X=應，則輸出的y值為（）

A.5B.7C.9D.15

1.己知集合A={x|J7=5<2卜8={巾<5},則AnB=()

A.|x|x<5|B.1x|3<x<5|C.{尤［3<%<7}D.1x|3<x<5|

2.復數z滿足z.i=l+2i（i為虛數單位），則復數z在復平面內所對應的點在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.將曲線戚+>2=兇+3圍成的區域記為I,曲線國+例=1圍成的區域記為H,在區域I

中隨機取一點，此點取自區域n的概率為（）

1122

A.-------B.-----C.-------D.------

7T+2左+171+2萬+1

8.在明代珠算發明之前，我們的先祖從春秋開始多是用算籌為工具來記數、列式和計算.

算籌實際上是一根根相同長度的小木棍，算籌有縱式和橫式兩種，如圖是利用算籌表示1?9

的數字，表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，

例如，137可以用7根小木棍表示“目T”，則用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”

且沒有重復數字的三位數的個數是（）

啾式|IIUNIIIINITITUT

-===11X

123456789

A.12B.18C.24D.27

9.已知函數/（月=一/+2+??5左€[—肛布），則不等式/（%+1）—/（2）>0的解集

為（）

A.[n,—3）U（l/]B.[-%,—l）U（3,司

C.（-3,1）D,（-1,3）

10.半徑為2的球。內有一個內接正三棱柱，則正三棱柱的側面積的最大值為（）

A.9GB.12A/3C.1673D.18g

丫2v2歷

11.已知雙曲線C:鼻一%=1（a〉0/>（））的左、右焦點分別為耳，工，過"作斜率為呼

的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點,若|A6|=|%則雙曲線的離心

率為（)

A.2B.y/2C.75D.百

12.已知函數y=/+-7和函數y=5[(a€/?),關于這兩個函數圖象的交點個數，下

x'e|不

列四個結論：①當”<20時，兩個函數圖象沒有交點；②當〃=衛士時，兩個函數圖

e

象恰有三個交點；③當2&<a<女±0寸，兩個函數圖象恰有兩個交點；④當a>女山

ee

時，兩個函數圖象恰有四個交點.正確結論的個數為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(共20分)

13.對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發芽，也可能2天后發芽，…，如表是20顆不

同種子發芽前所需培育的天數統計表，則這組種子發芽前所需培育的天數的眾數是.

中位數是.

發芽前所需培育天數1234567>8

種子數43352210

x+y-l>0,

14.若實數x,y滿足條件<x-y—140,,則z=3x+2y的最大值為.

x-3y+3>0,

15.在扇形Q鉆中，ZAOB=6d°,C為弧A6上的一個動點.若反=x±4+y礪，則

2x+y的取值范圍是.

16.正方形ABC。的兩個頂點AB在直線x+y-4=0上，另兩個頂點C,。分別在直線

2x-y-I=0,4x+y-23=0上，那么正方形ABC。的邊長為.

四、解答題(共70分)

17.已知AABC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且滿足sin2c+2百sin2c=百，

5

(2)若cosN8AC=—、W，點。為邊上的動點(不與。點重合)，設AO=/IOC，

3

求2的取值范圍.

r\

18.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，P4_L底面ABC。，BC//AD,ZBAD=^-,

PA=AB=BC=2,AT>=4,點〃是棱PD的中點.

(1)求證：CM//平面Q4B；

(2)求二面角M-AC—O的大小.

19.為了釋放學生壓力，某校高三年級一班進行了一個投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進行

籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪).在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置

上，甲先投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命

21

中或都未命中，兩人均得0分.設甲每次投籃命中的概率為一，乙每次投籃命中的概率為彳，

32

且各次投籃互不影響.

(1)經過1輪投籃，記甲的得分為X，求X的分布列及期望；

(2)若經過〃輪投籃，用P,表示第i輪投籃后，甲的累計得分低于乙的累計得分的概率.

①求

②規定兄=0，經過計算機模擬計算可得月=aPM+b九(i21,ieN),請根據①中

小鳥,乙值求出。力的值，并由此求出數列｛片｝的通項公式.

