2.1.1離散型隨機(jī)變量

1.理解隨機(jī)變量的意義.2.學(xué)會(huì)區(qū)分離散型與非離散型隨機(jī)變量,并能舉出離散型隨機(jī)變量的例子.3.理解隨機(jī)變量所表示試驗(yàn)結(jié)果的含義,并恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量.1.本課重點(diǎn)是隨機(jī)變量的概念、離散型隨機(jī)變量的概念.2.本課難點(diǎn)是對(duì)隨機(jī)變量的概念的理解.1.隨機(jī)變量(1)定義:隨著_________變化而變化的變量.(2)表示:隨機(jī)變量常用字母___,___,____,____表示.2.離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X的取值特點(diǎn)是：所有可能的取值都能_____________.試驗(yàn)結(jié)果XYξ

η一一列舉出來(lái)1.是否所有的隨機(jī)變量的取值均可以一一列出？提示：不是.2.隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系是什么?提示：區(qū)別隨機(jī)變量是把試驗(yàn)結(jié)果映射為實(shí)數(shù),函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的映射.聯(lián)系隨機(jī)變量與函數(shù)都是特殊的映射.3.同時(shí)拋擲3枚硬幣，得到硬幣反面向上的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值的集合為_(kāi)_______．【解析】同時(shí)拋擲3枚硬幣，得到硬幣反面向上的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0,1,2,3.答案：{0,1,2,3}4.在8件產(chǎn)品中，有3件次品，5件正品，從中任取一件，取到次品就停止，抽取次數(shù)為ξ，則ξ=3表示的試驗(yàn)結(jié)果是_______．【解析】ξ=3表示的試驗(yàn)結(jié)果是共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品1.對(duì)隨機(jī)變量的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)隨機(jī)變量是用來(lái)表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量,由試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生了隨機(jī)變量,隨機(jī)變量每取一個(gè)確定的值對(duì)應(yīng)著試驗(yàn)的不同結(jié)果,試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)著隨機(jī)變量的值.(2)有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)量來(lái)表達(dá)，如投擲一枚硬幣，ξ=0表示正面向上，ξ=1表示反面向上.2.對(duì)離散型隨機(jī)變量的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)判斷依據(jù)：隨機(jī)變量的取值能一一列出,這是判定隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵.(2)取值特點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè),如取值1,2,3,…,n;也可以是無(wú)限個(gè),如取值為1,2,…,n,….

隨機(jī)變量的概念【技法點(diǎn)撥】隨機(jī)變量的辨析方法(1)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否具有可變性，即每次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的結(jié)果不盡相同.(2)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè),但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn)，則該變量即為隨機(jī)變量.【典例訓(xùn)練】1.下列變量中，不是隨機(jī)變量的是()(A)一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)(B)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時(shí)的溫度(C)拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和(D)某電話(huà)總機(jī)在時(shí)間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)2.10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()(A)取到產(chǎn)品的件數(shù)(B)取到正品的概率(C)取到次品的件數(shù)(D)取到次品的概率【解析】1.選B.B中水沸騰時(shí)的溫度是一個(gè)確定值．2.選C.A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，B,D也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量．【思考】(1)隨機(jī)變量的判斷依據(jù)是什么？(2)若變量x對(duì)應(yīng)一個(gè)值，則該變量是否為隨機(jī)變量？提示：(1)隨機(jī)變量的判斷依據(jù)是變量的取值是否具有可變性.(2)不是.若變量x對(duì)應(yīng)一個(gè)值，則該變量是常量，如題1中的選項(xiàng)B,題2中的選項(xiàng)B,D.【變式訓(xùn)練】拋擲一枚均勻骰子一次，隨機(jī)變量為()(A)擲骰子的次數(shù)(B)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(C)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)(D)以上都不正確【解析】選B.由于拋擲一枚均勻骰子一次，骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是隨機(jī)的，結(jié)合隨機(jī)變量的概念可知，骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可以作為隨機(jī)變量.

