決戰2021年中考數學復習知識點過關梳理練習:

幾何變換綜合題(二)

1.觀察猜想

(1)如圖①，在Rt△42。中，NA4C=90°,AB=AC=3,點D與點A重合，點E

在邊上，連接。4將線段OE繞點。順時針旋轉90°得到線段。式，連接BF,

BE與BF的位置關系是,BE+BF=;

探究證明

(2)在(1)中，如果將點。沿/夕方向移動，使力。=1,其余條件不變，如圖②，

判斷成與加'的位置關系，并求與瓦+與尸的值，請寫出你的理由或計算過程；

拓展延伸

(3)如圖③，在△/BC中，AJB=AC,"AC=a,點。在邊A4的延長線上，BD=

n,連接DE,將線段DE繞著點。順時針旋轉，旋轉角ZEDF=Q,連接BF,則BE+BF

的值是多少？請用含有%a的式子直接寫出結論.

2.在Rta/B。中，/力CB=90°,C4=CB,點。是直線上的一點，連接。。，將

線段8繞點。逆時針旋轉90°,得到線段CE,連接EB.

(1)操作發現

如圖1,當點。在線段44上時，請你直接寫出力B與BE的位置關系為;線段

BD、AB、班的數量關系為;

(2)猜想論證

當點。在直線48上運動時，如圖2,是點。在射線53上，如圖3,是點。在射線

員4上，請你寫出這兩種情況下，線段由、AB、的數量關系，并對圖2的結論進行

證明；

(3)拓展延伸

若為3=5,BD=7,請你直接寫出△力。后的面積.

3.如圖，在中，AB=AC,/84。=90°,點。是邊上的動點，連接

點。關于直線AD的對稱點為點E,射線BE與射線AD交于點F.

(1)在圖中，依題意補全圖形；

(2)記NZMC=a(a<45°)，求//斯的大小；(用含a的式子表示)

(3)若△4CE是等邊三角形，猜想E尸和的數量關系，并證明.

督■用圖C

4.如圖，兩個等腰直角△AS。和△8七中，￡ACB="CE=9G°.

(1)觀察猜想如圖1,點反在上，線段力￡與由的數量關系是,位置關

系是.

(2)探究證明把△COE繞直角頂點。旋轉到圖2的位置，(1)中的結論還成立嗎？

說明理由；

(3)拓展延伸：把△CDE繞點。在平面內自由旋轉，若/C=BC=13,DE=1G,當

4E、。三點在直線上時，請直接寫出的長.

5.在中，CA=CB,NACB=a.點尸是平面內不與點力,。重合的任意一點，連

接AP,將線段力尸繞點尸逆時針旋轉a得到線段。尸，連接/1。，BD,CP.

(1)猜想觀察：如圖1,當a=60°時，器的值是,直線3。與直線CP相交

所成的較小角的度數是.

(2)類比探究：如圖2,當a=90°時，請寫出片的值及直線與直線”相交所

成的較小角的度數，并就圖2的情形說明理由.

(3)解決問題：如圖3,當a=90°時，若點E,P分別是C4,C步的中點，點P在

四的延長線上，P,D,C三點在同一直線上，/C與3。相交于點〃，DM=2-血,

求4P的長.

圖2圖3

6.［問題背景］如圖1所示，在△/B。中，AB=BC,/力2。=9。°,點。為直線B。上

的一個動點（不與B、。重合），連結AD,將線段AD繞點。按順時針方向旋轉90°,

使點/旋轉到點回連結反C

［問題初探］如果點。在線段2。上運動，通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：

過點E作協'13。交直線于尸，如圖2所示，通過證明,可推

證△CEW是三角形，從而求得/。。后=°.

［繼續探究1如果點。在線段的延長線上運動，如圖3所示，求出/。。后的度數.

［拓展延伸］連接迎，當點。在直線上運動時，若48=依，請直接寫出診的最小

值.

