江蘇省2023屆高三年級大聯考

數學

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫

貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相

應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設全集。=R,集合/=卜卜1<"3},8={小-1叫貝盧（』C8）=（）

A.{x|l<x<3jB.{x|l<x<3|C.或x?3}D.{x|x<l或xN3}

2.設復數z的共舸復數為彳，已知（2+i）z=5,則方=（）

A.7B.5C.3D.75

3.設則“是“sin。〈也”的

662

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某人在湖面之上5米處測得空中一氣球的仰角為30。，而湖中氣球倒影的俯角為45。，若不考慮水的折

射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）

A.5（1+72）B.5（1+2^3）C.5（2+73）D.5（2+網

2x2

5.函數/（、）=、.的圖像可能是（）

e'-eA

6.把函數/（x）=sin（2x+e）（0<e<7T）圖象上所有點向左平移g個單位，得到函數g（x）的圖象.若

(

8（》）的圖象關于直線》=^|對稱，則函數人（%）=285（》+9）兀兀

X€的最小值為（）

P2

A.-2B._朋C.-1D.0

7.已知4=3^3,6=2+(ln3)2,c=31n3,則()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

/、f-x+a,x>0,

8.設函數/(x)=</（再）=）（工2），|再一的最小值為g（。），則g（a）-Y-。的最大值

ln(-x),x<0,

為（）

A.-1B.0C.1D.e—1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知a>h>\fc>0,貝!J()

?\b-C

cc

A—<-B.ca>CbD.

?ahCH7

1%（。+。）>噫伍+。）

10.己知函數/（x）=sinx+acosx的最大值為2,且/（0）>0,則（）

A.a=y/3

B./（x）的圖象關于直線、=午對稱

C./（x）的圖象關于點中心對稱

、

D,將/(x)的圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，得到歹=2(^[2X+e]的圖象

7

11.已知x>0,y>0,x+2y=2,則()

A.中的最大值為:B.f+/的最小值為:

C.：+千的最小值為a+1D.4十6的最大值為④

12.19世紀，德國數學家狄利克雷(P.G.Dirichlet,1805-1859)引入現代函數，他還給出了一個定義在實

1x為有理數

數集R上的函數。(x=‘d’Ew'稱為狄利克雷函數，則()

"[0,x為無理數，

A.D^x-y/2^-0

B.Z)(x)=/)(-%)

C.若T為有理數，700,則。(x+T)=￡>(x)

D.存在三個點Z(x，Z)(xJ),B(X2,D(X2)),C(X3,D(X3)),使得"IBC為正三角形

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=sinx-2cosx在點(兀，2)處的切線方程是

…sin4xsin2xsinxsinx

14若tan4x=V2，則------------+-------------+-----------+-----

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx

15.在銳角中，內角C所對的邊分別為a也c.若c=l,S=|,則。的取值范圍為

；sinAsinC的最大值為

K

16.已知函數/(x)=ax—lnx-1,g(x)=—,用max{?i,〃}表示，〃，〃中的最大值，設

X

9(x)=max{/(x),g(x)}.若尹*)22在(0,+8)上恒成立，則實數。的取值范圍為

四、解答題；本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17,設函數/(^)=加5皿(2%+3-2卜2<：052%+2(加eR).

(1)若加=4,求“X)在上的零點；

(2)求函數/(x)的最大值.

18.已知函數/(x)=-x?eR).

(1)證明有且僅有兩條經過原點的直線與曲線y=/(x)相切；

(2)記(1)中兩條切線為4，4,設4，，2與曲線v=/(x)異于原點。的公共點分別為48.若4=1,

求cos44。8的值.

19.在“BC中，內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,cos5=—，點。在邊上，BD=2AD.

3

(1)若ZACD=NBCD,求siM；

(2)若CD=BD=6,求b.

20.在△尸48中，PA=PB,前C,。分別在P8,PA邊上.

71

⑴若NAPB=—,CD=1,求APCD面積的最大值；

3

萬、4

(2)設四邊形488的外接圓半徑為火，若/APBw]，">且的最大值為,，求R

的值.

21.已知a〉0,函數/(x)=(a-x)lnx.

