4.1.1n次方根與分數指數冪1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質2.理解分數指數冪的含義，掌握根式與分數指數冪的互化3.掌握有理數指數冪的運算性質

回顧：

我們學習過的一次函數、二次函數、冪函數、分段函數等都與現實世界有緊密聯系．它們的解析式分別是什么？能舉例說明與此有關的生活實例嗎？如果x2=a，那么x叫做a的平方根．例如，±2就是4的平方根．如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根．類似地，由于(±2)4=16，我們把±2叫做16的4次方根；由于(±2)5=32，2叫做32的5次方根．

一般地，如果xn=a那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.知識點1：n次方根與根式①當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數.這時，a的n次方根用符號表示.例如②當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數.正數a的正的n次方根用符號表示，負的n次方根用符號表示.兩者也可以合并寫成.例如③負數沒有偶次方根

④0的任何次方根都是0.記作：

思考：為什么負數沒有偶次方根？

因為在實數的定義里，兩個數的偶次方根結果是非負數，即任意實數的偶次方是非負數.式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．

根指數被開方數根據n次方根的定義，可得：，如：思考：1.

表示的n次方根，一定成立嗎？①當n為奇數時，②當n為偶數時，2.

與有何不同？

中的a不受n的限制，a∈R.中的a受到n的限制，當n為奇數時，a∈R，當n為偶數時，a≥0.另外，當a<0時，n為奇數時，n為偶數時.而例1

求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）總結歸納(1)化簡時,首先明確根指數n是奇數還是偶數,然后依據根式的性質進行化簡;化簡時,關鍵是明確是否有意義,只要有意義,則(2)在對根式進行化簡時,若被開方數中含有字母參數,則要注意字母參數的取值范圍,即確定中a的正負,再結合n的奇偶性給出正確結果.根式求值觀察以下式子,試總結出規律(a＞0):知識點2：分數指數冪當根式的被開方數的指數能被根指數整除時,根式可以表示為分數指數冪的形式.思考：當根式的被開方數的指數不能被根指數整除時，根式是否也能表示為分數指數冪的形式呢？

為了使整數指數冪的運算性質，如(ak)n=akn仍然成立，根式可表示為分數指數冪的形式，如

因此，我們規定，正數的正分數指數冪的意義是在條件下，根式都可以寫成分數指數冪的形式．例如，我們規定：0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義．

正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，我們規定，思考：1.

可以理解為個a相乘嗎？2.

分數指數能約分嗎？不可以.顯然不是半個a相乘，它的實質是根式的另一種寫法，如.在這樣的規定下，根式與分數指數冪就是表示相同意義的量，只是形式不同.不能隨意約分.因為約分之后可能會改變根式有意義的條件，如約分后變成了

，而在實數范圍內無意義.

回顧正數指數冪的運算法則，觀察下列式子，你能得出什么結論？知識點3：有理數指數冪的運算性質

整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪也同樣適用，即對于任意有理數r,s均有下面的運算性質：例2

求值(1)(2)解：（1）（2）分數指數冪的運算技巧1.對于既含有分數指數冪,又含有根式的式子,一般把根式統一化成分數指數冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數不同,也應化成分數指數冪的形式.2.對于計算題的結果,不強求統一用什么形式來表示,但結果不能同時含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.總結歸納例3

用分數指數冪的形式表示下列各式(其中a＞0):解：（1）（2）(1)(2)根式與分數指數冪互化的規律：1.根指數化為分數指數的分母，被開方數(式)的指數化為分數指數的分子．2.在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性質解題.總結歸納例4

計算下列各式（式中字母均是正數）：解：（1）（2）(1)(2)例4

計算下列各式（式中字母均是正數）：（3）(3)利用指數冪的運算性質化簡求值的方法：1.進行指數冪的運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數，同時兼顧運算的順序．2.在明確根指數的奇偶(或具體次數)時，若能明確被開方數的符號，則可以對根式進行化簡運算．3.對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式表示．總結歸