2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3,請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合A={1,3,5},B={1,2,3},C={2,3,4,5）,貝！）（Ac5）uC=（）

A.{1,2,3,5}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5)

2.已知，％”為兩條不重合直線，為兩個不重合平面，下列條件中，。，尸的充分條件是（）

A.m//n,mua,nuBB.tn//n,m±a,n1.P

C.m±n,m//a,n//pD.m±n,m±a,n±

3.已知函數小）=2sin（3x+0-l（。＞0,0＜。＜萬）的一個零點是亨，函數）=/（x）圖象的一條對稱軸是

直線x=-2,則當①取得最小值時，函數/（X）的單調遞增區間是（）

6

絲3癡-￡

A.3k兀一B.3k兀一

36j(ZeZ)36J(左eZ)

「

2乃-,71rn,TV

C.2k兀一—,2^--(ZeZ)D.2k九一(ZeZ)

3636J

4.已知數列{4}的前〃項和為S,,,且(S,+1)(S,+2+1)=(S,,+1+1)2(〃WN"),%=1曲=2,則S“=()

A.—----LB.2,,+|C.2"-1D.2n+l+1

5.我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，用現代式子表示即為：在AABC中，角A,5,C所

1A2_2A2

2

對的邊分別為mb,c,則AABC的面積S=n-(ab)--1------2...-〃.根據此公式，若

acos8+(/?+3c)cosA=0,且/一/一02=2，則A/WC的面積為()

A.0B.272C.V6D.2也

o

6.已知｛%｝為正項等比數列，S,,是它的前〃項和，若4=16,且應與%的等差中項為大，則其的值是(

8

A.29B.30C.31D.32

7.如圖示，三棱錐P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,且尸A==AB=75,PC,

則PC與面加6所成角的正弦值等于()

D.也

3

B兩點，與/平行的直線4與圓。交于M,N兩點,

且AQAB與AOMN的面積相等，給出下列直線八①由x+y-2百=0,②后+y-2=0,③x—Gy+2=0,

④Gx+y+2百=0.其中滿足條件的所有直線4的編號有()

A.①②B.①④C.②③D.①②④

TTTT

9.將函數/(x)=sin(2x-^)(xGR)的圖象分別向右平移？個單位長度與向左平移〃(">0)個單位長度，若所得到

JJ

的兩個圖象重合，則”的最小值為()

TC2乃…兀

A.-B.—C.一D."

332

10.若函數/(x)的圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能是()

A.=B./(x)=-1—C./(x)=^—D.=

Xx

ii.在正方體ABC。-age，中，球。|同時與以A為公共頂點的三個面相切，球Q同時與以G為公共頂點的三

個面相切，且兩球相切于點尸.若以尸為焦點，為準線的拋物線經過a，Q,設球q,的半徑分別為4，弓，則

A.B.V3-V2C.1-—D.2—百

22

12.若直線>=h+1與圓7+爐=1相交于尸、Q兩點，且/尸。。=120。(其中。為坐標原點)，則★的值為()

A.叢B.V2C.行或一百D.垃和一O

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(x+I)(x—2)6展開式中V的系數為.

14.命題“大<0,d-2x-l>0"的否定是.

fX-y-l>0

15.已知x,y滿足約束條件x+y-3S0,貝!|z=2x-y的最小值為一

{2y+l>0

16.在1的二項展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則該二項展開式中的常數項等于.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)a,b,c分別為AA3C內角A,B,C的對邊.已知a=3,csinC=asinA+bsinB,且8=60。.

(1)求△ABC的面積；

(2)若O,E是8c邊上的三等分點，求sin/ZME.

22

18.(12分)已知橢圓C:=+與=l(a>b>0)的左、右頂點分別為4、A2,上、下頂點分別為耳，B,,尸為其

ab

________1

右焦點，B^B,F=\,且該橢圓的離心率為刁；

(I)求橢圓C的標準方程；

(H)過點A作斜率為攵的直線/交橢圓C于X軸上方的點P,交直線x=4于點O,直線A?。與橢圓c的另一個交

點為G,直線OG與直線交于點”.若平=/14后，求X取值范圍.

