3生物反應過程系統辨識與狀態估計3.1概述3.2 系統辯識的基本方法3.3 參數估計的基本方法3.4生物反應器的狀態觀測

3.1概述模型：系統的輸入向量，輸出向量和狀態向量之間關系的數學表達式。輸入向量：施加于系統或儀表上的獨立變量；輸出向量：系統或儀表送出的變量。輸入和輸出指的是信號流，而非物料流或能量流。狀態向量：確定動態系統狀態所需的一組最小數目的變量。 例：生物反應器內發酵液體積變化從物料流看，Fin是流入物料的流量，Fout為流出液流量。就信息流而言，輸入變量：Fout、Fin和時間t（影響發酵液體積V變化的原因），輸出變量為：dV=（Fin-Fout）dt。在規定Fin和Fout變化的情況下，只需知道初始體積V(t0)，體積變化過程就完全確定了。因此該過程的狀態變量只有一個，即V(t)。圖3.1生物反應器內發酵液體積變化建立系統數學模型的方法：理論分析和實驗兩種。理論分析方法：根據系統內部已知的規律，用物理或化學的基本定律直接推導出系統的數學模型。但對于復雜的生物反應系統而言，其內部規律往往很不清楚，因而單靠理論分析無法建立其數學模型，必須用實驗方法（即系統辯識的方法）才能建立。系統辯識（扎德，Zadch定義）：“系統辯識是在輸入輸出的基礎上，從一類系統中確定一個與所測系統等價的系統。”－根據測試結果，由輸入、輸出間的數值關系來確定適宜的數學模型。參數估計：由輸入、輸出間的數值關系來決定數學模型中待定的未知系數。扎德（LAZadeh）1921年2月生于蘇聯巴庫，1942年畢業于伊朗德黑蘭大學電機工程系，獲學士學位。1944年獲美國麻省理工學院（MIT）電機工程系碩士學位，1949年獲美國哥倫比亞大學博士學位，隨后在哥倫比亞、普林斯頓等著名大學工作。從1959年起，在加里福尼亞大學伯克萊分校電機工程、計算機科學系任教授至今。扎德在20世紀50年代從事工程控制論的研究，在非線性濾波器的設計方面取得了一系列重要成果，已被該領域視為經典并廣泛引用。3.2 系統辯識的基本方法 (1)依據在線或離線的反應曲線、脈沖或階躍響應曲線等確定模型結構與參數；圖解法（粗略估計）曲線擬合（更精確）典型例子：Monod方程

(2)依據一段時期內各個采樣時刻的輸入和輸出數據進行推算。最小二乘參數估計（典型的手段）。典型例子：描述對數生長期中生物質濃度隨時間變化。3.3.1線性模型的參數估計1.一維線性模型的參數估計根據已知數據估計式(3.3)中未知參數K0和K1：Y=K0+K1X(3.3)以離差平方和最小為最佳估計準則，即目標函數：(3.4)由此求得的K0和K1是最小二乘估計量。 求得K0和K1的最小二乘估計為： (3.5)

2．多維線性模型的參數估計多維線性模型： (3.6)實驗觀測數據：(3.7) 參數集K0，K1，…，KN估計：整理后得方程組： (3.8)代入實測數據聯立求解該方程組便可得到K0~KN的最小二乘估計值。衡量參數估計結果好壞的方法： (1)以數據的擬合誤差為標準（即可以針對參加擬合計算的數據,也可以用新取得的或不參予擬合的數據來檢驗模型）； (2)用數理統計的方法對估計的結果進行分析。3.3.2非線性模型的參數估計生物反應過程特性：多為非線性參數估計方法：最小二乘法一般的非線性模型 形式：Y=f(X,K)(3.1) 觀測數據：{(X1i，X2i，…，Xri；Yi)，i=1，2，…，m}(3.2) 性能指標為：(3.9)多元函數求極值：非常復雜、難于求解。單純形法：一種最常用的直接搜索方法。單純形法是一種通過比較性能指標J值的大小，直接尋找J最小值的方法。正規單純形：Spendley等人改正單純形：Nelder和Mead，操作簡單，便于在計算機上實現，廣為應用。初始單純形構成和新的單純形選取：關系到是否收斂及收斂速度快慢。什么是單純形？單純形是空間的基元一維單純形二維單純形三維單純形四維單純形……初始單純形構成定義：n維參數，用n+1個頂點構成的凸包（當性能指標J(x)為二元函數時，單純形為三角形）。若J(x)為n維函數，則取n+1個點x(0)，x(1)，…，x(n)構成單純形，并且保證n個向量x(1)-x(0)，x(2)-x(0)，…，x(n)-x(0)為線性獨立。正單純形：單純形各頂點之間的距離相等。若選定x(0)點，則x(0)，x(1)，…，x(n)由下式確定：(3.10) 其中ei為第i個坐標單位向量。x右上角標i表示第i個點的序號。單純形新頂點取法最差點的反射點。以圖3.2為例，點H、G、L分別表示性能指標最差、次差和最好點。先找出G、L兩點的重心F，則H關于F的反射點就是新的頂點。設X(H)、X(G)和X(L)分別為H、G、L三個點的坐標，則G、L兩點的重心F為：(3.11)反射點R的坐標為：(3.12)對于n維變量，去除H點后重心F點坐標為：(3.13)反射點R的坐標為：