7.某校八年級數學興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時，作了如下研究:在△力BC

中，NA4c=90°,AB=AC,點。為直線上一動點（點。不與3,。重合），

以/。為腰作等腰直角三角形ZMR使NZMP=90°,連接。足

（1）觀察猜想

如圖1,當點。在線段上時，

①。尸與2。的位置關系為;

②CF,DC,4。之間的數量關系為（直接寫出結論）；

（2）數學思考

如圖2,當點。在線段。夕的延長線上時，（1）中的①、②結論是否仍然成立？若成

立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當點。在線段8C的延長線上時，將尸沿線段。廠翻折，使點A與點E

重合，連接。后，若已知4。=笈。，AC=2?請求出線段。后的長.

8.在等腰和等腰△3EC中，￡ADC="EC=9G°,BC<CD,將△BEC繞點

。逆時針旋轉，連接力9，點。為線段的中點，連接。。，EO.

(1)如圖1,當點3旋轉到8邊上時，請直接寫出線段。。與EO的位置關系和數

量關系；

(2)如圖2,當點B旋轉到4。邊上時，(1)中的結論是否成立？若成立，請寫出證

明過程，若不成立，請說明理由；

(3)若4。=4,CD=2瓜在△BE。繞點。逆時針旋轉的過程中，當N/CB=60°

時，請直接寫出線段。。的長.

9.如圖①，在△43。中，AE\_BC=^E,AE=BE,。是月后上的一點，且DE=CE,

連接80,CD.

(1)試判斷8。與力。的位置關系和數量關系；(不用證明)

(2)如圖②，若將△〃四繞點H旋轉一定的角度后，試判斷由與力。的位置關系和

數量關系是否發生變化，并說明理由；

(3)如圖③，若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變.

①試猜想助與工。的數量關系，并說明理由；

②你能求出助與“。所夾的銳角的度數嗎？如果能，請直接寫出這個銳角的度數；如

果不能，請說明理由.

10.△力為等邊三角形，/8=8,月。1BC于點。，石為線段力。上一點，/E=2近.以

為邊在直線4?右側構造等邊三角形/所，連接N為CE的中點.

(1)如圖1,EF與AC交于點G,連接NG,求線段"G的長；

(2)如圖2,將△力班繞點力逆時針旋轉，旋轉角為a,“為線段￡尸的中點，連接

DN,MN.當30°<a<120°時，猜想N。7VM的大小是否為定值，并證明你的結論；

(3)連接B7V,在△/防繞點/逆時針旋轉過程中，當線段87V最大時，請直接寫出

圖1圖2備用圖

參考答案

1.解：(1)如圖①中,

圖①

ZEAF=ZBAC=9U°,

/.zBAF=zCAE,

?：AF=AE9AB=AC9

「?△期國△CL4H,

：,AABF=/_CyBF=CE,

\'AB=AC9Z.BAC=90°,

：.AABC=AC=45°,

/.ZFBE=ZABF+ZABC=90°,BC=BE+EC=BE+BF,

故答案為：BF]_BE,BC.

(2)如圖②中，作DHIIAC交BC于H.

■：DH\\AC,

；.NBDH=2A=90°,△。即/是等腰直角三角形,

由（1）可知，BFA.BE,BF+BE=BH>

AB=AC=3,AD=1,

：.BD=DH=2,

；.BH=2血,

：.BF+BE=BH=2-s/2；

(3)如圖③中，作。交6。的延長線于“，作ZW1BC于〃.

圖③

\'ACHDH,

：?2ACB=/H,2BDH=￡BAC=a,

?：AJ3=AC9

Z.ABC=Z.ACB

??.ZDBH=ZH,

??.DB=DH,

?:乙EDF=/_BDH=a,

???/BDF=ZHDE,

?:DF=DE,DB=DH,

：,4BD&AHDE,

:,BF=EH,

??.BF+BE=EH+BE=BH,

，：DB=DH,DM1BH,

：.BM=MH,ZBDM=ZHDM,

a

??.BM=MH=BD-sin—.

