排列、組合問(wèn)題基本題型及解法同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)排列、組合的過(guò)程中，總覺(jué)得抽象，解法靈活，不容易掌握.然而排列、組合問(wèn)題又是歷年高考必考的題目.本文將總結(jié)常見(jiàn)的類型及相應(yīng)的解法.一、相鄰問(wèn)題“捆綁法”將必須相鄰的元素“捆綁”在一起，當(dāng)作一個(gè)元素進(jìn)行排列.例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必須站在一起，不同的排法共有幾種？分析：先把甲、乙當(dāng)作一個(gè)人，相當(dāng)于三個(gè)人全排列，有＝6種，然后再將甲、乙二人全排列有＝2種，所以共有6×2＝12種排法.二、不相鄰問(wèn)題“插空法”該問(wèn)題可先把無(wú)位置要求的元素全排列，再把規(guī)定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意兩端）.例27個(gè)同學(xué)并排站成一排，其中只有A、B是女同學(xué)，如果要求A、B不相鄰，且不站在兩端，不同的排法有多少種？.分析：先將其余5個(gè)同學(xué)先全排列，排列故是＝120.再把A、B插入五個(gè)人組成的四個(gè)空位（不包括兩端）中，（如圖0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5個(gè)同學(xué)）有＝2種方法.則共有＝440種排法.三、定位問(wèn)題“優(yōu)先法”指定某些元素必須排（或不排）在某位置，可優(yōu)先排這個(gè)元素，后排其他元素.例36個(gè)好友其中只有一個(gè)女的，為了照像留念，若女的不站在兩端，則不同的排法有種.分析：優(yōu)先排女的（元素優(yōu)先）.在中間四個(gè)位置上選一個(gè)，有種排法.然后將其余5個(gè)排在余下的5個(gè)位置上，有種方法.則共＝480種排法.還可以優(yōu)先排兩端（位置優(yōu)先）.四、同元問(wèn)題“隔板法”例410本完全相同的書，分給4個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少要有一本書，共有多少種分法？分析：在排列成一列的10本書之間，有九個(gè)空位插入三塊“隔板”.如圖：××××××××××一種插法對(duì)應(yīng)于一種分法，則共有＝84種分法.五、先分組后排列對(duì)于元素較多，情形較復(fù)雜的問(wèn)題，可根據(jù)結(jié)果要求，先分為不同類型的幾組，然后對(duì)每一組分別進(jìn)行排列，最后求和.例5由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）（A）210個(gè)（B）300個(gè)（C）464個(gè)（D）600個(gè)分析：由題意知，個(gè)位數(shù)字只能是0，1，2，3，4共5種類型，每一種類型分別有個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)、個(gè)，合計(jì)300個(gè)，所以選B例6用0，1，2，3，…，9這十個(gè)數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個(gè)奇數(shù)數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?【解法1】考慮0的特殊要求，如果對(duì)0不加限制，應(yīng)有種，其中0居首位的有種，故符合條件的五位數(shù)共有＝11040個(gè).【解法2】按元素分類：奇數(shù)字有1，3，5，7，9；偶數(shù)字有0，2，4，6，8.把從五個(gè)偶數(shù)中任取兩個(gè)的組合分成兩類：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三個(gè)奇數(shù)字和兩個(gè)偶數(shù)字組成的五位數(shù)有個(gè)；②含0的，這時(shí)0只能排在除首位以外的四個(gè)數(shù)位上，有種排法，再選三個(gè)奇數(shù)數(shù)與一個(gè)偶數(shù)數(shù)字全排放在其他數(shù)位上，共有種排法.綜合①和②，由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有＋＝11040個(gè).例8由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字，比20000大，且百位數(shù)字不是3的自然數(shù)？U【解】設(shè)A＝{滿足題設(shè)條件，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)}，B＝{滿足題設(shè)條件，且比20000大的自然數(shù)}，則原題即求，畫韋恩圖如圖，陰影部分U即，從圖中看出.又，由性質(zhì)2，有即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字，且比20000大的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，易知.即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字、比20000大，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，易知，所以＝78.即可組成78個(gè)符合已知條件的自然數(shù).

典型例題例1用0到9這10個(gè)數(shù)字．可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解法1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來(lái)排列，故有個(gè)；當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來(lái)排，按乘法原理有（個(gè)）．∴沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個(gè)．例2排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：＝43200.（2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：＝2880種方法。例3某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法．分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中Ⅲ，這坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是．在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法．”這個(gè)數(shù)目是．其中第一個(gè)因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)則表示乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)．說(shuō)明：解法2可在學(xué)完組合后回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí)．例10計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）．A．B．C．D．解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列．但4幅油畫、5幅國(guó)畫本身還有排列順序要求．所以共有種陳列方式．∴應(yīng)選D．說(shuō)明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問(wèn)題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列．本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來(lái)解答的問(wèn)題．例11由數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）．A．210B．300C．464D．600解法1：（直接法）：分別用作十萬(wàn)位的排列數(shù)，共有種，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個(gè)．解法2：（間接法）：取個(gè)數(shù)字排列有，而作為十萬(wàn)位的排列有，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個(gè))．∴應(yīng)選B．說(shuō)明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問(wèn)題而定，有的問(wèn)題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解．(2)“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問(wèn)題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法．例12用，這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）．A．24個(gè)B．30個(gè)C．40個(gè)D．60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問(wèn)題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷．解法1：分類計(jì)算．將符合條件的偶數(shù)分為兩類．一類是2作個(gè)位數(shù)，共有個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有個(gè)．因此符合條件的偶數(shù)共有個(gè)．解法2：分步計(jì)算．先排個(gè)位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個(gè)．解法3：按概率算．用這個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的．因此三位偶數(shù)共有個(gè)．解法4：利用選擇項(xiàng)判斷．用這個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)．其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有符合條件．∴應(yīng)選．例13用共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個(gè)位用或者不用數(shù)字，對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用或者用進(jìn)行分類．一個(gè)自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字進(jìn)行分類．解：(1)就個(gè)位用還是用分成兩類，個(gè)位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個(gè))，個(gè)位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個(gè))，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個(gè))．(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：、、、、、、、，前四組中有，后四組中沒(méi)有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個(gè))，如果用后四組，共有(個(gè))，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個(gè))．例14一條長(zhǎng)椅上有個(gè)座位，人坐，要求個(gè)空位中，有個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對(duì)于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對(duì)待，設(shè)空座梯形依次編號(hào)為．先選定兩個(gè)空位，可以在號(hào)位，也可以在號(hào)位…共有六種可能，再安排另一空位，此時(shí)需看到，如果空位在號(hào)，則另一空位可以在號(hào)位，有種可能，相鄰空位在號(hào)位，亦如此．如果相鄰空位在號(hào)位，另一空位可以在號(hào)位，只有種可能，相鄰空位在號(hào)，號(hào)，號(hào)亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類．本題的另一考慮是，對(duì)于兩相鄰空位可以用合并法看成一個(gè)元素與另一空位插入已坐人的個(gè)座位之間，用插空法處理它們的不相鄰．解答一：就兩相鄰空位的位置分類：若兩相鄰空位在或，共有(種)坐法．若兩相鄰空位在，，或，共有(種)不同坐法，所以所有坐法總數(shù)