(1)證明/(x)存在唯一極大值點；

(2)若存在。，使得/(x)Wa+b對任意xe(0,+8)成立，求b的取值范圍.

22.已知函數/(x)=ax-31nr.

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)設X],巧是函數/(x)的兩個零點，證明：x,+x2>2e.

2023屆高三年級大聯考

數學

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫

貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相

應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設全集。=R,集合“={41<、<3},3={小_叫，則葉八ff）=（）

A.{x|l<x<3jB.{x|l<x<3|C.或x?3}D.{x|x<l或xN3}

【答案】D

【解析】

【分析】先求出NcB,再求其補集.

【詳解】vA={x|-l<x<3|,5=|x|x-l>01=|x|x>l|,

/c8=<x<31,

二.a（/八8）=卜,<1或》》3}.

故選：D.

2.設復數z的共規復數為彳，已知（2+i）z=5,則k=（）

A.7B.5C.3D.V5

【答案】B

【解析】

【分析】根據復數的除法運算求出復數z,再根據共飄復數及復數的乘法運算即可得解.

【詳解】解：由（2+i）z=5,

55（2-i）\.

得z=---=：—'/、=2-1,

2+i（2+i）（2-i）

則z=2+i，

所以而=（2—i）（2+i）=5.

故選：B.

3.設6eR,則“D是"sin6<^”的

662

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：由題意首先求解三角不等式，然后結合題意確定/<三”與“5山。<型”的充分性和

662

必要性即可.

詳解：求解絕對值不等式6-鄉〈工可得0〈0〈色,

663

若sin8<&^~，則2%]—。V2%]GZ）,

當左二0時，一4把7rW6W7工i，

33

冗4/a

據此可得：“。-二是"sine<W2”的充分而不必要條件.故選：A

662

4.某人在湖面之上5米處測得空中一氣球的仰角為30。，而湖中氣球倒影的俯角為45°,若不考慮水的折

射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）

A.5（l+^2）B.5（1+273）C,5（2+73）D,5（2+甸

【答案】C

【解析】

【分析】結合題意作出示意圖，利用直角三角形中正切函數的定義得到關于氣球離水面的高度的方程，解

之即可.

【詳解】結合題意作出示意圖，易知點。與點。關于湖面8M對稱，則CM=Z）M,AB=5,

故CE=CM-EM=CM-AB=CM—5,DE=DM+AB=CM+5,

CECEr-DE

在RtaZCE中，tan30°=----,即ZE=---------=y/3CE,在中，tan45°=----

AEtan30°AE

DE

AE=--------DE,

tan45°

故出CE=DE，即百(CM—5)=CA/+5,故c”

所以氣球離水面的高度為5(2+JJ).

故選：C.

【答案】A

【解析】

【分析】根據函數奇偶性的定義，求得函數/(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，再結合/(x)>0,即可

求解.

【詳解】由題意，函數/(x)=-F的定義域為(-8,0)U(0,+8),

eY-e*

/A2

且/(_X)=、=-/(x)，所以函數/(X)為奇函數，圖象關于原點對稱，排除B.

ex-eY

又當x>0時，y=ex-e-x>0,所以/(x)=、2=、>0,故排除CD.

ev-e'

故選：A

6.把函數/(x)=sin(2x+w)(0<9<7i)圖象上所有點向左平移三個單位，得到函數g(x)的圖象.若

g(x)的圖象關于直線x=V對稱，則函數/z(x)=2cos(x+e)xe-弓■，曰］］的最小值為()

12I

A.-2B.-y/3C.-1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據平移變換及正弦函數的對稱性求出。，再根據余弦函數的性質結合整體思想即可得解.

【詳解】解：函數/(x)=sin(2x+e)(o<(p<it)圖象上所有點向左平移］個單位，

/(271

得到函數g(x)=sin［2x+3-+

因為g(x)的圖象關于直線x］對稱，

2

所以工+生+夕=工+加,左￡2

632

2兀

又0<9<兀，所以夕二一^-,

則〃(%)—2cos(xH——J,

i,「兀兀1”,2兀兀7元］(2兀11Ji

因為XW——，所以X+ke—5-T"，i^ccosx+—e—1,——，

L22j3.66JI3J|_2_

所以MX)."9.

