專題03難點探究專題：解直角三角形應用與特殊幾何圖形的綜合之五大類型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一解直角三角形應用與特殊三角形的綜合】 1【類型二解直角三角形應用與平行四邊形的綜合】 6【類型三解直角三角形應用與菱形的綜合】 9【類型四解直角三角形應用與矩形的綜合】 12【類型五解直角三角形應用與正方形的綜合】 19【類型六解直角三角形應用與其他圖形的綜合】 22【典型例題】【類型一解直角三角形應用與特殊三角形的綜合】例題：（2023秋·福建泉州·九年級校考階段練習）中國傳統建筑屋頂設計是中國古代建筑之瑰寶．常見的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂等．如圖1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側視圖呈軸對稱圖形，如圖2所示，已知屋檐米，屋頂E到支點C的距離米，墻體高米，屋面坡角．（參考數值：）(1)求房屋內部寬度的長；(2)求點A與屋面的距離．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）如圖，過E作，交于點O，交于點H，則，運用三角函數解直角三角形可得，然后再根據等腰三角形的性質可得，然后再根據矩形的性質即可解答；（2）如圖，過A作，交于點I．再解直角三角形可得的長，然后再求得，最后根據，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過E作，交于點O，交于點H，則，則在中，(米)，∵是等腰三角形，∴(米)．∵四邊形是矩形，∴(米)；（2）解：如圖，過A作，交于點I．在中，(米)，在中，(米)，∴(米)，∴(米)，即點A到屋面的距離約為米．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、解直角三角形的應用、等腰三角形的性質等知識點，靈活運用三角函數解直角三角形成為解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習）露營愛好者在露營時為遮陽和防雨會借助垂直于地面的樹干搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支撐桿，用繩子拉直后系在樹干上的點A處，使得A，C，E在一條直線上，通過調節點A的高度可控制“天幕”的開合，若米，于點O（參考數據：，，）

(1)天晴時打開“天幕”，若，求遮陽寬度EF；（結果保留一位小數）(2)下雨時收攏“天幕”，由減小到，求點O下降的高度．（結果保留一位小數）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根據三線合一求出，解直角三角形求出，可得；（2）解直角三角形求出，過點作交于點H，再解直角三角形求出，根據求解即可．【詳解】（1）解：∵，且，∴平分，，∵，∴，在中，，∵米，∴米，則米，故遮陽寬度為米．

（2）∵在中，，∴米，當從變為，如圖所示：旋轉到，則，過點作交于點H，則，∵在中，，∴米，∵，∴米，∴O點下降到H點的距離為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定與性質．解題的關鍵在于抽象出直角三角形并正確的運算．2．（2023春·海南海口·九年級海口一中校考期中）油紙傘有著逾千年的歷史，被列入國家非物質文化遺產名錄；在一次活動中，小文了解了油紙傘文化的內涵，決定進行設計傘的實踐活動．小文依據黃金分割的美學設計理念，設計了中截面如圖所示的傘骨結構（其中）：傘柄始終平分，，當時，傘完全打開，此時．(1)，；(2)求線段的長；（結果保留整根號）(3)請問最少需要準備多長的傘柄？（結果保留整數，參考數據：）【答案】(1)，；(2)(3)【分析】（1）根據角平分線的定義可得，再證明，然后利用全等三角形的性質可得，即可解答；（2）過點B作，垂足為E，先在中，利用銳角三角函數的定義求出，的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，然后利用線段的和差關系進行計算，即可解答；（3）利用黃金分割的定義，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴，故答案為：；；（2）解：（2）過點B作，垂足為E，在中，，∴，，在中，，∴，∴線段的長為；（3）解：（3）∵，∴，∴，解得：，∴最少需要準備長的傘柄．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，全等三角形的判定與性質，黃金分割，熟練掌握銳角三角函數的定義，以及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．3．（2023·浙江紹興·統考三模）圖是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力．圖是支架與電腦底部的接觸面以及側面的抽象圖，已知，互相平分于點，，若，．

