專題5.8二次函數重難點應用題歸納（六大題型）重難點題型歸納【題型1運動類-落地類型】【題型2運動類-最值類型】【題型3經濟類問題-與一次函數綜合問題】【題型4經濟類問題-每每問題】【題型5面積類問題】【題型6拱橋類問題】【模型1：運動類】（1）落地模型最值模型【模型2：經濟類】銷售問題常用等量關系：利潤=收入-成本；利潤=單件利潤×銷量；【模型3：面積類】【模型4：拱橋類】一般步驟：(1)恰當地建立直角坐標系；(2)將已知條件轉化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數關系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題．【題型1運動類-落地類型】【典例1】（2023秋?臺江區校級月考）擲實心球是中考體育考試項目之一．如圖1是一名男生投實心球情境，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系如圖2所示．擲出時，起點處高度為．當水平距離為4m時，實心球行進至最高點5m處．?（1）求y關于x的函數表達式；（2）根據中考體育考試評分標準（男生版），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于11m時，即可得滿分8分．該男生在此項考試中能否得滿分，請說明理由．【答案】（1）y關于x的函數表達式為y＝﹣（x﹣4）2+5；（2）該男生在此項考試中不能得滿分．【解答】解：（1）根據題意設y關于x的函數表達式為y＝a（x﹣4）2+5，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣4）2+5，解得：a＝﹣，∴y關于x的函數表達式為y＝﹣（x﹣4）2+5；（2）該男生在此項考試中不能得滿分，理由：令y＝0，則﹣（x﹣4）2+5＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），∵9＜11，∴該男生在此項考試中不能得滿分．【變式1-1】（2023秋?姑蘇區校級月考）2019年在武漢市舉行了軍運會．在軍運會比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線的一部分（如圖），其中出球點B離地面O點的距離是1米，球落地點A到O點的距離是（）A．1米 B．3米 C．4米 D．米【答案】C【解答】解：令y＝0，則﹣x2+x+1＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴球落地點A到O點的距離是4米，故選：C．【變式1-2】（2023?南關區校級四模）如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時，小球飛行的高度是飛行時間的二次函數．現以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個質地一樣的小球，小球在各自擊出后2秒到達相同的最大飛行高度，若整個過程中，保持空中始終有1或2個小球（不考慮小球落地后再彈起），則t的取值范圍是（）A．0＜t＜2 B．2≤t＜4 C．1≤t＜3 D．3≤t＜5【答案】B【解答】解：以球出發的地方為原點建立直角坐標系，由題意得，二次函數過原點且對稱軸為直線t＝2，∴設二次函數解析式為h＝a（t﹣2）2+k，代入原點坐標得0＝a（0﹣2）2+k，解得k＝﹣4a，∴h＝a（t﹣2）2﹣4a，令h＝0得a（t﹣2）2﹣4a＝0，解得t1＝0，t2＝4，∴一個球從出發到落地用時4秒，∵整個過程中，保持空中始終有1或2個小球（不考慮小球落地后再彈起），∴，解得2≤t＜4，故選：B．【變式1-3】（2022秋?高邑縣期末）如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點M離墻1m，離地面m，則水流落地點B離墻的距離OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【答案】B【解答】解：設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+，由題意，得10＝a+，a＝﹣．∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+．當y＝0時，0＝﹣（x﹣1）2+，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3．OB＝3m．故選：B．【變式1-4】（2022秋?開封期末）如圖，當某運動員以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系h＝20t﹣5t2．下列結論不正確的是（）A．小球從飛出到落地要用4s B．小球飛行的最大高度為20m C．當小球飛出時間從1s到2s時，飛行的高度隨時間的增大而減小 D．當小球飛出時間從3s到3.8s時，飛行的高度隨時間的增大而減小【答案】C【解答】解：當h＝0時，20t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝4，∴小球從飛出到落地要用4s，故A選項正確，符合題意；∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，∴當t＝2時，h取得最大值，即小球飛行的最大高度為20m，故B選項正確，符合題意；∵a＝﹣5＜0，∴當0＜t＜2時，h隨t的增大而增大，故C選項錯誤，符合題意；當2＜t＜4時，h隨t的增大而減小，故D選項正確，不符合題意；故選：C．【變式1-5】（2022?晉中一模）板球是以擊球、投球和接球為主的運動，該項目主要鍛煉手眼的協調能力，集上肢動作控制能力、技巧與力量為一體的綜合性運動．如圖，是運動員擊球過程中板球運動的軌跡示意圖，板球在點A處擊出，落地前的點B處被對方接住，已知板球經過的路線是拋物線，其表達式為y＝﹣x2+x+1，則板球運行中離地面的最大高度為（）A．1 B． C． D．4【答案】B【解答】解：將二次函數y＝﹣x2+x+1，化成y＝﹣（x﹣4）2+，當x＝4時，y有最大值，y最大值＝，因此，板球運行中離地面的最大高度為．故選：B．【變式1-6】（2022秋?韓城市校級月考）在中考體育訓練期間，小宇對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發現實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系式為y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次訓練實心球落地時的水平距離為（）A．