故選：A.

7.已知。=32，6=2+(ln3『c=31n3，則()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>h>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】構造函數/(x)=X2+2-3X=(X-1)(X-2)，由1<ln3<2易得b<c；構造函數g(x)=3、-3x,

由導數與函數的單調性求得g(x)的單調性，從而證得a>c；由此可得a>c>6.

【詳解】令/(x)=f+2—3x=(x—l)(x-2),

所以xe(1,2)時，/(x)<0,

因為Ine<ln3<Ine?，即l<ln3<2.

所以/(ln3)=(ln3y+2-31n3<0,故(ln3>+2<31n3,即b<c.

令g(x)=r-3x,則g'(x)=In3?3,-3,顯然g'(x)=In3?3、一3在(0,+co)單調遞增,

令g'(x)〉O,得x>log3、p故g(x)在(log?W，+°°)上單調遞增,

33

因為l<ln3<3,故1<<3,則0<k)g3——<1,

In33In3

故g(X)在(1,+8)上單調遞增，則g(ln3)>g(l)=0,

即3國3一31113>0，即31n3>31n3，故。>。，

綜上：a>c>b.

故選：A.

-x+a,x>0,

8.設函數/(x)=</(再)=/(%2)，歸-引的最小值為g(a),則g(a)-Y一。的最大值

ln(-x),x<0,

為()

A.-1B.0C.1D.e-1

【答案】C

【解析】

,、e",aV0/\2

【分析】對a分類討論求出g(a)=〈，再分類討論求出-。的最大值.

a+l,a>0

設/(玉)=/(工2)=/,。44)，不妨設玉<X2，

所以ln(-X］)=f,-X2+a=f,，X|=-e',x2=-t+a,

所以卜_吃|=吃―/=e'-t+a^h(t),(t<a),

所以//'?)=e'-l,

當aW0時，/?)=e'—1V0,函數〃(/)在(—8,a］上單調遞減，

所以的)mm=g(a)=恤)=e".

當a〉0時，函數僦。在(-8,0］上單調遞減，在［0,a］單調遞增,

所以人(Omin=g(a)=人(0)=a+1.

/、fea,a<0

所以g(a)={

''a+\,a>0

當a?0時，g(a)-a2-a=ea-a2-a=m(a),

所以租'(a)=e"-2a-l=n(a),

所以〃'(a)=e"-2<0,所以n(a)在(-oo,0］單調遞減n(a)>n(0)=0,

所以M(a)20,所以〃?(a)在(-oo,0］單調遞增，所以加(a)1nli,、="?(°)=1?

所以g(a)-/一。的最大值為1.

當a>0時，g{a}-a--a=a+\-a--a=-a~+\,在(0,+oo)單調遞減，沒有最大值,

g(a)-a2-a=-a2+1<1

所以g(。)-/-a的最大值為1.

故選：c

【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵有兩個，其一是分類討論求出g(a)=|e'其二是分類討論

4+1,0>0

求出g(a)-。2-a的最大值.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9已知a>b>1,c>0,貝！I()

cc.(bx~c

ablaj{aj

log,,(a+c)>log“(b+c)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據不等式的性質結合指數函數和對數函數的單調性逐一分析判斷即可.

【詳解】解：因為。>6>1,所以［<《，

ab

又c>0,所以￡<￡,故A正確；

ab

當0<c<l時，當。>1時，故B錯誤；

b

由a〉b〉l,得0<一—c,

a

所以:［2、=故C正確；

由C>0,得Q+C>b+C>l,

則log〃(a+c)>logfc(b+c)〉log(,(b+c),所以10gzl(a+c)>loga(b+c),故D正確.

故選：ACD.

10.己知函數/(x)=sinx+acosx的最大值為2,且/(0)>0,則()

A.a=y/3

B./(x)的圖象關于直線、=午對稱

C./(x)的圖象關于點(日,。］中心對稱

D,將/(x)的圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，得到y=2cos2x+3的圖象

【答案】AC

【解析】

【分析】利用輔助角公式結合已知求出。，即可判斷A,再根據正弦函數的對稱性代入檢驗即可判斷BC,

根據周期變換的原則即可判斷D.