2

a

BF+BE=BH=2n*sin--.

2

2.解：（1）如圖1中，

?：AACB=/_DCE=90°,

：./_ACD=/_BCE,

'：CA=CB,CD=CE,

:.XACI涇XBCE<SAS),

：.AD=BE,2CBE=ZA,

???CA=CB,/y4cB=90°,

AA=ACBA=45°,

：.Z_CBE=A=45°,

.\Z.ABE=90°,

：.AB_LBE9

,；AB=A8BD,AD=BE,

,\AJB=BaBE,

故答案為/5_LgE,AB=BEh-BE.

(2)①如圖2中，結論：BE=AB+BD.

理由：/_ACB=ADCE=90°,

:‘乙ACD=/_BCE,

*/CA=CB,CD=CE,

：.l\ACD^l\BCE(SAS),

.\AD=BE,

\AD=AB+BD,AD=BE,

BE=AB+BD.

②如圖3中，結論：BD=AB+BE.

理由：???ZACB="CE=90°,

:?乙ACD=/_BCE,

?：CA=CB,CD=CE,

:.XACD^XBCE(SAS)

:.AD=BE,

?：BD=AB+AD,AD=BE,

：.BD=AB+BE.

(3)如圖2中，???/6=5,BD=7,

：.BE=AD=5+7=12,

■：BEAD,

,S△小得?/j3=品12X12=72?

如圖3中，5,BD=1,

：,BE=AD=BD-AB=7-5=2,

'：BEVAD,

，S△血x2X2=2?

3.解：(1)如圖1所示；

(2)如圖2,

連接力￡,由題意可知，AEAD=Z.CAD=a,AC=AE,

：.ABAE=90°-2a,

-：AB=AC,

：.AB=AE,

：.ZABE=ZAEB,

??.ZABF=180°-ZBAE=45O+a；

(3)EF=yBC,

證明：如備用圖，連接/旦CF,

由(2)可知，￡AEB=￡ABF=45°+a,

\'AB=ACy

AABC=45°,

ZCBF=a,

,?,點。關于直線的對稱點為點E,

：./_ACF=/_AEF=\^0-a,

戶=90°-a,

■：Z.CBF+BCF=9Q0,

???△4。尸是直角三角形.

?.?△/CE是等邊三角形，

.1.a=30°.

ZC^F=30°

.?.EF=CF=yBC.

B_

F

A備用圖

\'AC=CB,/_ACE=/_BCD,CE=CD,

:AACE^XBCD,

?,.AE=BD,ZEAC=ZCBD,

9：AEAC+/_AEC=9Q°,/_AEC=^BEH,

.\Z_BEH+AEBH=90°,

："EHB=9U°,BPAE\_BD,

故答緊為AE=BD,AELBD.

(2)結論：AE=BD,AEVBD.

理由：如圖2中，延長AE交BD于H,交BC于O.

???NACB=ZECD=90°,

：./_ACE=/_BCD,

?.AC=CB,/_ACE=/_BCD,CE=CD,

:.△ACE^XBCD,

：.AE=BD,￡EAC=Z.CBD,

???/瓦4。+//。。=90°,2Aoe=￡BOH,

：.ZBOH+/.OBH=90°,

；.￡OHB=9G°,g[JAEVBD.

(3)①當射線在直線4。的上方時，作。用_40用

B

圖3

?1?CE=CD,￡ECD=9G°,CH工DE,

：.EH=DH,CH=--DE=5,

在RtZ\/C7/中，-：AC=13,CH=5,

-'-AH=\I132-52=12>

：.AD=AH+DH=12+5=17.

②當射線在直線的下方時時，作用H.

同法可得：AH=12,故AD=AH-DH=\2-S=7,

綜上所述，滿足條件的的值為17或7.