(3.14)式中X(i)為第i個坐標向量，它有n個分量。單純形加速為了更快地搜索到極小值，還可以采取：單純形新點擴張單純形壓縮單純形收縮① 新點擴張如果J(X(R))<J(X(L))，說明沿FR方向搜索是正確的。為了加速搜索速度，可把新點沿FR方向再擴展至E點：(3.15)式中α為擴展系數（>1）。若J(X(E))<J(X(L))，以E代替R作為新頂點。若J(X(E))>J(X(R))，新的頂點仍取為R，見圖3.2(b)。② 新點壓縮若J(X(R))>J(X(G))，可試探將反射點壓縮到S點見圖3.2(c)。S點坐標為：(3.16) 式中β為壓縮系數，0.5<β<1。若J(X(R))>J(X(H))，即反射點比最壞點還要差，則應該壓縮到S’點： (3.17) β為壓縮系數，0<β<0.5。③ 單純形縮邊如果HR方向所有各點的性能指標都比H點的差，這表明沿著HF方向反射是不對的。為有效地搜索，可把原單純形HGL縮成H’G’L后從(2)重新開始，H’和G’點的坐標為：

(3.18)(3.19) 單純形縮邊如圖3.2（d）所示。單純形尋優程序框圖說明： 程序框中第一步設置了最多次數M，以使搜索不到極小值時能夠自動停機。圖3.3單純形法尋優程序框圖另一類方法：梯度法使用函數的梯度(一階導數)或它的Hessen矩陣(二階導數)來構造算法的。由于導數反映了函數值變化規律，因而在導數值可求得的情況下，充分利用函數的梯度信息，一般能獲得加速收斂的效果。常見的算法：共軛梯度法，擬牛頓法(變尺法)，Marquardt法等等。3.3.3微分方程模型的參數估算微分方程模型是描述生物反應過程最常見的數學模型形式。估計微分方程模型參數的方法 解析解法 數值解法

(1)解析解法能否采用解析解法取決于微分方程模型的積分式。對于微生物分批培養而言，描述該系統的數學模型通常由如下兩個微分方程組成：

(3.20)

(3.21)①忽略ms,(3.20)/(3.21)得：

(3.22)②考慮ms的存在,作者把Pirt所提出的關系式：(3.23)改寫成：(3.24)把(3.20)代入(3.24)后整理得：

(3.25)以邊界條件：積分式(3.25)便可得到X與S的函數關系式：(3.26)把式(3.26)代入式(3.21)得積分式：

(3.27)假定B<<S0，則式(3.27)中的對數項可寫成：

(3.28)取ln

[(B+S)/S0]展開式的第一項得：

(3.29)經分析上述假定及簡化在較大范圍內給X值的計算所帶來的偏差很小，可忽略不計。據此，式(3.27)可簡寫成：

(3.30)式中M、N、P、C、D為A、B、E、F等的復合參數。以邊界條件：積分式(3.30)便可得到S-t關系式(3.31)同理可得服從Monod方程、用于描述單罐連續培養微生物的動力學模型的解析解：

(3.32)

(3.33)

發酵動力學模型：(3.34)=(3.20)

(3.35)(3.36)式中P為產物濃度，YG和YP分別最大生物質生長得率和最大產物生成得率。這是一組含有七個參數(umax、Ks、α、β、YG、YP和ms)的多元非線性微分方程組。經研究，可導出如下所示的解析方程組：

(3.37)(3.38)

(3.39)式中：a1~a4和b1~b9均為所述七個參數的復合常數。(2) 數值解法隨著計算技術的發展，用數值解法求取用微分方程形式表示