【詳解】解：/'(0)=。>0,

f(x)=sinx+?cosx=Jl+a'sin(x+夕)(其中tan9=a),

因為函數/(x)=sinx+acosx的最大值為2,

所以M7/=2,解得a=G(a=—舍去)，故A正確；

則/(x)=2sin［,

因為/信］=2sin兀=0，所以，(x)的圖象關于點傳,0)中心對稱，故B錯誤；

因為/(g)=2sin27i=0,所以/(x)的圖象關于點中心對稱，故C正確；

將/(x)的圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，

得到函數N=2sin(2x+=sin2x+也cos2x,

而y=2cos(2x+/)=&cos2x-sin2x,故D錯誤.

故選：AC.

11.已知x>0,y>0,x+2y=2,則()

A.孫的最大值為:B.f+「的最小值為《

c.十+；的最小值為0+iD.4+J］的最大值為J5

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式及其變形可分析AC選項，由二次函數求最值可判斷B,可用三角換元來分析D

選項

【詳解】對于A選項，由基本不等式得2=x+2yN2j行，整理得孫=；，當且僅當x=2y,即x=l,

y=1■時，孫的最大值為所以A錯誤.

對于B選項，x2+y2=（2-2y）2+y2=5y2-Sy+4,x=2—2y>0得0<y<1,

444rc4

5y2一8^+4=5（歹一]）2+1,.?.當y=w時，f+y2的最小值為《，所以B正確.

對于C選項，4L2+2/+2J+二+12巨+1=忘+1,當且僅當上=9，

xyx2yx2yx2y\x2yx2y

x=J5y時5+；的最小值為J5+1，所以C正確.

對于D選項，令加=,〃=6,由0<丁<1，2y=2-x>0,0cx<2可知0（優<JI,0<“<1,

兀

2

得x=m?，y=nf由題意得疝+2/=2，設m=J^sin。，n=cos6,0<^<—,

/y

y[x+yfy=m+n=V2sin0+cos0=43sin（。+（p）,tan（p=>Gsin（6+夕）K石，所以D錯誤.

故選：BC

12.19世紀，德國數學家狄利克雷（P.G.Dirichlet,1805-1859）引入現代函數，他還給出了一個定義在實

flx為有理數

數集R上的函數D（x=’“工e*'稱為狄利克雷函數，則（）

|0,x為無理數，

A.D^x-y/2^=0

B.Z）（x）=/）（-%）

C.若T為有理數,THO,則。（X+T）=O（X）

D.存在三個點4（X1,O（xJ）,8卜2，。（》2））,。（七,。（毛）），使得為正三角形

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據狄利克雷函數的定義結合分段函數的性質，分別討論x為有理數和無理數，依次判斷各個選項,

即可得解.

【詳解】對于A,尤是無理數，若x為有理數，x—&是無理數，則。1-/5）=0；若x為無理數，x_J5

有可能為有理數，如x=0,此時。［一血）=0（0）=1,故A錯誤;

對于B,當x為有理數，-X為有理數，則。（x）=O（-x）=l；當x為無理數，T為無理數，則

Z）（x）=Z）（-x）=0,故B正確；

對于C,7為有理數，若X為有理數，則X+T是有理數，貝|JZ）（X+T）=Q（X）=1；若x為無理數，x+T

是無理數，則。（x+7）=D（x）=0,故C正確；

對于D,存在三個點且x為有理數，貝Bx—*,0,Cx+4,0是邊長為2叵的等邊三

角形，故D正確；

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=sinx-2cosx在點（兀，2）處的切線方程是.

【答案】x+y-2-Tt^O

【解析】

【分析】求導，利用導數的幾何意義求出切線方程的斜率，進而求出切線方程.

【詳解】/'（x）=cosx+2sinx,所以［'（7c）=cos7r+2sin兀=-1,故丁=sinx-2cosx在點（兀，2）

處的切線方程為歹一2=—（工一兀），即x+y-2-7i=0.