(1)求的長．(2)求點到底架的高（結果精確到，參考數據：，，）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意得出，由，證明與均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定義求解即可.【詳解】（1）解：，，互相平分于點O，，，與均是正三角形，．（2）解：在中，，即，答：點到底架的高為．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判斷和性質，解直角三角形，對頂角性質，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，準確計算．【類型二解直角三角形應用與平行四邊形的綜合】例題：圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得．（結果保留小數點后一位）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點G到的距離）．（參考數據：）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高為7.5m，詳見解析【分析】（1）根據平行四邊形的定義可得結論；（2）過點G作GP⊥AB于P，計算AG的長，利用∠A的正弦可得結論．【詳解】（1）證明：∵，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）如圖，過點G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，在Rt△APG中，sinA=，∴=0.96，∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.5m.【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，正確作輔助線構建直角三角形解決問題．【變式訓練】1．如圖1，是一電動門，當它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形，其中，，此時它與出入口等寬，與地面的距離；當它抬起時，變為平行四邊形，如圖3所示，此時，與水平方向的夾角為．(1)求點到地面的距離；(2)在電動門抬起的過程中，求點所經過的路徑長；(3)一輛高，寬的汽車從該入口進入時，汽車需要與保持的安全距離，此時，汽車能否安全通過，若能，請通過計算說明；若不能，說明理由．（參考數據：，，所有結果精確到【答案】(1)(2)(3)汽車能安全通過，理由見解析【分析】（1）過點作于點，交于點，根據解直角三角形、銳角三角函數進行解答即可；（2）根據弧長公式解答即可；（3）根據解直角三角形、銳角三角函數進行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，交于點，，，，；（2）點是點繞點旋轉得到，點經過的路徑長為；（3）在上取，，作于點，交于點，交于點，當汽車與保持安全距離時，汽車高度為，，，，，，，，，汽車能安全通過．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，銳角三角函數，弧長的計算等知識，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【類型三解直角三角形應用與菱形的綜合】例題：如圖是一個晾衣架的實物圖，支架的基本圖形是菱形，MN是晾衣架的一個滑槽，點P在滑槽MN上、下移動時，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖所示，已知每個菱形的邊長均為20cm，且．當點P向下滑至點N處時，測得時求滑槽MN的長度；此時點A到直線DP的距離是多少？當點P向上滑至點M處時，點A在相對于的情況下向左移動的距離是多少？結果精確到，參考數據【答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①作于H，由得出，進而求出MN；②點A到直線DP的距離是；（2）當點P向上滑至點M處時，是等邊三角形，作于G，求CG，即可求出結果．【詳解】解：當點P向下滑至點N處時，如圖1中，作于H．，，，即，，，．滑槽MN的長度為．根據題意，點A到直線DP的距離是．當點P向上滑至點M處時，如圖2中，是等邊三角形，，作于G，則，此時點A到直線DP的距離是，，∴點A在相對于的情況下向左移動的距離是．

【點睛】此題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質，找到對應長度是關鍵．【變式訓練】1．如圖1為搭建在地面上的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構成，滑塊E，H可分別沿等長的立柱AB，DC上下移動，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移動滑塊使AE＝EF，求∠AFE的度數和棚寬BC的長．（2）當∠AFE由60°變為74°時，問棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？（結果精確到0.1m．參考數據：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.9m；（2）當∠AFE由60°變為74°時，棚寬BC是減少了，減少了0.5m．【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠AFE＝60°,連接MF并延長交AE于K，則FM＝2FK，求得,于是得到結論;（2）解直角三角形即可得到結論.【詳解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,∴△AEF是等邊三角形,∴∠AFE＝60°,連接MF并延長交AE于K，則FM＝2FK,∵△AEF是等邊三角形,∴AK＝,∴,∴FM＝2FK＝,∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）;（2）∵∠AFE＝74°,∴∠AFK＝37°,∴KF＝AF?cos37°≈0.80,∴FM＝2FK＝1.60,∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,6.92﹣6.40＝0.5,答：當∠AFE由60°變為74°時,棚寬BC是減少了，減少了0.5m.【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用,觀察圖形,發現直角三角形是解題的關鍵.【類型四解直角三角形應用與矩形的綜合】例題：（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯考階段練習）某景區草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點旋轉得到，點在上，延長交于點．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點在水平地面上，與水平地面平行，，求點到水平地面的距離．（結果精確到．）參考數據：【答案】(1)平行四邊形，見解析(2)【分析】（1）由旋轉性質結合矩形的性質推出，利用證明，得到，據此可證明四邊形是平行四邊形；（2）延長交水平地面于點，連接．利用正切函數求得的長，得到，推出，再根據余弦函數求得的長，據此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由旋轉性質得，∴，∴，∴，由旋轉得，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖，延長交水平地面于點，連接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行線的性質知，∴，∴，即點到水平地面的距離約為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質和判定，利用三角函數解直角三角形等，解題的關鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對等角；（2）通過添加輔助線構造直角三角形．【變式訓練】1．（2023·山東青島·統考二模）如圖1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形為其橫截面，為吸管，其示意圖如圖所示，，，．將杯子繞點按順時針方向旋轉，使與水平線平行(如圖3)．(1)杯子與水平線的夾角______；(2)由圖2到圖3，點A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？(結果精確到，參考數據：，，)【答案】(1)(2)點A的位置是下降了厘米【分析】（1）過點作，根據平行線的性質即可求解；（2）過點作于點，延長交的延長線于點，在中，，在中，，，求得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖所示，過點作于點，延長交的延長線于點，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，，∴，，∴；點A的位置是下降了厘米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，平行線的性質，求扇形面積，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．2．如圖（1）是一種自卸貨車，圖（2）是該貨車的示意圖，貨廂側面是矩形，，初始狀態下，點A，B，F在同一水平線上，此時貨廂底部離地面的距離為．卸貨時貨廂繞著點A旋轉．