19.(12分)已知函數“X)=xe'--ax

(1)討論/(x)的單調性；

(2)當x合/時，-a+1>0,求“的取值范圍.

20.(12分)已知函數/(x)=xlnx-公?+1,aeR.

(1)若曲線y=/(x)在點(1J(1))處的切線方程為)，=}+〃，求“，b；

(2)當xNl時，f\x)<ajc2-3ax+l,求實數。的取值范圍.

21.(12分)已知拋物線C^=4%的焦點為產，準線/與x軸交于點M,點P在拋物線上，直線與拋物線。交

于另一點A.

(1)設直線MP,M4的斜率分別為尤，k2,求證：勺+心常數；

(2)①設APMA的內切圓圓心為G(a,b)的半徑為r,試用r表示點G的橫坐標。；

②當APM4的內切圓的面積為‘71?時，求直線叫的方程.

2

?22

22.(10分)已知點8(0,—2)和橢圓加：、+]=1.直線/：丁=依+1與橢圓加交于不同的兩點乙Q.

(1)當左=4時，求△P3Q的面積；

2

(2)設直線必與橢圓M的另一個交點為C,當C為心中點時，求k的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據集合的基本運算即可求解.

【詳解】

解：?.?A={1,3,5},8={1,2,3},C={2,3,4,5},

貝！J(AC8)UC={1,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}

故選：D.

【點睛】

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題.

2.D

【解析】

根據面面垂直的判定定理，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.

【詳解】

對于A,當加〃“，mua,時，則平面a與平面僅可能相交，aL（3,alIp,故不能作為。_L￡的充分

條件，故A錯誤；

對于B,當mHn,mLa,〃，6時，則。///?,故不能作為a，△的充分條件，故B錯誤；

對于C,當m_L〃，mtla,〃//4時，則平面a與平面/相交，aA.fi,a11/3,故不能作為aJ■力的充分條件,

故C錯誤；

對于D,當mVa,n-L/3,則一定能得到。_L/?,故D正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎題.

3.B

【解析】

根據函數/（X）的一個零點是x=g,得出dg1=O,再根據x=—￡是對稱軸，得出一5/一9=￡+而，keZ,

求出卬的最小值與對應的。，寫出了（X）即可求出其單調增區間.

【詳解】

兀、c.（九①、，八.（兀0）\1

依題意得，/--2sin—+（p-1=0,即sin—+

\3JV37\3）2

解得----卜（p=2k\7ir—或---\-（p—2k27rH----（其中勺，匕￡Z）.①

3636

/\

「?兀3L

又SH1---+（p=±1,

I67

即-----\-（p=-ky7tH（其中43@Z）.②

62

由①一②得詈=（2匕一左3）萬—2或詈=（2七一%）萬+5，

222

即0=2（2匕一占）—§或3=2（2幺—/）+1（其中勺，&，￡wZ）,因此①的最小值為

71jrjr

因為sin------+(p|=sin一丁夕=±1，所以一+9=]+(ZrGZ).

I6)

7T7T2717127t

又0<°<萬，所以0=5+3,所以/(x)=2sin—x+—+—|-l=2cos—x+—-1

32939J

2715TT7T

令2ATT—乃<—xH—<2左"(左￡Z),則3上萬----￡x43kjt-----(ZcZ).

3936

37r71

因此，當0取得最小值時，“X）的單調遞增區間是3k兀一F，3k兀一7（左eZ）.

36

故選：B

【點睛】

此題考查三角函數的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數值為零，屬于較易題目.

4.C

【解析】

根據已知條件判斷出數列｛S,+l｝是等比數列，求得其通項公式，由此求得S..

【詳解】

由于（S,+l）（S,*2+l）=（Sg+l）2（〃GN*）,所以數列｛S.+1｝是等比數列，其首項為E+l=4+l=2,第二項為

4

52+1=?,+?2+1=4,所以公比為5=2.所以S.+1=2",所以S“=2"-1.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查等比數列的證明，考查等比數列通項公式，屬于基礎題.

