概率論與數理統計極限定理

從而有，Z=X+Y～N（0，2）.（2）如果Xi(i=1,2,…,n)為n個互相獨立的隨機變量，且Xi~N(μi，σi2)，則一般地（1）若X1~

，X2~N

，且X1、X2相互獨立，則有X1+X2~N下頁定理3（同分布中心極限定理）設隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立，服從相同分布，且有有限的數學期望和方差，即的分布函數Fn(x)滿足：對任意的x，有E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2，k=1,2,…則隨機變量§5.2中心極限定理下頁說明：（1）當n很大時，Yn近似地服從N（0，1），即（2）當n很大時，近似地服從N（n

μ，nσ2）即不論Xi具有怎樣的分布，只要有有限的期望和方差，當n很大時，其和就近似地服從正態分布.下頁例1．設樣本X1，X2，…，X20相互獨立，且都來自均勻分布U(0,1)，其中,E(Xi)=1/2,D(Xi)=1/12，令Y20=X1+X2+…+X20，求：P{Y20≤9.1}.解：P{Y20≤9.1}=n=20，μ=1/2,σ2=1/12下頁定理4（棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理）設隨機變量ηn服從參數為n,p的二項分布（n=1,2,…,0＜p＜1），則對于任意實數x恒有其中由獨立同分布中心極限定理可得證:由于服從二項分布的隨機變量和hn可視為n個相互獨立的、服從同一參數p的（0-1）分布的隨機變量X1，X2，…，Xn之和，下頁例2．一批種子，其中良種占1/6，在其中任選6000粒，試問在這些種子中，良種所占的比例與1/6之差的絕對值小于1%的概率是多少？解：設X表示取6000粒種子中的良種粒數，則X~B(6000,1/6)注若X~B(n,p),則當n較大時，有下頁例3.某出租車公司有500輛的士參加保險，在一年里的出事故的概

率為0.006，參加保險的的士每年交800元的保險費．若出事故，保

險公司最多賠償50000元，試利用中心極限定理，計算保險公司一

年賺錢不小于200000元的概率．解：設X表示500輛的士中出事故的車輛數，則X～B(500,0.006)其中np=3,npq=2.982,保險公司一年賺錢不小于200000元的事件為{500×800≥500×800-50000X≥200000},即事件{0≤X≤4}可見，保險公司在一年里賺錢不小于200000元的概率為0.7781.下頁

例4.在抽樣檢查某種產品的質量時，如果發現次品多于10個，則拒絕接受這批產品．設產品的次品率為10﹪，問至少應抽查多少個產品進行檢查，才能保證拒絕這批產品的概率達到0.9？解:設應抽查n件產品,其中次品數為Y.記由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，得要使

即

得

即至少要抽查147件產品才能保證拒絕這批產品的概率達到0.9．下頁作業：

92頁

1,2,3,7，8

結束緒言：概率論與數理統計的關系概率論是數理統計的理論基礎；數理統計是概率論的應用.數理統計概論

概率論是在（總體）X分布已知的情況下，研究X的性質及統計規律性．數理統計是在（總體）X分布未已知（或部分未知）的情況下，對總體Ｘ的分布作出推斷和預測.數理統計的研究方法

通過從總體抽取部分個體（樣本），通過對樣本的研究，對總體作出推斷或預測．是一種由部分推測整體的方法．第六章樣本及抽樣分布下頁數理統計研究方法流程圖：

數理統計以概率論為基礎，研究如何搜集資料，并對統計資料進行整理和分析，對整體的某些性質作出推斷．數理統計內容豐富，應用廣泛．本書介紹了數理統計初步知識：參數估計；假設檢驗[；方差分析；回歸分析].下頁總體X樣本統計量對總體X作出推斷采集數據加工處理對統計量分析第六章樣本及抽樣分布§6.1隨機樣本與統計量一、總體、個體與樣本總體：研究對象的全體稱為總體（母體）.個體：組成總體的每個研究對象稱為個體.總體分為有限總體和無限總體.數理統計的核心問題是由樣本推斷總體，即統計推斷問題.

注：在研究中，往往關心每個個體的一個(或幾個)數量指標和該數量指標在總體中的分布情況.這時，每個個體具有的數量指標的全體就是總體.某批燈泡的壽命該批燈泡壽命的全體就是總體下頁或，總體：研究對象的某項數量指標的值的全體.由于個體的出現是隨機的，所以總體是一個隨機變量.用X表示.樣本：從總體X中按一定的規則抽出的個體的全部稱為樣本,用X1，X2，…，Xn表示.樣本容量：樣本中所含個體的個數稱為樣本容量，用n表示.根據n的大小樣本有大樣本、小樣本之分.為推斷總體分布及各種特征，按一定規則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關總體的信息，這一抽取過程為“抽樣”.從國產轎車中抽5輛進行耗油量試驗,樣本容量為5.下頁

一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值.樣本是隨機變量.抽到哪5輛是隨機的!容量為n的樣本可以看作n維隨機變量(X1,X2,…,Xn).下頁2.簡單隨機抽樣：要求抽取的樣本滿足下面兩點由簡單隨機抽樣抽得的樣本X1,X2,…,Xn稱為簡單隨機樣本.（簡稱樣本）.簡單隨機樣本：顯然，樣本就是來自總體X的n個相互獨立的且與總體同分布的隨機變量X1,X2,…,Xn.可看成n維隨機向量（X1,X2,…,Xn

