導數大題題型分類答案題型一：直接法分類討論1.已知函數，.（1）若，求在上的最小值；（2）若在上恒成立，求實數a的取值范圍.【解析】（1）當時，，，所以在上單調遞增，故.（2）由題意，，①當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，故，不合題意；②當時，，所以當時，，從而在上單調遞增，又，所以當時，，從而在上不能恒成立，不合題意；③當時，對任意的，，所以，從而在上單調遞減，結合知恒成立，滿足題意；綜上所述，實數a的取值范圍為.2．已知函數，．(1)求函數的單調區間；(2)若對任意恒有，求a．【解析】（1）因為，當時，對任意都有，函數的單調增區間為當時，由，得，時，，時，，所以函數的單調增區間為，單調減區間為．綜上，當時，函數的單調增區間為，當時，函數的單調增區間為，單調減區間為；（2）因為對任意恒有，所以設，根據題意，對任意，要求，，①當時，，時，，為上單調增函數，所以時，，時，，為上單調減函數，所以時，，此時，對任意恒有；②當時，由得，，時，，為上單調增函數，因為，所以，不符題意；③當時，由得，，時，，為上單調減函數，因為，所以，不符題意；④當時，對任意都有，為R上單調減函數，所以時，，不符題意；綜上，當時，對任意恒有．題型二.導數恒成立之參變分離：3.已知函數，.（1）若的圖像在處的切線經過點，求的值；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由題知的定義域為.又，則.又因為，所以切點為.所以，解得.（2）當時，.當時，不等式恒成立即不等式，恒成立.設，，則.因為，所以.所以在上單調遞減，從而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范圍為.4．已知函數，．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍．【解析】（1）當時，，所以，所以，，所以曲線在點處的切線方程，即.（2）由題意知：在上有兩個零點，顯然，由，得，令，則，令，則，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為，又，時，，故當在上有兩個零點時，，所以，所以實數的取值范圍為.題型三.隱零點問題5．已知函數．（1）若函數，討論在的單調性；（2）若，對任意恒成立，求整數k的最大值．【解析】（1）因為，令，則．所以函數在單調遞增，從而，所以．由，得；由，得，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．（2）因為，對任意恒成立，所以．令，則，所以在R上單調遞增，又，，所以存在唯一的，使得，又，由（1）知當時，，所以，所以存在唯一的，使得，即．當時，，所以單調遞減；當時，，所以單調遞增，所以，，，又，所以k的最大值為．6,已知函數(1)求函數的單調區間和極值；(2)若，對任意的恒成立，求m的最大值.【答案】(1)遞增區間為，遞減區間為，極小值為，沒有極大值;(2)3【解析】(1)函數的定義域為，由，令可得，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，∴

函數的遞增區間為，遞減區間為，函數在時取極小值，極小值為，函數沒有極大值(2)當時，不等式可化為，設，由已知可得，又，令，則，∴

在上為增函數，又，，∴存在，使得，即當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，∴

，∴

，∴m的最大值為3.7．已知函數.（1）當時，求的極值；（2）若對任意，都有恒成立，求整數a的最大值.【解析】（1）當時，，定義域為，注意到當時，單調遞增，當時，單調遞減。∴的單調遞增區間為，遞減區間為，在時取得極大值且極大值為，無極小值.（2）原不等式恒成立，變形有，∵x>1即在恒成立.設原問題等價于，，令，則，在單調遞增，，由零點存在定理有在存使即，當時，單調遞減，當時，單調遞增，利用，，，的最大值為4.題型四：利用導數求解函數的最值8．（2022·全國·統考高考真題）已知函數．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【分析】（1）由導數確定函數的單調性，即可得解；（2）求導得，按照、及結合導數討論函數的單調性，求得函數的極值，即可得解.【詳解】（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.9.已知函數.(1)若，求的極值；(2)求在區間上的最小值.【答案】(1)極大值，極小值；(2)答案見解析.【詳解】（1）由題設且，則，當或時，當時，故在、上遞增，在上遞減，所以極大值，極小值.（2）由，當時，在、上，在上，所以在、上遞增，在上遞減，故上最小值為；當時，在上，即在上遞增，故上最小值為；當時，在、上，在上，所以在、上遞增，在上遞減，若，上最小值為；若，上最小值為；若，上最小值為；綜上，時，最小值為；時，最小值為；時，最小值為.題型五零點問題10.已知函數(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區間各恰有一個零點，求a的取值范圍．【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域為當時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為（2）設若,當,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當,則所以在上單調遞增所以,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當,則,所以在上單調遞增所以存在,使得,即當單調遞減當單調遞增所以當,令則所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當設所以在單調遞增所以存在,使得當單調遞減當單調遞增,又所以存在,使得,即當單調遞增,當單調遞減，當，，又，而,所以當所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區間各恰有一個零點,求的取值范圍為【點睛】方法點睛：本題的關鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.11.已知且，函數．（1）當時，求的單調區間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【分析】（1）求得函數的導函數，利用導函數的正負與函數的單調性的關系即可得到函數的單調性；（2）方法一：利用指數對數的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發現這正好是，然后根據的圖象和單調性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數在上單調遞增；上單調遞減；（2）[方法一]【最優解】：分離參數,設函數,則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構造差函數由與直線有且僅有兩個交點知，即在區間內有兩個解，取對數得方程在區間內有兩個解．構造函數，求導數得．當時，在區間內單調遞增，所以，在內最多只有一個零點，不符合題意；當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數的遞增區間為，遞減區間為．由于，當時，有，即，由函數在內有兩個零點知，所以，即．構造函數，則，所以的遞減區間為，遞增區間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．所以，實數a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區間內有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當時，與只有一個交點，不符合題意．②當時，取上一點在點的切線方程為，即．當與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區間內單調遞增；在區間內單調遞減；時，最大值為，所當且時有．綜上所述，實數a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當時，在區間內單調遞減，不滿足題意；當時，，由得在區間內單調遞增，由得在區間內單調遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數，得，即．令，則，令，則，所以在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，根據曲線和直線的交點個數求參數的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉化，分離參數，構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值，圖象，利用數形結合思想求解.方法二：將問題取對，構造差函數，利用導數研究函數的單調性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數，研究對數函數過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數的斜率比較得到結論．方法四：直接求導研究極值，單調性，最值，得到結論.題型六極值點偏移12．已知函數．(1)討論的零點個數．(2)若有兩個不同的零點，證明：．【分析】（1）先通過求導得到函數的單調區間，再運用數形結合思想分類討論即可求解；（2）將問題轉化為研究函數的單調性后再求解即可.【詳解】（1）因為，所以1不