故答案為：x+y-2-n=Q

…sin4xsin2xsinxsinx

14.若tan4x=V2>則-------------+--------------+-------------+------

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx

【答案】-20

【解析】

einx

【分析】利用切化弦、二倍角公式可推導得到tan2x-tanx=-----------,由此可化簡所求式子為tan8x,

cos2xcosx

利用二倍角正切公式可求得結果.

【詳解】

csin2xsinxsin2xcosx-sinxcos2x

?/tan2x-tanx=--------------=--------------------------

cos2xcosxcos2xcosx

2sinxcos2x-sinx（2cos2x-l）

sinx

cos2xcosxcos2xcosx

sin4xsin2x

tan8x-tan4x,tan4x-tan2x,

cos8xcos4xcos4xcos2x

2tan4\o/o,

?'?原式=tan8x-tan4x+tan4x-tan2x+tan2x—tanx+tanx-tan8x=-------——=-----=-2^2.

1-tan-4x1-2

故答案為：-2五.

jr

15.在銳角“BC中，內角4S。所對的邊分別為。也。.若。=1,B檢,則。的取值范圍為

；sin/sinC的最大值為.

①?93

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】利用正弦定理可得a=三巴且，結合三角恒等變換知識及C的范圍可化簡得到a=-+——1-

smC22tanC

由C的范圍可求得tanC的范圍，進而得到。的范圍；利用兩角和差正弦公式、二倍角和輔助角公式可化簡

得到sin^sinC=-sin|2C-71-1+-1*-,根據正弦型函數最值的求法可求得結果.

2I64

【詳解】由正弦定理得:

sin（8+C）［cosC+；sinC

_csinA_sin（兀_（3+C））16cosC；

a——一?

sinCsinCsinCsinC22sinC

八,2兀「71

o<z=—-C<—

IT32兀「兀

Q5=-,為銳角三角形，,—<c<—

八八兀62

0<C<—

2

.-.cosC^O,；.^-+—?——

a、22tanC

,/tanCe,+8,?.0<〈也,:.-<a<2,即“的取值范圍為一,21

（）

722

sinAsinC=sin（B+C）sinCcosC+—sinCsinC-sinCeosC+—sin2C

2722

l-coS2C=^sin2C_Lcos2C+L1in（2C-^1

sin2C+

T44444

7T_7T兀兀57t7T

:-<C<~,-<2C一一<—

6266626

.?.當sin(2C-看)=1時，sinNsinC取得最大值［.

故答案為：f—,2j；

16.已知函數［(x)=ax-lnx-1,g(x)=—,用max{〃?，〃}表示用，〃中的最大值，設

Y

9(x)=max{/(x),g(x)}.若/(x)2二在(0,+8)上恒成立，則實數。的取值范圍為

4

【答案】［§,+功

【解析】

3

【分析】分別討論當0<X<3,x23時，g(x)=二Y與^=一X的關系，可將問題轉化為/(%)之一X在(0,3)上

2733

恒成立，運用參數分離和構造函數法，結合導數求得最大值，可得所求范圍.

【詳解】當xe(0,3)時，g(x)=^<：,當xe［3,+oo)時，g(X)=捺之0，所以以刈N］在［3,+oo)必

成立,

xXInY+1I

問題轉化為八X)之土在(0,3)恒成立，由QX—Inx—12上恒成立，可得-------+-

33x3

在xe(0,3)恒成立，設,(X)=電5.+1Xe(0,3),

x3

一,x~(Inx+1)x1

-Inx,

h'(x)=^------.------

當0<x<l時，h\x)>0,當l<x<3時，/》)<0,

所以〃(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，

44

..〃(X)max="(1)—§，??4—

4

故。的取值范圍是［§,+8).

4

故答案為：

【點睛】本題考查利用導數研究不等式恒成立的問題，考查學生的邏輯推理能力、數學運算能力，是一道

有一定難度的壓軸填空題.

四、解答題；本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17,設函數于(x)=msin-2J2cos2x+2(加wR).

(1)若加=4,求/(x)在0卷上的零點；

(2)求函數/(x)的最大值.