隨機(jī)變量的取值【技法點(diǎn)撥】解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵及注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵：關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量的所有可能的取值,以及其取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義,即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(2)注意點(diǎn)：解答過(guò)程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果.【典例訓(xùn)練】1.袋中裝有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回取出的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ所有可能取值的個(gè)數(shù)是()(A)5(B)9(C)10(D)252.寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)一袋中裝有5個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為1，2，3，4，5．現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為ξ；(2)某網(wǎng)站在單位時(shí)間內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)η．【解析】1.選B.兩個(gè)球號(hào)碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9個(gè)結(jié)果．2.(1)ξ可取3，4，5．ξ=3，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，3；ξ=4，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，4或1，3，4或2，3，4;ξ=5，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．(2)η可取0，1，2，…，n，…．η=i，表示該網(wǎng)站在單位時(shí)間內(nèi)被點(diǎn)擊i次，其中i=0，1，2，…．【互動(dòng)探究】把題1中的“有放回”換成“不放回”，結(jié)果如何？【解析】?jī)蓚€(gè)球號(hào)碼之和可能為3,4,5,6,7,8,9.【思考】隨機(jī)變量的一個(gè)取值只能對(duì)應(yīng)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果嗎？反之呢？提示：(1)隨機(jī)變量的一個(gè)取值不一定只對(duì)應(yīng)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，如本題2中的“ξ=5”.(2)隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果只能對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的一個(gè)取值.【變式訓(xùn)練】(2012·天水高二檢測(cè))拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為ξ，則“ξ>4”表示的試驗(yàn)結(jié)果是()(A)第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)(B)第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)(C)第一枚2點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)(D)第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)【解題指南】先分析兩枚骰子的所有可能的取值，再計(jì)算ξ的值，進(jìn)而指出“ξ>4”表示的試驗(yàn)結(jié)果.【解析】選D.因?yàn)橐幻恩蛔拥狞c(diǎn)數(shù)可以是1，2，3，4，5，6六種結(jié)果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是說(shuō)“ξ＞4”即“ξ=5”．所以，“ξ＞4”表示第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)．應(yīng)選D.

離散型隨機(jī)變量的判斷【技法點(diǎn)撥】“三步法”判定離散型隨機(jī)變量(1)依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機(jī)變量.(2)由條件求解隨機(jī)變量的值域.(3)判斷變量的取值能否被一一列舉出來(lái),若能，則是離散型隨機(jī)變量；否則，不是離散型隨機(jī)變量.【典例訓(xùn)練】1.下列變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是()(A)從5張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到5號(hào))中任取一張，被取出的號(hào)數(shù)ξ(B)連續(xù)不斷射擊，首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)η(C)某工廠(chǎng)加工的某種鋼管內(nèi)徑與規(guī)定的內(nèi)徑尺寸之差ξ1(D)電話(huà)號(hào)碼“110”每分鐘被呼叫的次數(shù)η1

2.一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為ξ.(1)列表說(shuō)明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的ξ的值．(2)若規(guī)定抽取3個(gè)球中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后結(jié)果都加上6分，求最終得分η的可能取值，并判定η是否為離散型隨機(jī)變量.【解析】1.選C.從5張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到5號(hào))中任取一張，被取出的號(hào)數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，4，5，故A是離散型隨機(jī)變量；連續(xù)不斷射擊，首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)η的可能取值為1，2，3，4，5，…，故B是離散型隨機(jī)變量;某工廠(chǎng)加工的某種鋼管內(nèi)徑與規(guī)定的內(nèi)徑尺寸之差ξ1，其取值不能夠一一列出，故C不是離散型隨機(jī)變量;電話(huà)號(hào)碼“110”每分鐘被呼叫的次數(shù)η1的可能取值為1，2，3，4，5，…，故D是離散型隨機(jī)變量，所以答案選C.2.(1)ξ0123結(jié)果取得3個(gè)黑球取得1個(gè)白球2個(gè)黑球取得2個(gè)白球1個(gè)黑球取得3個(gè)白球(2)由題意可得：η=5ξ＋6，而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3}，∴η對(duì)應(yīng)的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值為6,11,16,21．顯然，η為離散型隨機(jī)變量．