20.已知拋物線。：：/=2川(〃〉0)的焦點為尸，拋物線C上的點到準線的最小距離為1.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若過點/作互相垂直的兩條直線(、12,4與拋物線。交于A,8兩點，4與拋物線C

交于C,。兩點，M,N分別為弦48,8的中點，求阿丹滬同的最小值.

21.已知函數/(x)=tzx+lnx2(aeR).

(I)討論函數/(x)的單調區間情況；

(2)若函數/(x)=ca+lnx2(a/0)有且只有兩個零點七,々，證明：

e-1<|%|+/|<0-~.

x=2cos0

22.在直角坐標系中，曲線C的參數方程為《.八(。為參數)，將曲線C上各

y=sin，

點縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到曲線G?以坐標原點。為極點，x軸的正

半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為40cos6+3/?sin10=0.

(1)寫出曲線G的極坐標方程與直線/的直角坐標方程;

（2）曲線G上是否存在不同的兩點M（月，4），"（a，%）（以上兩點坐標均為極坐標，

A＞0,p2＞0,兀,0＜名＜2萬），使點M、N至M的距離都為1?若存在,

求出日一閔的值；若不存在，請說明理由.

23.設函數/(x)=cosx+|a-2|+|a+l].

?」乃）11

⑴右/仁卜5,求實數〃的取值范圍.

（2）證明：對于任意的XER,/（x）＞|67-2|-—1成立.

答案

1.A2.D3.B4.D.5B

6.D7.C8.C9.C10.B

II.D12.D13.43.514.1315.[1,2]

16.2正或14及

71「1、

17.(1)C=—(2)2e-,+oo

6L2)

【詳解】

解：(1)vsin2C+2V3sin2C=V3.

/?sin2C+V3(l-cos2C)=G

sin2C-V3cos2C=0

tan2C=百

為銳角,則2Ce(O,4)

?.2C=-

3

6

(2)由cosNBAC=—^^<0，可知NBAC>—，

32

ADDC

?.?在AADC中,

sinCsinZDAC

ADsinC1

DC-sinADAC~2sinADAC

V0<ZZMC^ZJ5AC，

sinZZMCG(0,1),

2e

故/1的取值范圍為—,+°0

【詳解】

證明：(1)如圖，取AP的中點E，連接BE、EM.

?..”是叨的中點，，@/=：4。，EM//AD,

又8C=4A。，BC//AD,所以￡Af=BC，EMIIBC，

2

...四邊形BCME為平行四邊形，

；?CMIIBE,

又6Eu平面Q4B，CMZ平面A48，

二CM//平面E4B.

(2)在平面A3CD內過點A作A。的垂線Ax，由題意知E4,Ar,兩兩垂直，以

A為坐標原點，Ax,AD，A尸所在的直線分別為x軸、＞軸、z軸建立如圖所示的空

間直角坐標系，由題意知B4=/W=3C=2,AD=4,NBAD=』,

3

可得4(0,0,0),C(V3,l,0),M(0,2,l),.?.恁=(G,l,0),AM=(0,2,1),

設平面MAC的法向量為n=(x,y,z),

(n-AC=0\y/3x+y=0,5「

則由1___,即］',令y=-3,則x=J5，z=6,

n-AM=0\2y+z=Q

.\H=(A/3,-3,6)為平面腸4c的一個法向量.

V24,底面ABC。，...可取平面AC￡)的一個法向量為正=(o,o,l)，

/---\n-m6V3

.?.cos(n,m)=,,—

''|n|.|m|V482

V二面角M-AC-D為銳二面角,

???二面角M-AC-。的大小為二.

19.

解：Q)X的可能取值為T,0」，

111

則P（X=T）=——X——=—?

326,

22

X-+

32

P（X=l）=gxg=2

3

???X的分布列為:

X-101

P

623

期望E（X）=-1X!+0X，+1X」=L.

6236

即經過1輪投籃，甲得分的期望為二分.