【答案】(1)0

⑵當加＜2時，/(x)皿=一加；當加22時，/(x)max=w-4

【解析】

【分析】(1)利用誘導公式及二倍角的余弦公式化簡，再解關于|cosx|的一元二次方程即可；

(2)利用誘導公式及二倍角的余弦公式化簡，再結合二次函數的性質分類討論，從而可得出答案.

【小問1詳解】

解：若加=4,/(x)=4cos2x-4|cosx|=8cos2x-4|cosx|-4,

I=_g舍去),

令/(x)=8cos2x-4|cosx卜4=0,解得|cosx|=1(|cosx

又因XCo,|,所以x=o,

所以/(x)在0,|上的零點為0；

【小問2詳解】

解：f(x)=mcos2x-4|cosx|=2mcos2x-4|cosx\-m

令/=|cosx|"e[0,l],則/(。=2機/e[0,1],

當〃？=0時，/(/)=-4/,^[0,1],則/a)max=/(0)=0,

當加00時，函數/(，)的對稱軸為f='，

m

若，〃＜0,則/()在[0』上遞減，所以/(兒”=/(0)=-加，

若即2加2'20寸，f(t)'max=/(\1/)=機一4,

若,＞:，即0＜機＜2時，/(f)max=/(0)=一〃7，

m2

綜上所述，當加＜2時、/(x)max=-m；當機22時,/(^)max=m-4.

18.已知函數/(工)=；%3一工2+辦(Q￡R).

（1）證明有且僅有兩條經過原點的直線與曲線y=/'（X）相切；

（2）記（1）中兩條切線為小4,設4，4與曲線y=/G）異于原點。的公共點分別為46.若。=1,

求cos44。8的值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設出切點，結合導數的幾何意義求出有兩個不同的切點即可證明；

（2）先求出兩條切線的方程，聯立曲線方程，求出交點，結合向量夾角公式可求答案.

【小問1詳解】

證明：f\x）=x2-2x+a,設過原點的直線與曲線V=/（x）相切于點&/（。），則

t2-2t+a==-t2-t+a,整理得2『一/=0,即/=（）或/=3；

t-0332

所以有且僅有兩條經過原點的直線與曲線y=/（%）相切.

【小問2詳解】

33

當a=l時，/,（x）=x2-2x+l,由（1）知切點為（0,0）,

2'8

兩條切線方程分別沏,即》=%,'=*工；

聯立方程132,得x=3和x=0(舍)，可得4(3,3)；

V'-X—X+X

I3

33------3345

,OA-OB=3x-+3x-=—,

258288

網=30詞

OAOB

所以cosN/OB

OA\\OB\

19.在中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,cosB=衛'，點。在邊/臺上，BD=2AD.

3

（1）若ZACD=NBCD,求siM；

（2）若CD=BD=6,求b.

【答案】（1）sin/=述

3

（2）6=5

【解析】

【分析】（1）在A/C。中和在△4友）中，分別利用正弦定理求出C。，再結合已知即可得解；

（2）在△BCD中，利用余弦定理求出6C,在中，再次利用余弦定理即可得解.

【小問1詳解】

解：在A/CD中，

ADCDAD-sinA

由----------,得CD=

sinZACDsinA~sinZACD'

在△480中,

BDCDBD-sinB

rri_____________,___得CD=

sin/BCDsin3-sinNBCD'

AD-sinABDriinB

則----------

sinZ.ACDsin/BCD

因為/ACD=NBCD,所以sin/ZCZ)=sinN8CQ,

又BD=2AD,

所以sin"=2sin5,

因為cos5=^-,BG(0,7i)>所以sin5=，

所以sin/;述

3

【小問2詳解】

解：在△88中，cosB=^,CD=BD=6,

3

CD2=BD2+BC2-2BD-BCcosB，

即36=36+8C2-2x6x8Cx且，解得BC=45(8C=0舍去),

3

在中，AB=9,

則=/82+8C2-2/B-8CCOS8=81+112-2X9X4V7X也25,

3

所以ZC=5,

即6=5.

20.在AP/LS中，PA=PB,點C,。分別在尸8,PN邊上.