85米 B．8米 C．10米 D．2米【答案】B【解答】解：當y＝0時，即y＝﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次實心球訓練的成績為8米．故選：B．【變式1-7】（2023秋?海淀區期中）在投擲實心球時，球以一定的速度斜向上拋出，不計空氣阻力，在空中劃過的運動路線可以看作是拋物線的一部分．如圖，建立平面直角坐標系xOy，實心球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數關系，記出手點與著陸點的水平距離為投擲距離．（1）小剛第一次投擲時水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：水平距離x/m01234豎直高度y/m1.62.12.42.52.4①根據上述數據，實心球運行的豎直高度的最大值為2.5m；②求小剛第一次的投擲距離；（2）已知第二次投擲出手點豎直高度與第一次相同，且實心球達到最高點時水平距離與第一次也相同．若小剛第二次投擲距離比第一次遠，則實心球第二次運行過程中豎直高度的最大值比第一次小（填“大”或“小”）．【答案】（1）①2.5；②8m；（2）小．【解答】解：（1）①由表格數據可知，拋物線的對稱軸為直線x＝＝3，當x＝3時，y＝2.5，故答案為：2.5；②設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣3）2+2.5，∵當x＝0時，y＝1.6，∴1.6＝a×32+2.5，解得a＝，∴拋物線的解析式為：y＝（x﹣3）2+2.5，當y＝0時，0＝（x﹣3）2+2.5，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝8，答：小剛第一次的投擲距離為8m；（2）∵第二次投擲實心球達到最高點時水平距離與第一次也相同，∴第二次投擲拋物線對稱軸與第一次對稱軸相同，又∵第二次投擲出手點豎直高度與第一次相同，第二次投擲距離比第一次遠，∴實心球第二次運行過程中豎直高度的最大值比第一次小，故答案為：小．【題型2運動類-最值類型】【典例2】（2022秋?樂亭縣期末）飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飛機著陸后滑行多長時間才能停下來（）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函數有最大值，當t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飛機著陸后滑行20秒能停下來，故選：B．【變式2-1】（2022秋?滄州期末）煙花廠某種禮炮的升空高度h（m）與飛行時間t（s）的關系式是h＝﹣2t2+20t+1，若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則最高點的高度為（）米．A．51 B．50 C．20 D．1【答案】A【解答】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴禮炮升到最高點的高度是51米．故選：A．【變式2-2】（2022秋?信陽期中）煙花廠為建黨成立100周年特別設計制作了一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度h（m）與飛行時間t（s）的關系式是h＝﹣t2+8t．若這種禮炮在升空到最高點時引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵禮炮在點火升空到最高點引爆，∴t＝﹣＝﹣＝6，∴從點火升空到引爆需要的時間為6s，故選：D．【變式2-3】（2021秋?納溪區期末）某車的剎車距離y（m）與開始剎車時的速度x（m/s）之間滿足二次函數y＝x2（x＞0），若該車某次的剎車距離為4m，則開始剎車時的速度為（）A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s【答案】D【解答】解：當剎車距離為4m時，即可得y＝4，代入二次函數解析式得：4＝x2．解得x＝±10，（x＝﹣10舍），故開始剎車時的速度為10m/s．故選：D．【變式2-4】（2021秋?費縣期末）汽車剎車后行駛的距離s（單位：m）關于行駛時間t（單位：s）的函數解析式是s＝15t﹣6t2，汽車剎車后到停下來所用的時間t是（）A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能確定【答案】C【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，∴當t＝時，S取得最大值，即汽車剎車后到停下來前進了秒，故選：C．【變式2-5】（2020秋?錫山區校級月考）汽車在高速公路剎車后滑行的距離y（米）與行駛的時間x（秒）的函數關系式是y＝﹣3x2+36x，汽車就剎車后，會繼續向前滑行直至靜止，那么汽車靜止前2秒內滑行的距離是（）A．6米 B．12米 C．96米 D．108米【答案】B【解答】解：y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∴x＝6（秒）時，汽車靜止，此時滑行了108（米），故當x＝4（秒）時，y＝﹣3x2+36x＝96（米），故汽車靜止前2秒內滑行的距離是108﹣96＝12（米），故選：B．【題型3經濟類問題-與一次函數綜合】【典例3】（2023秋?南寧月考）南寧市某公司計劃購進一批原料加工銷售，已知該原料的進價為6.2萬元/噸，加工過程中原料的質量有20%的損耗，加工費m（萬元）與原料的質量x（噸）之間的關系為m＝50+0.2x，銷售價y（萬元/噸）與原料的質量x（噸）之間的關系如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）在進價不超過248萬元的情況下，原料的質量x為多少噸時，銷售收入為300萬元；（3）原料的質量x為多少噸時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤是多少萬元？（銷售利潤＝銷售收入﹣總支出）【答案】（1）y＝﹣x+20；（2）30噸；（3）24噸，65.2萬元．