隨機過程總復習函數期望當X為離散型隨機變量則

當X為連續型隨機變量，則2.方差計算方差時通常用下列關系式：稱隨機變量的期望為X的方差，即

3．性質（1）（2）

（3）若X和Y相互獨立，則計算協方差時通常用下列關系式：二、協方差

三、矩母函數1．定義為X的矩母函數2．原點矩的求法稱的數學期望利用矩母函數可求得X的各階矩，即對逐次求導并計算在點的值：3．和的矩母函數定理1

設相互獨立的隨機變量的矩母函數分別為，，…，，則其和的矩母函數為…n個相互獨立的隨機變量之和的矩母函數等于它們的矩母函數之積.

四、特征函數特征函數

設X為隨機變量，稱復隨機變量的數學期望為X的特征函數，其中t是實數。還可寫成特征函數與分布函數相互唯一確定。性質則和設相互獨立的隨機變量的特征函數分別為，，…，的特征函數為…n個相互獨立的隨機變量之和的特征函數等于它們的特征函數之積.練習:設隨機變量X的概率密度函數為試求X的矩母函數。解：練習解由于所以設隨機變量X服從參數為的泊松分布，求X的特征函數。練習

設隨機變量X服從[0，2]上的均勻分布，求X的特征函數。解X的概率密度為所以練習解:推廣條件分布函數與條件期望離散型若，則稱為在條件下，隨機變量Y的條件分布律。為在條件下，隨機變量X的條件分布律。同樣1、條件分布函數的定義連續型同樣稱為在條件下，隨機變量X的條件分布律。稱為在條件下，隨機變量Y的條件分布律。注意：分母不等于02、條件期望的定義離散型其中連續型其中條件概率密度3、全數學期望公式定理

對一切隨機變量X和Y，有連續型是隨機變量Y的函數，當時取值因而它也是隨機變量。離散型設二維隨機向量（X，Y）的聯合概率密度為解：練習:練習:對于隨機變量X和Y，滿足條件則有練習:若隨機變量X和Y相互獨立，滿足條件則有

一礦工困在礦井中，要到達安全地帶，有三個通道可選擇，他從第一個通道出去要走1個小時可到達安全地帶，從第二個通道出去要走2個小時又返回原處，從第三個通道出去要走3個小時也返回原處。設任一時刻都等可能地選中其中一個通道，試問他到達安全地點平均要花多長時間。練習解

設X表示礦工到達安全地點所需時間，Y表示他選定的通道，則所以這幾個結論在鞅過程中反復用。

先對一個適當的隨機變量取條件,不僅使我們能求得期望,也可以用這種方法計算概率.以A記一個任意的事件且定義示性隨機變量X為從X的定義得到因此,我們得到全期望公式全概率公式獨立隨機變量和的分布

一般地，對有界函數G(x)和單調函數F(x)，都可以定義F與G的卷積。注意：G*F可能沒有意義。但當F和G都是分布函數時，滿足交換率，還滿足結合率和分配率。重要公式第二章復習內容隨機過程的分類T離散、I離散 T離散、I連續參數T狀態I分類T連續、I離散T連續、I連續Poisson過程是參數

狀態

的隨機過程.Brown運動是參數

狀態

的隨機過程.離散連續連續連續問:Markov過程和鞅過程呢？（不特定，四種都有）練習

袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應隨機變量試求這個隨機過程的一維分布函數族。分析先求的概率分布所以解P隨機過程的數字特征2．方差函數1．均值函數3．協方差函數注4．自相關函數注Poisson過程及Brown運動的自相關函數及協方差函數等。5．互協方差函數6．互相關函數練習解求:(1)均值函數;(2)協方差函數;(3)方差函數。（1）（2）（3）練習解:練習解試求它們的互協方差函數。所以1.嚴平穩過程定義1則稱為嚴平穩過程若對任意的和任意的嚴平穩過程的有限維分布關于時間是平移不變的.2.寬平穩過程定義2如果它滿足：則稱為寬平穩過程，簡稱平穩過程因為均值函數注:(3)可等價描述為:注2注1嚴平穩過程不一定是寬平穩過程。因為嚴平穩過程不一定是二階矩過程。若嚴平穩過程存在二階矩，則它一定是寬平穩過程。寬平穩過程也不一定是嚴平穩過程。因為寬平穩過程只保證一階矩和二階矩不隨時間推移而改變，這當然不能保證其有窮維分布不隨時間而推移。練習解:的隨機變量序列,則令練習獨立增量過程

