河南省洛陽名校2024屆高一數學第二學期期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知樣本數據為3，1，3，2，3，2，則這個樣本的中位數與眾數分別為（）A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，22．在下列結論中，正確的為（）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒有方向的3．下列兩個變量之間的關系不是函數關系的是（）A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質量D．人的身高與體重4．如圖所示，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時氣球的高度是60m，則河流的寬度等于（）A．m B．m C．m D．m5．若對任意的正數a，b滿足，則的最小值為A．6 B．8 C．12 D．246．函數的最小正周期是()A． B． C． D．7．若程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出k的值是（）A．5 B．6 C．7 D．88．已知的三個內角所對的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形9．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．10．在棱長為1的正方體中，點在線段上運動，則下列命題錯誤的是（）A．異面直線和所成的角為定值 B．直線和平面平行C．三棱錐的體積為定值 D．直線和平面所成的角為定值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數列中，，，則該等差數列的公差的值是______.12．棱長為，各面都為等邊三角形的四面體內有一點，由點向各面作垂線，垂線段的長度分別為，則=______．13．在矩形中，，現將矩形沿對角線折起，則所得三棱錐外接球的體積是________.14．給出以下四個結論：①平行于同一直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一平面的兩個平面互相平行；③若，是兩個平面；，是異面直線；且，，，，則；④若三棱錐中，，，則點在平面內的射影是的垂心；其中錯誤結論的序號為__________．（要求填上所有錯誤結論的序號）15．設a＞0，b＞0，若是與3b的等比中項，則的最小值是__．16．__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知以點為圓心的圓與直線相切．過點的動直線與圓A相交于M，N兩點，Q是的中點，直線與相交于點P．（1）求圓A的方程；（2）當時，求直線的方程．18．已知：（，為常數）．（1）若，求的最小正周期；（2）若在，上最大值與最小值之和為3，求的值．19．如圖，正方體．（1）求證：平面；（2）求異面直線AC與所成角的大小．20．已知A、B兩地的距離是100km，按交通法規定，A、B兩地之間的公路車速x應限制在60~120km/h，假設汽油的價格是7元/L，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是70元（設汽車為勻速行駛），那么最經濟的車速是多少？如果不考慮其他費用，這次行車的總費用是多少？21．在銳角中，，，分別為內角，，所對的邊，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

將樣本數據從小到大排列即可求得中位數，再找出出現次數最多的數即為眾數.【題目詳解】將樣本數據從小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位數為，眾數為3.故選：C.【題目點撥】本題考查了中位數和眾數的概念，屬于基礎題.2、B【解題分析】

逐一分析選項，得到答案.【題目詳解】A.單位向量的方向任意，所以當起點相同時，終點在以起點為圓心的單位圓上，終點不一定相同，所以選項不正確；B.向量與向量是相反向量，方向相反，長度相等，所以選項正確；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，所以選項不正確；D.規定零向量的方向任意，而不是沒有方向，所以選項不正確.故選B.【題目點撥】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎題型.3、D【解題分析】

根據函數的概念來進行判斷。【題目詳解】對于A選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數關系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數關系；對于C選項，鐵塊的質量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質量是一次函數關系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關系不是函數關系。故選：D。【題目點撥】本題考查函數概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學生對這些概念的理解，屬于基礎題。4、A【解題分析】

在直角三角形中，利用銳角三角函數求出的長，在直角三角形中，利用銳角三角函數求出的長，最后利用進行求解即可.【題目詳解】在直角三角形中，.在直角三角形中，.所以有.故選：A【題目點撥】本題考查了銳角三角函數的應用，考查了數學運算能力.5、C【解題分析】

利用“1”的代換結合基本不等式求最值即可【題目詳解】∵兩個正數a，b滿足即a+3b=1則=當且僅當時取等號．故選C【題目點撥】本題考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代換是關鍵，屬于基礎題．6、A【解題分析】

作出函數的圖象可得出該函數的最小正周期。【題目詳解】作出函數的圖象如下圖所示，由圖象可知，函數的最小正周期為，故選：A。【題目點撥】本題考查三角函數周期的求解，一般而言，三角函數最小正周期的求解方法有如下幾種：（1）定義法：即；（2）公式法：當時，函數或的最小正周期為，函數最小正周期為；（3）圖象法。7、A【解題分析】試題分析：第一次循環運算：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：，這時符合條件輸出，故選A.考點：算法初步.8、B【解題分析】

利用三角形的內角關系及三角變換公式得到，從而得到，此三角形的形狀可判斷.【題目詳解】因為，故，整理得到，所以，因，所以即，故為等腰三角形，故選B.【題目點撥】本題考查兩角和、差的正弦，屬于基礎題，注意角的范圍的討論.9、C【解題分析】