【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b，將（20，15），（30，12.5）代入，可得：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣x+20；（2）依題可得6.2x≤248，解得x≤40設銷售收入為P萬元，∴P＝（1﹣20%）xy＝（﹣x+20）x＝﹣x2+16π，，解得x1＝30，x2＝50（舍去），∴原料的質量為30噸時，銷售收入為300萬元；（3）設銷售總利潤為W（萬元），∴W＝P﹣6.2x﹣m＝﹣x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2x），整理，可得：W＝﹣x2+x﹣50，W＝﹣（x﹣24）2+65.2，∵﹣＜0，∴當x＝24時，W有最大值為65.2，∴原料的質量為24噸時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤是65.2萬元．【變式3-1】（2023?青山區模擬）小亮創辦了一個微店商鋪，營銷一款小型LED護眼臺燈，成本是20元/盞，在“雙十一”前20天進行了網上銷售后發現，該臺燈的日銷售量p（盞）與時間x（天）之間滿足一次函數關系，且第1天銷售了78盞，第2天銷售了76盞．護眼臺燈的銷售價格y（元/盞）與時間x（天）之間符合函數關系式y＝x+25（1≤x≤20，且x為整數）．（1）求日銷售量p（盞）與時間x（天）之間的函數關系式；（2）在這20天中，哪天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？（3）“雙十一”當天，小亮采用如下促銷方式：銷售價格比前20天中最高日銷售價格降低a元；日銷售量比前20天最高日銷售量提高了7a盞；日銷售利潤比前20天中的最大日銷售利潤多了30元，求a的值．注：銷售利潤＝售價﹣成本．【答案】（1）日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數關系式為p＝﹣2x+80；（2）在這20天中，第10日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是450元；（3）a的值為6．【解答】解：（1）設日銷售量p（盞）與時間x（天）之間的函數關系式為p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入得：，解得：，即日銷售量p（盞）與時間x（天）之間的函數關系式為p＝﹣2x+80；（2）設日銷售利潤為w元，w＝（﹣2x+80）（x+25﹣20）＝﹣（x﹣10）2+450；∵﹣＜0，1≤x≤20，且x為整數，∴當x＝10時，w取得最大值，最大值是450；∴在這20天中，第10日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是450元；（3）∵日銷售量p（盞）與時間x（天）之間的函數關系式為p＝﹣2x+80（1≤x≤20，且x為整數），∴前20天最高日銷售量為x＝1時，即p＝78（盞），∵銷售價格y（元/盞）與時間x（天）之間符合函數關系式y＝x+25（1≤x≤20，且x為整數）．∴前20天最高日銷售價格為當x＝20時，即y＝30元，由題意得：（30﹣a﹣20）（78+7a）﹣450＝30，解得：a1＝6，a2＝﹣（舍去），∴a的值為6．【變式3-2】（2023秋?瑯琊區校級月考）某商店銷售一種進價100元/件的商品，且規定售價不得超過進價的1.4倍，經市場調查發現：該商品的每天銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數，其售價、銷售量的二組對應值如下表：售價x（元/件）130140銷售量y（件/天）8060（1）直接寫出y關于售價x的函數關系式；（2）設商店銷售該商品每天獲得的利潤為W（元），求W與x之間的函數關系式，并求出當銷售單價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？（3）若某天的利潤不低于2000元，請直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）y＝﹣2x+340；（2）W＝﹣2x2+540x﹣34000；當銷售單價定為135時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大為2450；（3）120≤x≤140．【解答】解：（1）設y關于售價x的函數關系式為y＝kx+b，將（130，80）、（140，60）代入y＝kx+b得，解得，∴y關于售價x的函數關系式為y＝﹣2x+340；（2）由（1）知，每天的銷售量為y＝﹣2x+340，∵商品進價為100元/件，∴W與x之間的函數關系式為W＝（﹣2x+340）（x﹣100）＝﹣2x2+540x﹣34000；∵100＜x≤140，∴W＝﹣2x2+540x﹣34000＝﹣2（x﹣135）2+2450，∵﹣2＜0，∴當x＝135時，W有最大值，為2450，答：當銷售單價定為135時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大為2450；（3）由（2）知，W與x之間的函數關系式為W＝﹣2x2+540x﹣34000，∴當某天的利潤不低于2000元時，令﹣2x2+540x﹣34000＝2000，即（x﹣135）2＝225，解得x＝120或x＝150，∵100＜x≤140，∴120≤x≤140．【變式3-3】（2022秋?池州期末）某蔬菜市場為指導某種蔬菜的生產和銷售，對往年的市場行情和生產情況進行了調查，提供的信息如圖：（1）在3月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益＝售價﹣成本）（2）哪個月出售這種蔬菜的收益最大？為什么？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）3月份每千克的售價是﹣×3+7＝5（元），3月份每千克的成本是×（3﹣6）2+1＝4（元），則每千克的收益是5﹣4＝1（元）；（2）這種蔬菜的收益w＝（﹣x+7）﹣[（x﹣6）2+1]，即w＝﹣x2+x﹣6＝﹣（x2﹣10x+25﹣25）﹣6＝﹣（x﹣5）2+，則5月份收益最大．【題型4經濟類問題-每每問題】【典例4】（2022秋?