重要結論:Poisson過程和Brown運動都是獨立平穩增量過程.它們本身都不是平穩過程.問：Poissin過程（或更新過程）中，事件發生（更新）的時刻是不是獨立增量過程？定義3.1.1第三章復習內容定義3.1.2定義3.1.2的等價定義顯見Poisson過程本身不是平穩過程，其增量是平穩過程。解:練習:設N(t)是參數為的Poisson過程,事件發生時刻在已知N(t)=2的條件下的聯合概率密度為_____.練習:重要結論例2：一理發師在t=0時開門營業,設顧客按強度為λ的泊松過程到達.若每個顧客理發需要a分鐘,a是正常數.求第二個顧客到達后不需等待就馬上理發的概率及到達后等待時間S的平均值.解：設第一個顧客的到達時間為T1，第二個顧客的到達時間為T2。令X2=T2-T1，則第二個顧客到達后不需等待等價于X2>a。由定理知X2服從參數為λ的指數分布，故等待時間解:沒被維修過的概率練習:維修過一次的概率考慮一特定保險公司的全部賠償，設在[0,t]內投保死亡的人數N(t)是發生率為的泊松過程。設是第n個投保人的賠償價值，獨立同分布。表示[0,t]內保險公司必須付出的全部賠償。練習:解：第四章復習內容Poisson過程是更新過程.是事件發生的時間間隔為獨立同指數分布的更新過程.更新過程的參數可以為離散的,也可以為連續的.但狀態是離散的.它是計數過程.更新函數更新密度卷積的定義練習:判斷下列命題是否正確()()(

)()√×√×更新方程更新方程的唯一有界的解其中三個更新定理第五章復習內容馬爾可夫性即無后效性.狀態的分類及性質是重點互通,類,不可約,周期等概念.狀態i非常返常返正常返零常返平穩分布與極限分布(重點)研究狀態的關系(重點)練習:設馬氏鏈的狀態空間為I={1，2，3，4}，其一步轉移矩陣為畫出狀態轉移圖.10.60.20.20.71120.3341練習設今日有雨，則明日也有雨的概率為0.7，今日無雨明日有雨的概率為0.5，求星期一有雨，星期三也有雨的概率。解:其為有兩個狀態的馬爾可夫鏈，有雨記為1，無雨記為0，一步轉移概率矩陣為例設馬氏鏈的狀態空間為{1,2,3},一步轉移矩陣為解:狀態轉移圖如下:①②③①②③因此,狀態3為正常返態,且為吸收態.因此,狀態1和2為非常返態,練習：設馬氏鏈的狀態空間為{1,2},一步轉移矩陣為解:①②練習：設馬氏鏈的狀態空間為{1,2},一步轉移矩陣為解:①②狀態轉移圖如右:①②兩狀態互通，周期為1，故對于不可約的有限馬氏鏈是正常返的.練習：設馬氏鏈的狀態空間為{1,2},一步轉移矩陣為解:顯然,此鏈具有遍歷性。由解得練習：設馬氏鏈的狀態空間為{1,2,3},一步轉移矩陣為解:練習：設馬氏鏈的狀態空間為{1,2,3},一步轉移矩陣為解:(3)經兩步轉移后處于狀態3的概率為練習:P91,例5.1.2注:Markov鏈的轉移概率是條件概率.設馬氏鏈的狀態空間為{1,2,3,4},一步轉移矩陣為試研究其狀態關系.解:狀態轉移圖如下:①②③④練習狀態分為三類{1,2},{3},{4}①②③④故狀態1與2都是正常返狀態,又因周期都是1,故都為遍歷狀態.故狀態3是非常返狀態.故狀態4是吸收狀態.練習設馬氏鏈的狀態空間為{1,2},一步轉移矩陣為解：練習設馬氏鏈的狀態空間為{1,2},一步轉移矩陣為解:根據實際問題要會求轉移概率矩陣,有些實際問題是用頻率來估計概率的.如課本P109例5.3.7Poisson過程和生滅過程是連續時間離散狀態的Markov過程.Brown運動是連續時間連續狀態的Markov過程.第六章復習內容了解上鞅,下鞅,鞅的定義證明時所用條件期望基本公式

、上鞅

上鞅

、下鞅

下鞅

上鞅下鞅

上鞅

下鞅上鞅

下鞅

下鞅

上鞅若為下鞅，為上鞅，則有()為下鞅

A為上鞅

B為下鞅

C為上鞅

D練習:設為一族獨立隨機變量序列，且，令則當時，關于是下鞅。時，關于是上鞅。時，關于是鞅。第七章復習內容Brown運動的定義(1)(2)(3)(4)(5)(