6

（2）①由（1）知8=',

經過兩輪投球，甲的累計得分低的有兩種情況：

一是甲兩輪都得分為—1;二是兩輪中甲一輪得0分，另一輪得—1分，則

經過三輪投球，甲累計得分低有四種情況：一1一1-1；-1-1+0；-1+0+0；-l-1+b

36

②將4j,，6的值分別代入4=aPM+hPi_｝得）

得“=9,b=L

77

???￡=沐1+。-，即匕「4=：（?一匕1），

//O

又4一兄=Z，所以｛與一月1｝是首項士、公比都是W的等比數歹山

666

U\

二匕=（月一匕7）+（匕T—匕-2）+…+（［—8）+8=^~^=!卜一之

A數列｛〃,,｝的通項公式為P,,=（11一*）?

20.（1）/=4%（2）8

【詳解】

（1）..?拋物線。上的點到準線的最小距離為1,，K=1,解得，=2,

2

；?拋物線C的方程為：：/=4心

（2）由（1）可知焦點為尸（1,0）,

由己知可得ABA.CD,A兩直線AB,CD的斜率都存在且均不為0,

設直線A3的斜率為A，則直線8的斜率為-工,

K

；?直線AB的方程為y=攵（*一1）,

y2=4x

聯立方程〈消去X得：ky2-4y-4k=0,

y=

設點3（%2，%），則%+%=：，

k

?；M（XM，y”）為弦AB的中點，所以=5（乂+必）=云，

乙K

由＞"=左（無“-1）,得與=平+|=1+1，

???點蚱+《）

同理可得：N（2公+1,_24），

???|A^|=^（2A:2+l-l）2+（-2A:）2=2^F（F+ij＞白/|=2，]：仁,

明|N止坐^x2師百=4、詈“乂2?^=8,

當且僅當網=百

即％=±1,等號成立,

的最小值為8.

21.【詳解】

（1）/（X）的定義域為（—,0）5°，”），r（x）=a+2=竺聚，

XX

當a=0時,x＜0時,r（x）＜0,〃x）在（p,0）上遞減，尤＞0時，f'（x）＞0,/（x）

在（0,+8）上遞增；

當a＞0時，在xe[_8,_：）U（0,+8）上，/'（x）＞0,在xe上，fr（x）＜0,

/（X）在（-"l，。］上遞減，在卜》,-T）和（0,+00）上分別遞增；

當。<0時，在—上，/,（x）>0,在xe（—8,0）U（—1,+8）上，/'（x）<0,

/（x）在（一8,0）和［j,+oo）上分別遞減，在（o,-'ll上遞增.

（2）由⑴可知，當a>0時，/（X）在（—m，。］上遞減，在（一8,-'|卜口（0,+力）上分

別遞增，

在X€（0,+。。）上，當X.0+時，/（x）fYO,當Xf+30時，/（x）f+co,“X）在

X€（0,+o。）上有且只有一個零點；

在xw（T?,0）上，當Xf（T時，/（x）f-co,當XfYO時，/（x）fYO,為使/（x）

有且只有兩個零點，則“X）在無W（F,0）上有且只有一個零點，則需/（x）在X€（F,0）

,2、222

的最大值/（X）111ax=/1_/卜_2+21111=0,可得a=_,零點%=__=-e；

7?7

而當&=—時，f(x}=—x+\nx2,/(1)=—>0,f+ln-,

eee4

…1

*ee<e<4f

11,1,111

?-r->—In-r->In-—\Inf

?-14<14>—>ln7>J+ln-<0,

e?eee44

...另一個零點滿足：I<X2<1,

2

?-C+—<X|+X^yV—C+1f

由（1）可知，當4<0時，/（X）在（一00,（））和1一2,+co］上分別遞減，在仿,-221上遞增,

a

在xw（YO,0）上，當x-0時，/（x）^-00,當Xf-8時，+00,/(x)在

X€（—O,0）上有且只有一個零點;

在xe(0,+oo)上，當x30+時，-當X—+CQ時，/(%)->-oo,為使/(x)

有且只有兩個零點，則/(X)在xe(0,"o)上有且只有一個零點，則需“X)在xe((),■+<?)

的最大值/(x)max=/(_■!)=_2+21n1_/)=0,可得a=_：,零點尤2=—：=e；

2?2<1A11

而當Q=__時；/(x)=__x+lnx2,/(一］)=->0,/--=-+ln-,由上面證

eeey2)e4

明可知，=—+In—<0,

?二另一個零點滿足