莘縣校級期末）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件；（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設每件襯衫應降價x元，根據題意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得2x2﹣60x+400＝0解得x1＝20，x2＝10．因為要盡量減少庫存，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越快，故每件襯衫應降20元．答：每件襯衫應降價20元．（2）設商場平均每天贏利y元，則y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x﹣400）＝﹣2[（x﹣15）2﹣625]＝﹣2（x﹣15）2+1250．∴當x＝15時，y取最大值，最大值為1250．答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1250元．【變式4-1】（2023?廣西模擬）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經調查發現，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本．（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（不需要求自變量取值范圍）（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷售單價應定為多少元？（3）超市的銷售人員發現：當該商品每月銷售量超過某一數量時，會出現所獲利潤反而減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+550；（2）70元；（3）80元．【解答】解：（1）∵依題意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y與x的函數關系式為y＝﹣5x+550；（2）∵依題意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴當該商品每月銷售利潤為4000，為使顧客獲得更多實惠，銷售單價應定為70元；（3）設每月總利潤為w，依題意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此圖象開口向下，∴當x＝80時，w有最大值為4500元，∴為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為80元．【變式4-2】（2023?鄂倫春自治旗一模）某商店銷售一種銷售成本為每件40元的玩具，若按每件50元銷售，一個月可售出500件，銷售價每漲1元，月銷量就減少10件．設銷售價為每件x元（x≥50），月銷量為y件，月銷售利潤為w元．（1）寫出y與x的函數解析式和w與x的函數解析式；（2）商店要在月銷售成本不超過10000的情況下，使月銷售利潤達到8000元，銷售價應定為每件多少元？（3）當銷售價定為每件多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）由題意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由題意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，解得：x1＝60，x2＝80，當x＝60時，成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求，舍去，當x＝80時，成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求，∴銷售價應定為每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，又∵﹣10＜0．當x＝70時，w取最大值9000，故銷售價定為每件70元時會獲得最大利潤9000元．【變式4-3】（2022秋?定遠縣期末）某賓館有客房90間，當每間客房的定價為每天140元時，客房會全部住滿．當每間客房每天的定價每漲10元時，就會有5間客房空閑．如果旅客居住客房，賓館需對每間客房每天支出60元的各種費用．（1）請寫出該賓館每天的利潤y（元）與每間客房漲價x（元）之間的函數關系式；（2）設某天的利潤為8000元，8000元的利潤是否為該天的最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并指出此時客房定價應為多少元？（3）請回答客房定價在什么范圍內賓館就可獲得利潤？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）由題意得y＝（140﹣60+x）（90﹣?5）即y＝﹣x2+50x+7200；（2）8000元的利潤不是為該天的最大利潤，∵y＝﹣（x2﹣100x+2500）+1250+7200＝﹣（x﹣50）2+8450，∴當x＝50即每間客房定價為190元時，賓館當天的最大利潤為8450元；（3）由﹣x2+50x+7200＞0得x2﹣100x﹣14400＜0，即（x﹣180）（x+80）＜0，解得﹣80＜x＜180，故60＜x+140＜320，由題意可知當客房的定價為：大于60元而小于320元時，賓館就可獲得利潤．【題型5面積類問題】【典例5】（2022秋?蒙城縣期末）如圖，有長為24m的籬笆，現一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．（1）求S與x的函數關系式及x值的取值范圍；（2）要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少米？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）根據題意，得S＝x（24﹣3x），即所求的函數解析式為：S＝﹣3x2+24x，又∵0＜24﹣3x≤10，∴≤x＜8；（2）根據題意，設AB長為x，則BC長為24﹣3x∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，當x＝3時，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，當x＝5時，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB長為5m．【變式5-1】（2022秋?