71

(1)若NAPB=—,CD=1,求APCZ)面積的最大值；

3

乃、4

(2)設四邊形Z8c。的外接圓半徑為R，若N4PB&-,7t\,且Z8-8C-C0-O4的最大值為一，求R

3)9

的值.

【答案】(1)昱

4

4

(2)一

9

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理及基本不等式求得PC-PZ)的最大值為1,再利用面積公式即可求解；

(2)由四邊形Z8C。存在外接圓，知四邊形力8CD為等腰梯形，連接/C,設NC胡=8,NCAB=x,

利用正弦定理，表示N6,8C,C0,進而利用基本不等式求解.

【小問1詳解】

71

由已知ZDPC=NAPB=-,

3

在APCZ)中，利用余弦定理知1=CZ)2=pc2+p02一2pc.p￡)cosNPDC，

TT

結合基本不等式有1>2PC-PD-2PCPDcos-=PCPD,

3

當且僅當尸。=尸。=1時，等號成立，即PC-P。的最大值為1,

S=~PC-PDsm-=-PCPD<—

力PC8D2344

所以APC。面積的最大值為且

4

【小問2詳解】

四邊形488存在外接圓，.?.ND48+NOCB=?

又PA=PB,ZDAB=ZCBA,NCBA+NDCB=兀,

AB//CD,所以四邊形Z8CD為等腰梯形，

連接ZC,設NC3Z=e,NCAB=X,

4BBC

在△84。中，由正弦定理得，—---------=2R,

sm(7r-x-0)sinx

...BC=2Rsinx,AB=2Rsin()一x—。)=2Rsin(6+x)

同理，在中，由正弦定理得，CZ)=2Rsin(6—x),

所以Z8?8C?CD?ZX4=16R2sin2xsin(6-x)sin(6+x)

=16R?sin2x(sin2^cos2x-cos2Osin?x)

=16R2sin2x[sin260-sin2x)-cos2^sin2x]

=16R2sin2x(sin26-sin2x)

vZAPB&:.Q<X<0<~,.-.o<sin2x<sin26>

-12

、c/.、csin2x+(sin23-sin2x),,

16R2sin-x^sin2^-sin-16R2-----------------------------=4R~sin40,

當且僅當sin2x=sin2。一sin?x，即sin2x=—sin20

???可0,三,.?.sin2^<|,當且僅當6=三時，，等號成立，

即4R2X[3]=-,即R=±

⑷99

p.

A匕------------------B

21.已知a>0,函數/(x)=(a—x)lnx.

(1)證明/(x)存在唯一極大值點；

(2)若存在。，使得/(x)Wa+b對任意xe(O,m)成立，求b的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)b>-Q

【解析】

【分析】(1)求導/'(')=一限+(-1/>0,再對/'(力求導，判斷其單調性，然后結合零點存在性定

理進而可知/'(x)=0有唯一零點，結合極值點定義可證得結論；

(2)題目轉化為[/(同一。]皿口，構造〃。)=》1112—司強》>0,利用導數研究函數的單調性，

求其最值，即可得解.

【小問1詳解】

函數/(X)=(a-x)lnx,求導/f(x)=-lnx+(a-x)—=-lnx+--l,x>0,

令g(x)=-1以+@-1,彳>0，則g，(x)=」-g=_史；

XXXX

又Q〉o,.?.g'(x)<0,在X￡(O,y)上單調遞減，

=a

當工=。時，/'(、)=9>0，當工=?"時，/Z(e</)=[~■-1]-1<0，

eeie)

故存在Xoe(eLe〃)，使得/'(x°)=0

當xe(O,x0),"(x)>0,故函數/(x)在(O,x0)上單調遞增，

當xe(x(),+oo),/(x)<0,故函數/(X)在(%,+oo)上單調遞減，

所以/(x)存在唯一極大值點；

【小問2詳解】

由題知，存在a>0,使得/(x)Wa+b對任意xe(0,+oo)成立，

即存在a>0,使得62[/(》)一〃]你對任意》6(0,48)成立，

由(1)知，/(X)max=/(%)，且一1舊0+9_1=0,即4=X。(1+InT。)，