【想一想】離散型隨機(jī)變量的取值是否一定有有限個(gè)？若ξ是隨機(jī)變量，η=aξ+b,a,b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量嗎？提示：(1)不一定，如本題1中B選項(xiàng)中射擊次數(shù)η的取值.(2)是隨機(jī)變量，因?yàn)棣鞘铅蔚囊淮魏瘮?shù).【變式訓(xùn)練】隨機(jī)變量X是某城市1天之中發(fā)生的火災(zāi)次數(shù)，隨機(jī)變量Y是某城市1天之內(nèi)的溫度,隨機(jī)變量ξ是某火車(chē)站1小時(shí)內(nèi)的旅客流動(dòng)人數(shù)，這三個(gè)隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是()(A)只有X和ξ(B)只有Y(C)只有Y和ξ(D)只有ξ【解題指南】分析三個(gè)變量的取值哪一個(gè)不具有一一列舉性.【解析】選B.某城市1天之內(nèi)的溫度不能一一列舉，故不是離散型隨機(jī)變量，故選B.【規(guī)范解答】離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用【典例】(12分)某校為學(xué)生做校服，規(guī)定凡身高不超過(guò)160cm的學(xué)生交校服費(fèi)80元，凡身高超過(guò)160cm的學(xué)生，身高每超出1cm，多交5元錢(qián)(身高不足1cm時(shí)按1cm計(jì)).若學(xué)生應(yīng)交的校服費(fèi)為η，學(xué)生身高用ξ表示，則η和ξ是否為離散型隨機(jī)變量？【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】由于該校的每一個(gè)學(xué)生對(duì)應(yīng)唯一的身高，并且取整數(shù)值(不足1cm時(shí)按1cm計(jì)①)，...........4分因此ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量...............6分由題意，得②........10分所以η是一個(gè)離散型隨機(jī)變量..............12分【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程)失分警示

①在求解過(guò)程中，若注意不到①處的規(guī)定，則在實(shí)際解答過(guò)程中可能會(huì)導(dǎo)致“隨機(jī)變量ξ”判斷錯(cuò)誤，進(jìn)而導(dǎo)致“隨機(jī)變量η”判斷錯(cuò)誤.

②在求解過(guò)程中，若“ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量”判斷無(wú)誤，但②處求解錯(cuò)誤，則在實(shí)際考試中，得分不可能超過(guò)6分，這是基本的函數(shù)問(wèn)題，求解時(shí)只要細(xì)心完全可以避免.

解題啟示(1)對(duì)于具有實(shí)際情景的隨機(jī)變量的類(lèi)型判別問(wèn)題，求解時(shí)務(wù)必結(jié)合實(shí)際意義求解，切勿依據(jù)常規(guī)思維隨便下結(jié)論.(2)離散型隨機(jī)變量的取值特點(diǎn)為：可以一一列出.【規(guī)范訓(xùn)練】(12分)(2012·天水高二檢測(cè))某城市出租汽車(chē)的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km，則按10元的標(biāo)準(zhǔn)收租車(chē)費(fèi).若行駛路程超出4km，則按每超出1km加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足1km的部分按1km計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km．某司機(jī)常駕車(chē)在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，行車(chē)路線(xiàn)的不同以及途中停車(chē)時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車(chē)路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車(chē)5分鐘按1km路程計(jì)費(fèi)).這位司機(jī)一次接送旅客的行車(chē)路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，他收旅客的租車(chē)費(fèi)η也是一個(gè)隨機(jī)變量．(1)求租車(chē)費(fèi)η關(guān)于行車(chē)路程ξ的關(guān)系式；(2)已知某旅客實(shí)付租車(chē)費(fèi)38元，而出租汽車(chē)實(shí)際行駛了15km，問(wèn)出租車(chē)在途中因故停車(chē)?yán)塾?jì)最多幾分鐘？【解題設(shè)問(wèn)】(1)租車(chē)費(fèi)η是行車(chē)路程ξ的分段函數(shù)嗎？______

(2)要求“因故停車(chē)?yán)塾?jì)的時(shí)間”，關(guān)鍵要求什么？________________.不是行車(chē)路程ξ的值【規(guī)范答題】(1)依題意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2..............................6分(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，................8分所以5×(18-15)=15．.....................10分即出租車(chē)在途中因故停車(chē)?yán)塾?jì)最多15分鐘．.......................................12分1.袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()(A)取到的球的個(gè)數(shù)(B)取到紅球的個(gè)數(shù)(C)至少取到一個(gè)紅球(D)至少取到一個(gè)紅球的概率【解析】選B.A的取值不具有隨機(jī)性，C是一個(gè)事件而非隨機(jī)變量，D中概率值是一個(gè)定值而非隨機(jī)變量，只有B滿(mǎn)足要求．2.拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為ξ，那么ξ=4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是()(A)一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)(B)兩顆都是2點(diǎn)(C)兩顆都是4點(diǎn)(D)一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)【解析】選D.A，B中表示的是隨機(jī)試驗(yàn)的某一種結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4，而D是ξ=4代表的所有試驗(yàn)結(jié)果．掌握隨機(jī)變量的取值與它對(duì)應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量概念的關(guān)鍵．3.①某電話(huà)亭內(nèi)的一部電話(huà)1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X