莊河市期末）為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）．若設綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大為多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）由題意得：y＝x＝﹣x2+20x，自變量x的取值范圍是0＜x≤25；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200，∵20＜25，∴當x＝20時，y有最大值200平方米即當x＝20時，滿足條件的綠化帶面積最大．【變式5-2】（2023?汶上縣一模）某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養殖場的總面積為36m2，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】（1）x的值為2m；（2）當時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為m2．【解答】解：（1）如圖：∵BC＝x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD＝2x，∴BD＝3x，AB＝CF＝DE＝（24﹣BD）＝8﹣x，依題意得：3x（8﹣x）＝36，解得：x1＝2，x2＝6（不合題意，舍去），答：此時x的值為2m．（2）設矩形養殖場的總面積為S，由（1）得：S＝3x（8﹣x）＝﹣3（x﹣4）2+48，∵墻的長度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵﹣3＜0，∴x＜4時，S隨著x的增大而增大，∴當x＝時，S有最大值，最大值為（m2）．答：當時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為m2．【變式5-3】（2023?涼山州模擬）2022年5月，教育部頒布的《義務教育勞動課程標準》中，要求以豐富開放的勞動項目為載體，培養學生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質．某校為此規劃出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為12米），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為30﹣3x米（用含的代數式表示）；（2）若矩形ABCD的面積為63m2，求x的值；（3）當x為何值時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為多少平方米？【答案】（1）30﹣3x；（2）7；（3）當x＝6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：30﹣3x；（2）∵墻最大可用長度為12米，∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，解得：6≤x＜，根據圖形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，解得：x1＝3（舍），x2＝7，∴x的值為7；（3）設矩形的面積為S平方米，則S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，且6≤x＜，∴當x＝6時，S有最大值，最大值為72，答：當x＝6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為72平方米．【變式5-5】（2022秋?孟州市校級期末）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設BC長為xm，則CD長度為（21﹣3x）m，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當x＝時，總種植面積有最大值為m2，此時CD＝21﹣3×＝＜12，符合題意，即BC應設計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．【變式5-6】（2023?青山區模擬）在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600cm2的矩形紙板ABCD，如圖1，再在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒，底面為矩形EFGH，如圖2．設小正方形的邊長為x厘米．（1）若矩形紙板ABCD的一邊長為90cm，①當紙盒的底面積為1056cm2時，求x的值；②求紙盒的側面積的最大值；（2）當EH：EF＝7：2，且側面積與底面積之比為9：7時，求x的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一邊長為90cm，∴矩形的另一邊為3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值為12cm．②S側＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，當x＝時，S最大＝，答：紙盒的側面積最大為平方厘米．（2）設EF＝2m，則EH＝7m，則側面積為2（7mx+2mx）＝18mx，底面積為7m×2m＝14m2，由題意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，則AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x?9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值為10．【變式5-7】（2022秋?孟州市校級期末）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應設計為多長？此時最大面積為多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設BC長為xm，則CD長度為（21﹣3x）m，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當x＝時，總種植面積有最大值為m2，此時CD＝21﹣3×＝＜12，符合題意，即BC應設計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．