5.解：(1)如圖1中，延長CP交助的延長線于E,設AB交EC于點O.

4

'B

E；-D

圖1

?：APAD=ACAB=60Q,

??.ZCAP=ZBAD,

\'CA=BA9PA=DAy

:.XCA3XBAD(SAS),

：.PC=BD,/_ACP=/_ABD,

?：/_AOC=/_BOE,

,\Z.BEO=ACAO=60°,

.?P?D黑=1,線m與直線c尸相交所成的較小角的度數是60。，

ii-/

故答案為：1,60。.

(2)當a=90°時，瞿=如，直線與直線CP相交所成的較小角的度數為45°;

理由如下：

如圖2,假設BD與相交于點M,與尸。交于點N,

圖2

???線段/尸繞點尸逆時針旋轉90°得到線段DP,

:.XPAD是等腰直角三角形，

：.AAPD=90°,NR4Z?=/an4=45°,

—cosZPAD=cos45°=-^-.

AD2

\-CA=CB9Z.ACB=90°,

：,^CAB=Z.PAD=45°,

—=cosZCL4B=cos45°=返，ZPAEh-ZCAD=ZCAB+ZCAD,

AB2

若=祭"AC="AB,

:.XPACSXDAB、

?PC=PA—/pcA=/DBA

"BDAD2*ZZ'

???BDk匹r-

vzBMC=zBNC+Z.PCA=ZABD^/_BAC,2PCA=乙DBA,

???/團憶=/A4C=45°,即直線由與直線。尸相交所成的較小角的度數為45°.

(3)如圖3,

??,點E,尸分別是CA,8的中點，

：.EFIIAB,AE=EC,

；.NPEA=/BAC=45°.

■.P,D,。三點在同一直線上，N400=90°,

：.AAPC=9Q°,PE=AE=EC,

：.ZEPC=ZECP

■：ZEPC+ZECP=Z7^4=45°,ZDAC+ZECP=ZPDA=^°,

ZEPC=ZECP=ZDAC,

：.AD=DC.設AP=x,5liJPD=x,

在Rtaa4。中，由勾股定理得，/IP=VPA2+PD2=V2^

:.PC=PACD=(V2+1)x.

由(2)知黑=M，

1kz

；,BD=?PC=(2+V2)x.

,:/_ECP=(DAC,/_PCA=/_DBA.

：./_DAC=/_DBA,

又??,2ADM=々BDA,

：.t\ADMs〉BDA,

即/加=。”?班，

BDAD

（北方2=（2-V2）（2+V2）X.

解得a=1,芍=0（不合題意，舍去），

：.AP=\.

6.解：［問題初探］

如圖2,過點后作砂'18C交直線3。于",

；."FE=9G°=ZABD,

：.Z.EDF+Z.DEF=90°,

由旋轉知，AD=DE,AADE=90°,

：.￡ADB+￡EDF=9G°,

ZADB=ZDEF,

：.IxABD^XDFE<AAS）,

：.BD=EF,DF=AB,

-：AB=BC,

:.BC=DF,

：.BD=CF,

:.EF=CF,

.?.△CE斤是等腰直角三角形，

：.￡ECF=45°,

NZ?CH=135°,

故答案為：ADB,等腰直角，135;

［繼續探究］

如圖3,

過點E作EFLBCTF,

：ZDFE=90°=ZABD,

:.LEDF+￡DEF=9G°,

由旋轉知，AD=DE,/月。￡=90°,

；.￡ADB"EDF=9G°,

：.AADB=ADEF,

：./\ABD^/\DFE(A4S),

：.BD=EF,DF=AB,

?：AB=BC,

：.BC=DF,

：.BD=CF,

EF=CF,

AC反尸是等腰直角三角形，

.?./EC斤=45°,

:."CE=45°;

［拓展延伸］

如圖4,

在△力^。中，/力30=90°,AB=BC=G

.?./力。6=45°

當點。在射線上時，

由［問題初探］知，N8CM=135°,

：./_ACM=ABCM-/_ACB=9D0,

當點。在線段CB的延長線上時，

由［繼續探究］知，"CE=45。，

：.ZACN=ZACB+ZBCM=90a,

???點E是過點。垂直于/C的直線上的點，

當BE］_MTV時，BE最小，

?:NBCE=45°,

：.ACBE=45°=ZBCE,

BE=CE,

BE最小=*BC=

即：BE的最小值為正.