利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【題目詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【題目點撥】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.10、D【解題分析】

結合條件和各知識點對四個選項逐個進行分析，即可得解.【題目詳解】，在棱長為的正方體中，點在線段上運動易得平面，平面，，故這兩個異面直線所成的角為定值，故正確，直線和平面平行，所以直線和平面平行，故正確，三棱錐的體積還等于三棱錐的體積，而平面為固定平面且大小一定，，而平面點到平面的距離即為點到該平面的距離，三棱錐的體積為定值，故正確，由線面夾角的定義，令與的交點為，可得即為直線和平面所成的角，當移動時這個角是變化的，故錯誤故選【題目點撥】本題考查了異面直線所成角的概念、線面平行及線面角等，三棱錐的體積的計算可以進行頂點輪換及線面平行時，直線上任意一點到平面的距離都相等這一結論，即等體積法的轉換．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據等差數列的通項公式即可求解【題目詳解】故答案為：【題目點撥】本題考查等差通項基本量的求解，屬于基礎題12、．【解題分析】

根據等積法可得∴13、【解題分析】

取的中點，連接，三棱錐外接球的半徑再計算體積.【題目詳解】如圖，取的中點，連接.由題意可得，則所得三棱錐外接球的半徑，其體積為.故答案為【題目點撥】本題考查了三棱錐的外切球體積，計算是解題的關鍵.14、②【解題分析】

③①可由課本推論知正確；②可舉反例；④可進行證明.【題目詳解】命題①平行于同一直線的兩條直線互相平行,由課本推論知是正確的；②垂直于同一平面的兩個平面互相平行，是錯誤的，例如正方體的上底面，前面和右側面,是互相垂直的關系；③根據課本推論知結論正確；④若三棱錐中，，，則點在平面內的射影是的垂心這一結論是正確的；作出B在底面的射影O,連結AO,DO,則，同理，，進而得到O為三角形的垂心.

故答案為②【題目點撥】這個題目考查了命題真假的判斷，一般這類題目可以通過課本的性質或者結論進行判斷；也可以通過舉反例來解決這個問題.15、【解題分析】由已知,是與的等比中項，則則，當且僅當時等號成立故答案為2【題目點撥】本題考查基本不等式的性質、等比數列的性質，其中熟練應用“乘1法”是解題的關鍵．16、【解題分析】

在分式的分子和分母上同時除以，然后利用極限的性質來進行計算.【題目詳解】，故答案為：.【題目點撥】本題考查數列極限的計算，解題時要熟悉一些常見的極限，并充分利用極限的性質來進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)或【解題分析】

（1）圓心到切線的距離等于圓的半徑，從而易得圓標準方程；（2）考慮直線斜率不存在時是否符合題意，在斜率存在時，設直線方程為，根據垂徑定理由弦長得出圓心到直線的距離，現由點（圓心）到直線的距離公式可求得．【題目詳解】（1）由于圓A與直線相切，∴，∴圓A的方程為．（2）①當直線與x軸垂直時，易知與題意相符，使．②當直線與x軸不垂直時，設直線的方程為即，連接，則，∵，∴，由，得．∴直線，故直線的方程為或．【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，解題關鍵是垂徑定理的應用，在圓中與弦長有關的問題通常都是用垂徑定理解決．18、（1）；（2）1【解題分析】

（1）利用二倍角和輔助角公式化簡，即可求出最小正周期；（2）根據在，上，求解內層函數范圍，即可求解最值，由最大值與最小值之和為3，求的值．【題目詳解】解：，（1）的最小正周期；（2），，當時，即，取得最小值為，當時，即，取得最大值為，最大值與最小值之和為3，，，故的值為1．【題目點撥】本題主要考查三角函數的性質和圖象的應用，屬于基礎題．19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）證明，，即得證；（2）求出即得異面直線AC與所成角的大小．【題目詳解】（1）證明：因為為正方體，所以ABCD為正方形．所以，又因為平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面,所以平面．（2）因為，所以直線AC與所成的角或補角即為AC與的角，又三角形為等邊三角形，所以，即直線AC與所成的角為．【題目點撥】本題主要考查線面位置關系的證明，考查異面直線所成角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、80,280【解題分析】

將總費用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【題目詳解】設總費用為則當時等號成立，滿足條件故最經濟的車速是，總費用為280【題目點撥】本題考查了函數表達式，均值不等式，意在考查學生解決問題的能力.21、(1)；（2）.【