第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理、正弦定理第2課時(shí)正弦定理課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,則b等于()A.46 B.45 C.43 D.22答案A解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°,∴A=180°BC=45°.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asin2.(2021江蘇玄武校級(jí)月考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若A=π4,a=2,b=1,則B=(A.π3或2C.π6 D.答案C解析因?yàn)锳=π4,a=2,b=由正弦定理得asinA=b所以sinB=12因?yàn)閍>b,所以A>B.因?yàn)锽為三角形內(nèi)角,所以B=π6故選C.3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面積為4,則cos∠ABC等于()A.35 B.±35 C.35 D答案B解析由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,從而cos∠ABC=4.在△ABC中,角A,C的對(duì)邊分別為a,c,C=2A,cosA=34,則ca的值為(A.2 B.12 C.32 D答案C解析由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin25.(2021福建福州期中)在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,則此三角形(A.無(wú)解 B.有兩解C.有一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定答案B解析在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,則bsinA=12×12=6,可得bsinA<a<b,可得此三角形有兩解.故選6.在△ABC中,a=bsinA,則△ABC一定是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形答案B解析由已知,得asinA=b=bsinB,所以sinB=1,所以B=90°,故7.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,則最短邊的長(zhǎng)等于.

答案6解析由三角形內(nèi)角和定理,得A=75°.由三角形的邊角關(guān)系,得B所對(duì)的邊b為最短邊.由正弦定理bsinB=csin8.在△ABC中,ab=60,S△ABC=153,△ABC的外接圓半徑為3,則邊c的長(zhǎng)為.

答案3解析∵S△ABC=12absinC=153,ab=60,∴sinC=32.由正弦定理,得csinC=2R,則c=2Rsin9.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知A=60°,c=37a(1)求sinC的值;(2)當(dāng)a=7時(shí),求△ABC的面積.解(1)在△ABC中,因?yàn)锳=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sinC=c(2)因?yàn)閍=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得72=b2+322b×3×12,解得b=8或b=5(舍所以△ABC的面積S=12bcsinA=12×8×3×32=關(guān)鍵能力提升練10.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,則B等于()A.45°或135° B.135°C.45° D.以上答案都不對(duì)答案C解析∵sinB=bsin∴B=45°或135°.又∵a>b,∴B=45°,故選C.11.在△ABC中,A=60°,a=13,則a+b+cA.833 B.2393 C.26答案B解析由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得a+b+csin12.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且3acosC=4csinA,若△ABC的面積S=10,b=4,則a的值為()A.233 B.253 C.263答案B解析由3acosC=4csinA,得asinA=4c3cosC.又由正弦定理asinA=∴sinC=35又S=12bcsinA=10,b=4,∴csinA=5根據(jù)正弦定理,得a=csinAsinC13.(2021福建福州期中)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若(a+b+c)(a+bc)=3ab,且a2=bc,則basinA的值為答案2解析因?yàn)?a+b+c)(a+bc)=3ab,所以(a+b)2c2=3ab,整理得a2+b2c2=ab,故cosC=a2由于0<C<π,故C=π3a2=bc,由正弦定理可得sin2A=sinBsinC.故ba14.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,試判斷△ABC的形狀.解由已知,得a2·sinBcosB=b2·sinAcosA.又由正弦定理,得sin2A·sinBcosB=sin所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.15.已知△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足2R(sin2Asin2C)=(2ab)·sinB,求△ABC面積的最大值.解由正弦定理,得a2c2=(2ab)b,即a2+b2c2=2ab.由余弦定理,得cosC=a2∵C∈(0,π),∴C=π4∴S=12absinC=12×2RsinA·2RsinB=2R2sinAsinB=2R2sinA2=R2(sinAcosA+sin2A)=R21=R222∵A∈0,34π.∴∴sin2A∴S∈0,∴△ABC面積的最大值為2+12R16.(2021山東日照模擬)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若2asinA=(2sinB+sinC)b+(2sinC+sinB)c.求:(1)A的大小;(2)sinB+sinC的最大值.解(1)因?yàn)?asinA=(2sinB+sinC)b+(2sinC+sinB)c,所以由正弦定理可得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理的推論可得cosA=b2+c因?yàn)锳∈(0,π),所以A=2π(2)由(1)可得sinB+sinC=sinB+sinπ3B=32cosB+12sinB=sinπ3+B,故當(dāng)B=π6時(shí),sinB+sinC取得最大值1學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.在△ABC中,D是邊BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD的面積是△ADC的面積的2倍.(1)求sinB(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長(zhǎng)解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BADS△ADC=12AC·ADsin∠CAD因?yàn)镾△AB