等腰直角△40歹中，AD=AF,

?；“AC=ZDAF=9G°,

ZBAD=ZCAF,

在△DAB與4c中，

，AD=AF

<ZBAD=ZCAF,

AB=AC

:.△DAB^XFAC(&4S),

：.AB=/_ACF,

：.AACB+/_ACF=90a,BPBCLCF-,

②XDAB^XFAC,

：.CF=BD,

■：BC=BD^CD,

BC=CF+CD;

故答案為：垂直，BC=CF+CD,?

(2)C尸IB。成立；BC=CZ>CF不成立，結論：CD=CF+BC.理由如下:

??.等腰直角尸中，AD=AF9

???NEAC=NDAF=90°,

??.ZBAD=ZCAF,

在△ZMB與△耳4c中，

'AD二AF

,ZBAD=ZCAF,

AB=AC

:.XDAB^XFAC<SAS),

：./_ABD=/_ACF,

??,NBAC=90°,AE=AC,

：,/_ACB=/_ABC=45°,

.?.//m=180°-45°=135°,

/.ZBCF=ZACF-ZACB=135°-45°=90°,

：.CFLBC.

?:CD=DB+BC,DB=CF,

CD=CF+BC.

(3)解：過力作月H1BC于H,過E作EM1BD于M,EN]_。尸于E,如圖3所示:

?：ZBAC=90°,AB=AC=2五,

:.BC=?AB=4,AH=BH=CH=BC=2,

：.CD=—BC=\,

4

：.DH=CH+CD=3,

?.?四邊形力。反尸是正方形，

：.AD=DE,ZADE=90°,

???SCICF,EM]_BD,EN]_CF,

四邊形是矩形，

：.NE=CM,EM=CN,

■：ZAHD=ZADE=ZEMD=90°,

ZADH+ZEDM=/_EDM+ZDEM=90°,

ZADH=ZDEM,

在〃與△OEM中，

，ZADH=ZDEM

,ZAHD=ZDME,

AD=DE

：.4ADH94DEMqAAS),

；.EM=DH=3,DM=AH=2,

：.CM=EM=3,

CE=2KM2=3V2.

8.解：(1)DOLEO,DO=EO-,

理由：當點B旋轉到邊上時，點后必在邊力。上,

:，乙AEB=LCEB=9b°,

在RtZ\4BE中，點。是的中點，

：.OE=OA=^AB,

：.Z.BOE=2/_BAE,

在RtZ\4BO中，點。是的中點，

OD=OA=—AB,

2

：.ADOE=2ABAD,

OD=OE,

??,等腰△4OG且/40。=90°,

/.ZZ?XC=45°,

:DOE=乙BOE+乙DOE=27_BAE+2(BAD=2(￡BAE"DAE)=2/ZMC=

90°,

OD\_OE,?