）.簡單隨機抽樣即為隨機地獨立地抽取，如：有放回抽樣；無放回抽樣當總體很大，樣本容量較小時，認為是近似的簡單隨機抽樣.2.獨立性：X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量.1.代表性：

X1,X2,…,Xn中每一個與總體X有相同的分布.下頁設（X1,X2,…,Xn

）為來自總體X的簡單隨機樣本.常用于估計總體分布的均值，或檢驗有關總體分布均值的假設.二、樣本的數字特征2.樣本方差：

用于估計總體分布的方差.式中的n－1稱為S2的自由度（式中含有獨立變量的個數），S稱為樣本標準差，又稱為標準誤.3.樣本矩：K階原點矩：K階中心矩：1.樣本均值:下頁三、統計量統計量是樣本的函數，也是隨機變量，具有概率分布.把統計量的概率分布稱為抽樣分布.設X1，X2,…,Xn為來自總體X的一個樣本,g(X1，X2,…,Xn)是一個不含任何未知參數的連續函數，稱g(X1，X2,…,Xn)為統計量.下頁§6.2抽樣分布(幾個重要分布)一、的分布設總體X的分布形式未知，E（X）=μ，D（X）=σ2，（X1,X2,…,Xn

）為X的一樣本.則X1,X2,…,Xn獨立同分布且

E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2(i=1,2,…,n)若總體X~N(μ,σ2)，則若總體X~N(0,1)，則則特別，下頁例1．設總體X~N（12，4），抽取一個樣本（X1，X2，…，X5）．求（1）P{＞13}；（2）P{|-12|＞0.5}解：∵X~N（12，4），∴~N(12,4/5)（1）P{＞13}（2）P{|-12|＞0.5}=1-[Φ(0.56)-Φ(-0.56)]=2-2Φ(0.56)=0.5754下頁的點Xα為N(0，1)分布的上100α百分位點.二、標準正態分布的百分位點P{X＞Xα}=α，xX1－αXααα0（1）稱滿足條件記－Xα=X1－α由于（2）稱滿足條件設X~N(0，1)，對給定的α(0＜α＜1）的點為N(0，1)分布的雙側100α百分位點.∵即∴下頁x0X1-α/2Xα/2查正態分布表得：==1.96又如，α=0.05，則==，附：Xα的值的確定－查《標準正態分布表》法P{X＞X0.05}=0.05，即P{X＜X0.05}=0.95，查表得：X0.05=1.645P{X＞X0.01}=0.01，即P{X＜X0.01}=0.99，查表得：X0.01=2.33例如，下頁三、

分布記作1.定義設X～N(0,1)，（X1，X2，…，Xn）為X

的一個樣本,令則服從參數(自由度)為

n的分布.0f(y)n=1n=4n=10y2.

(n)分布的概率密度且E()=n,D()=2n～下頁（1）若（X1，X2，…，Xn）是正態總體N(μ，σ2)的一個樣本，和S2分別是樣本均值和樣本方差，則1°與S2相互獨立；2°(2)若且它們相互獨立，則3.

分布的性質下頁的點為分布的雙側百分位點。4.分布的百分位點（1）稱滿足，即的點為分布的上100α百分位點。0f(y)αy（2）稱滿足0yf(y)對給定的α（0＜α＜1）例α=0.1，n=25，查分布表得：下頁例2．設總體X~N(0,0.32),n=10,求解：∵X/0.3~N(0,1)∴下頁四、t分布0f(t)n=5

n=3

t為服從自由度為n的t（Student）分布，記作t~t(n).2.t分布的概率密度為且1.定義設X~N(0,1)，Y~

(n)，且X與Y相互獨立，則稱隨機變量E（T）=0，下頁３.服從t分布的統計量證明：且與相互獨立故定理1

設（ X1，X2，…，Xn）為正態總體N(μ，σ2)的一個樣本，則下頁定理2

設（X1，X2，…,Xn1）和（Y1，Y2，…,Yn2）分別是從總體N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中所抽取的樣本，它們相互獨立，則與相互獨立證明：因為所以又即，與相互獨立，故于是下頁1－αt0f(t)αt1－α(n)t0f(t)αtα(n)由對稱性：t1-α(n)=-tα(n).4.t分布的百分位點設t~t(n)，對給定的α（0＜α＜1）（1）稱滿足條件P{t＞tα(n)}=α，即的點tα(n)為t分布的上100α百分位點.的點為t分布的雙側百分位點.（2）稱滿足例如，α=0.05,n=15，查《t分布表》得t

0.05(15)=1.7531，下頁五、F分布2.F分布的概率密度

且U與V獨立，則稱隨機變量為服從自由度為（m,n）的F分布，記作F~F（m,n）．1.定義設3.F分布的性質例如：查《F分布表》得F0.05(15,12)=2.62F0.95(15,12)=0f(y)αFα(m,n)y下頁設F~F(m,n)，對給定的α（0＜α＜1）（1）稱滿足的點Fα(m,n)為F分布的上100α百分位點.0f(y)αFα(m,n)y即（2）稱滿足的點0f(y)y為F分布的雙側百分位點.與4.F分布的百分位點下頁

定理3分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本下頁設X:X1，X2，…，Xn1.2.若X~N（0，1），則小結下頁Xi~N（μ，σ2）(1)(2)(3)3.若X~N（μ，σ2），下頁1234則相互獨立.