【變式5-9】（2023?青山區模擬）在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600cm2的矩形紙板ABCD，如圖1，再在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒，底面為矩形EFGH，如圖2．設小正方形的邊長為x厘米．（1）若矩形紙板ABCD的一邊長為90cm，①當紙盒的底面積為1056cm2時，求x的值；②求紙盒的側面積的最大值；（2）當EH：EF＝7：2，且側面積與底面積之比為9：7時，求x的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一邊長為90cm，∴矩形的另一邊為3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值為12cm．②S側＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，當x＝時，S最大＝，答：紙盒的側面積最大為平方厘米．（2）設EF＝2m，則EH＝7m，則側面積為2（7mx+2mx）＝18mx，底面積為7m×2m＝14m2，由題意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，則AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x?9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值為10．【題型6拱橋類問題】【典例6】（2023?碑林區校級模擬）某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系（以AB中點為原點，拋物線對稱軸所在直線為y軸）中，拱橋高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求拋物線的表達式；（2）拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形EFGH（H，G分別在拋物線的左右側上），已知搭建“腳手架”EFGH的三邊所用鋼材長度為18.4m（EF在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離．【答案】（1）拋物線的表達式為y＝﹣x2+5；（2）“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為4m．【解答】解：（1）根據已知可得，A（﹣10，0），拋物線頂點C（0，5），設拋物線的表達式為y＝ax2+5，把A（﹣10，0）代入得：100a+5＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+5；（2）設點G的坐標為（t，﹣t2+5），根據題意得HG＝2t，GF＝﹣t2+5，∵EH+HG+GF＝18.4m，∴2t+2（﹣t2+5）＝18.4，解得t1＝6，t2＝14（不合題意，舍去），∴HG＝12m，GF＝3.2m，∴EO＝HG＝6（m），∴AE＝AO﹣EO＝4（m）．答：“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為4m．【變式6-1】（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標系，得到函數，在正常水位時水面寬AB＝30米，當水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【答案】A【解答】解：∵AB＝30米，∴當x＝15時，y＝﹣×152＝﹣9，當水位上升5米時，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此時水面寬CD＝20米，故選：A．【變式6-2】（2023?豐潤區二模）如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面3m，水面寬6m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【答案】A【解答】解：設出拋物線方程y＝ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經過（﹣3，﹣3）點，故﹣3＝9a，a＝﹣，故y＝﹣x2，故選：A．【變式6-3】（2023?遵化市二模）如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺母C為拋物線支架的最高點，燈罩D距離地面1.5米，最高點C距燈柱的水平距離為1.6米，燈柱AB＝1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離AE為多少米（）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6【答案】A【解答】解：如圖所示，以AE所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，方法一：∵AB＝DE＝1.5m，∴點B與點D關于對稱軸對稱，∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；方法二：根據題意知，拋物線的頂點C的坐標為（1.6，2.5），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1.6）2+2.5，將點B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，當y＝1.5時，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，解得x＝0（舍）或x＝3.2，所以茶幾到燈柱的距離AE為3.2米，故選：A．【變式6-4】（2023?榆陽區二模）廊橋是我國古老的文化遺產，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數表達式為，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是（）A．米 B．10米 C．米 D．米【答案】A【解答】解：由于兩盞警