(2)仍然成立，

理由：如圖2,延長E。到點跖使得連接力跖DM,DE,

:。是的中點，

OA—OBy

?；Z_AOM=2BOE,

???4AOM4叢BOE(SAS),

：./_MAO=AEBO,MA=EB,

???△4。。和4。6后是等腰三角形，/_ADC=Z.CEB=9G,

/.ZCAD=ZACD=ZEBC=ZBCE=45°,

?「NOB后=180°-EBC=135°,

：.AMAO=135°,

/.ZMAD=ZMAO-ZDAC=90°,

?/ZDCE=ZDCA+/_BCE=9GQ,

??.ZMAD=ZDCE,

?:MA=EB,EB=EC,

.\MA=EC9

?：AD=DC,

:、XMAD^XECD,

：,MD=ED,乙ADM=/_CDE,

^CDE+Z.ADE=90°,

：.^ADM+AADE=90a,

：,^MDE=90°,

,：MO=EO,MD=DE,

AOD=yME,OD1ME,

vOE-^ME,

：.OD=OE,ODLOE\

(3)①當點夕在/C左側時，如圖3,

延長石。到點M,使得OM=OE,連接AM,DM,DE,

同(2)的方法得，△08匹△Q4”(S4S),

/.ZOBE=ZOAM9OM=OE,BE=AM,

?；BE=CE,

??.AM=CE,

在四邊形ASE8中，ZADC+ZDCE+ZJ3EC+ZOBE+ZBAD=540°,

??2ADC=2BEC=9。。,

：.^DCE=540°-90°-90°-ZOBE-￡BAD=3600-ZOBE=360°-Z

OAM-ZBAD,

ZDAM^/_OAM+ABAD=360°,

/.ZZZ4M=360°-"AM-2BAD,

??.ZDAM=ZDCE,

?:AD=CD,

；.4DAM”叢DCE(SAS),

:.DM=DE,/_ADM=/_CDE,

:"EDM=ZADM+ZADE=ZCDE+￡ADE=ZADC=90°,

???OM=OE,

OD=OE=^ME,乙DOE=9G。,

在RtZ\3CE中，CE=^BC=2七

過點E作EHLDC交。。的延長線于H,

在RtZkCT/fi1中，NEC"=180°-/_ACD-/_ACB-/_BCE=\?>^a-45°-60°

-45°=30°,

：.EH=^CE=y/2,

根據勾股定理得，CH=MEH=41，

：.DH=CEH-CH=3加，

在Rt△。/如中，根據勾股定理得，DE=7EH2+DH2=2Vl4?

：.OD=^DE=25

②當點6在/。右側時，如圖4,

同①的方法得，OD=OE,"OE=90°,

連接。E,過點E作EH工CD于H,

在RtZ\E〃C中，NECH=3G°

：.EH=^CE=^

根據勾股定理得，CH=E，

:.DH=CD-CH=A

在Rt△。/拓:中，根據勾股定理得，DE=2版,

：.OD=返。E=2,

2

即：線段的長為2或2折.

圖4C

圖3

M

＜、

9.解：（1）結論：BD=AC,BDLAC.

理由：延長BD交AC于尸.

：.ZAEC=ZBED=9G°.

在△4EC和△BE。中，

'AE=BE

，ZAEC=ZBED,

EC=ED

：.^AEC^^BED,

：.AC=BD,ZCAE=ZEBD,

■：AAEC=90°,

NC+/G4E=90°,

；.￡CBF+￡C=9G°,

；.NBFC=9G°,

：.ACLBD.

(2)如圖2中，不發生變化，設DE與AC交于點,O,BD與AC交于■點F.

理由是：；NB￡>1=NOEC=90°,ZBEA+ZAED=ZDEC+ZAED,：.ZBED

=LAEC,

在△BET?和△/EC中，

"BE=AE

>ZBED=ZAEC,

DE=EC

.?.△3￡7格△4E'。，

：.BD=AC,^BDE=/.ACE,

?；NDEC=9G°,

:.±ACE+￡EOC=9G°,

???ZEOC=ZDOF,

：.ZBDE+ZDOF=90°,

.,.ZZ?FO=180°-90°=90°,

.-.BDLAC-,

(3)①如圖3中，結論：BD=AC,

A

D

理由是：和△DEC是等邊三角形，

：.AE=BE,DE=EC,/_EDC=/_DCE=^O°,