(1)當時，求貨廂最高點C離地面的距離．(2)點A處的轉軸與貨車后車輪轉軸（點E）的水平距離叫做安全軸距，已知該車的安全軸距為．貨廂對角線的交點G是貨廂的重心．卸貨時，如果A，G兩點間的水平距離小于安全軸距，那么車輛會傾覆．當時，該貨車是否會傾覆？請說明理由．（參考數據：）【答案】(1)貨廂最高點C離地面的距離約為(2)該貨車不會傾覆，理由見解析【分析】（1）要求車廂最高點C離地面的距離，所以過點C作，垂足為H，再過點B作，垂足為P，過點B作，垂足為Q，這樣構造一個矩形，兩個直角三角形和，然后進行計算即可；（2）要求A、G兩點的水平距離，所以過點G作，垂足為O，再過點C作，垂足為M，交于點I，過點B作，垂足為N，過點B作，垂足為K，這樣構造一個矩形，四個直角三角形，分別為，，，，然后進行計算即可．【詳解】（1）過點C作，垂足為H，過點B作，垂足為P，過點B作，垂足為Q，

則四邊形為矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，答：車廂最高點C離地面的距離是5.3米；（2）不會發生安全事故，理由是：過點G作，垂足為O，過點C作，垂足為M，交于點I，過點B作，垂足為N，過點B作，垂足為K，

則四邊形為矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，∵，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴∵，∴，∵，∴不會發生安全事故．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，三角形的重心，旋轉的性質，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【類型五解直角三角形應用與正方形的綜合】例題：（2023春·江西九江·九年級統考期中）圖1是某校教學樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現將這兩個正方形轉化為平面圖形得到圖2，并測得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求的長．（參考數據：）【答案】(1)四邊形是菱形，詳見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而得，即可得出結論；（2）作于點M，解，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形

，理由：正方形與正方形的面積相等，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，∴四邊形是菱形．（2）解：作于點M，

在中，，，得

，．【點睛】本題考查正方形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性質、菱形的判定、正確求解直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練】1．測量金字塔高度：如圖1，金字塔是正四棱錐，點O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱錐的高，泰勒斯借助太陽光．測量金字塔影子的相關數據，利用平行投影測算出了金字塔的高度，受此啟發，人們對甲、乙、丙三個金字塔高度也進行了測量．甲、乙、丙三個金字塔都用圖1的正四棱錐表示．（1）測量甲金字塔高度：如圖2，是甲金字塔的俯視圖，測得底座正方形的邊長為，金字塔甲的影子是，此刻，1米的標桿影長為0.7米，則甲金字塔的高度為______m．（2）測量乙金字塔高度：如圖1，乙金字塔底座正方形邊長為，金字塔乙的影子是，，此刻1米的標桿影長為0.8米，請利用已測出的數據，計算乙金字塔的高度．【答案】（1）100；（2）．【分析】（1）如圖2中，連接交于，勾股定理求得，再根據物體的長度與影子的長度成比例，即可求得；（2）如圖1中，連接，,過點作交的延長線于,勾股定理求得，再根據物體的長度與影子的長度成比例，即可求得．【詳解】（1）如圖2中，連接交于，四邊形是正方形，，，，垂直平分，，，，設金子塔的高度為，物體的長度與影子的長度成比例，，，故答案為：100．（2）如圖，根據圖1作出俯視圖，連接，,過點作交的延長線于,，，，四邊形是正方形，，，，，，，．乙金字塔的高度為．【點睛】本題考查了正方形的性質，解直角三角形，俯視圖，物長與影長成正比等知識，正確的添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【類型六解直角三角形應用與其他圖形的綜合】例題：（2023秋·山東威海·九年級山東省文登第二中學校聯考階段練習）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（結果精確到，參考數據：，，，）

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面l的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．【答案】(1)車后蓋最高點到地面的距離為(2)沒有危險【分析】（1）作，垂足為點，先求出的長，再求出的長即可；（2）過作，垂足為點，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【詳解】（1）如圖，作，垂足為點，

在中，，，，，平行線間的距離處處相等，，答：車后蓋最高點到地面的距離為．（2）沒有危險，理由如下：如圖，過作，垂足為點，

，，，，，在中，，．平行線間的距離處處相等，到地面的距離為．，沒有危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．【變式訓練】1．在日常生活中我們經常使用訂書機，如圖，是訂書機的托板，壓柄繞著點B旋轉，連接桿的一端點D固定，點E從A向B滑動，在滑動過程中，的長保持不變，已知．

(1)如圖1，當，B、E之間的距離為，求連接桿的長度．(2)現將壓柄從圖1的位置旋轉到與底座垂直，如圖2所示，求在此過程中點E滑動的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點D作交與點P，在中，通過解直角三角形可求出的長度，在中，利用勾股定理可求出的長度；（2）在中，利用勾股定理可求出的長度，結合（1）中的長度即可求出答案．【詳解】（1）解：在圖1中，過點D作交與點P，

在中，，在中，，∴，即連接桿的長度為；（2）解：在中，，∴，∴在此過程中點E滑動的距離為，【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用以及勾股定理的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．2．（2023秋·河北石家莊·九年級校聯考階段練習）如圖1，某款線上教學設備由底座，支撐臂，連桿