3.2.1

單調(diào)性與最大（小）值第2課時1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義2.能利用函數(shù)的圖象或單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值

觀察：這兩個函數(shù)圖象，圖中有個最高點(diǎn)，那么這個最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫什么呢？Ox0xMyyxOx0Mf(x)＜M知識點(diǎn)1：函數(shù)的最大值和最小值問題：設(shè)函數(shù)y=

f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，

f(x)與M的大小關(guān)系如何？1.對任意的x∈R都有

f(x)≤0.2.存在0，使得?(0)=0.O12yx1-1-1如函數(shù)

f(x)=-x2(x∈R)，概念生成

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（2）?x0∈I，使得f(x)=M.我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.（1）?x∈I，有f(x)≤M；思考：仿照函數(shù)的最大值的定義，怎么給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義？

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）?x∈I，有f(x)≥M；（2）?x0∈I，使得f(x)=M.我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.例1

“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時爆裂．如果煙花距地面的高度(單位:ｍ)與時間(單位:ｓ)之間的關(guān)系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少(精確到1ｍ)？知識點(diǎn)2：圖象法求函數(shù)的最值解：畫出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標(biāo)就是這時距地面的高度.

25201510512345tOh30當(dāng)時，函數(shù)有最大值

所以，煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時刻,這時距地面的高度是29m.由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我們有：25201510512345tOh30圖象法求函數(shù)最值的一般步驟:1.作：作出函數(shù)圖象；2.找：在圖象上找到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)；3.定：確定函數(shù)的最大（小）值.總結(jié)歸納

一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)，最小值對應(yīng)圖象中的最低點(diǎn).注：函數(shù)的最大值和最小值可以有多個.已知函數(shù)

f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函數(shù)

f(x)的最值.解：函數(shù)

f(x)=x2-2x-3的對稱軸為x=1，且對稱軸在區(qū)間[0,2]內(nèi)，∵f(0)－f(2)=-3－(22－2×2－3)=0，1-1-2-3-4123xOy2由二次函數(shù)的知識，可知函數(shù)

f(x)=x2-2x-3在[0,1]內(nèi)單調(diào)遞減，在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(1)=－4，∴

f(x)max=f(0)=f(2)=－3

.練一練區(qū)間端點(diǎn)處的最值通過計算判斷例2已知函數(shù)(x∈[2,6])，求函數(shù)的最大值與最小值.分析：由函數(shù)的圖象可知道，函數(shù)在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減.所以在區(qū)間[2，6]的兩個端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值.2.521.510.512345xOy6解：?x1,x2∈[2,6],且x1＜x2，則知識點(diǎn)3：單調(diào)性求函數(shù)的最值由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0,

于是即

所以，函數(shù)在區(qū)間[2,6]上單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在區(qū)間[2,6]的兩個端點(diǎn)上分別取最值．在x=2取得最大值，最大值是2；在x=6取得最小值，最小值是0.4．2.521.510.512345xOy6二、函數(shù)最值與單調(diào)性的關(guān)系:1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)的最小值ymin=f(a)，最大值ymax=f(b)；2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)的最小值ymin=f(b)，最大值ymax=f(a)；總結(jié)歸納一、利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟:1.判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用單調(diào)性求出最大（小）值.練一練已知函數(shù),求函數(shù)

f(x)在x∈[2,5]上的最大值和最小值.解：任取x1,x2∈[2,5]

,且x1＜x2，∵2≤x1＜x2≤5

,∴x2－x1＞0，x1x2