5.A

【解析】

根據acos8+（〃+3c）cosA=0,利用正弦定理邊化為角得sinAcosB+cosAsin5+3sinCcosA=。，整理為

sinC（l+3cosA）=0,根據sin。#。，得cosA=—再由余弦定理得bc=3,又a1-及-d=2,代入公式

【詳解】

由acos8+e+3c)cosA=0得sinAcosB+cosAsinJ?+3sinCcosA-0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因為sinCxO,所以cosA=-,，

3

2

由余弦定理/一〃一c)=-2bccosA--be-2,所以bc=3,

"c2+b2-

由AABC的面積公式得S==0

l_~三

故選：A

【點睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

6.B

【解析】

設正項等比數列的公比為q,運用等比數列的通項公式和等差數列的性質，求出公比，再由等比數列的求和公式，計

算即可得到所求.

【詳解】

設正項等比數列的公比為q,

則a4=16q3,a7=16q6,

9

與a7的等差中項為5,

8

9

即有34+37=—9

4

9

即16q3+16q6,=-,

4

解得q=；(負值舍去)，

故選C.

【點睛】

本題考查等比數列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數列的性質，考查運算能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

首先找出PC與面Q48所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系

求出所成角的正弦值.

【詳解】

由題知△A3C是等腰直角三角形且NACB=90°,^ABP是等邊三角形，

3

B

設A3中點為。，連接PO,CO,可知PO="，CO=-Z,

221

同時易知ABLCO,

所以面POC,故NPOC即為PC與面A鉆所成角，

有“

2POCO3

故sinZPOC=71-cosZPOC.

3

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.

8.D

【解析】

求出圓心0到直線/的距離為：t/=l=-r,得出NAOB=12(T根據條件得出。到直線4的距離4'=1或G時滿足

2

條件，即可得出答案.

【詳解】

解：由已知可得：圓。：/+丁=4的圓心為(0,0),半徑為2,

則圓心。到直線/的距離為：d=l=-r,

2

AZAOB=nO°,

而△。鉆與AOMN的面積相等，

...乙懷9%=120。或60°,

即。到直線4的距離〃'=1或6時滿足條件，

根據點到直線距離可知，①②④滿足條件.

故選：D.

【點睛】

本題考查直線與圓的位置關系的應用，涉及點到直線的距離公式.

9.B

【解析】

首先根據函數“X)的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合,

那么〃?+〃=上丁，利用/(x)的最小正周期為萬，從而求得結果.

【詳解】

/(x)的最小正周期為萬，

那么§+〃=A7&GZ),

于是n=k兀一三,

3

于是當攵=1時，〃最小值為日，

故選B.

【點睛】

該題考查的是有關三角函數的周期與函數圖象平移之間的關系，屬于簡單題目.

10.A

【解析】

由函數性質，結合特殊值驗證，通過排除法求得結果.

【詳解】

1一尤2

對于選項B,/(%)=--為奇函數可判斷B錯誤；

X

px_Y

對于選項C,當xv—1時，/(%)=--^<O,可判斷C錯誤；

對于選項D,/(x)=±￥=1+-1,可知函數在第一象限的圖象無增區間，故D錯誤；

尤-X尤-

故選:A.

【點睛】

本題考查已知函數的圖象判斷解析式問題，通過函數性質及特殊值利用排除法是解決本題的關鍵，難度一般.

11.D

【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點。2到點尸的距離即半徑巴，也即

點。2到面8DG的距離，點。2到直線的距離即點。2到面AB4A的距離因此球。2內切于正方體，設&=1,

兩球球心和公切點都在體對角線AG上，通過幾何關系可轉化出“，進而求解

【詳解】

根據拋物線的定義，點。2到點尸的距離與到直線的距離相等，其中點。2到點尸的距離即半徑馬，也即點。2到

面的距離，點。2到直線AB1的距離即點。2到面ABBA的距離，因此球。2內切于正方體，不妨設為=1,兩

個球心已，Q和兩球的切點F均在體對角線AG上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則

0

&尸=4=1，A2=牛=百，所以AF=A0,-g-1.又因為4F=A01+。吠=Gq+r;,因此(6+1)。=G-1,

故選：D

【點睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉化，拋物線幾何性質的使用，內切球的性質，數形結合思想，轉化思想，直觀想象與數

學運算的核心素養

12.C

【解析】

直線過定點，直線y=kx+l與圓x2+y2=l相交于p、Q兩點，且NPOQ=120°(其中O為原點)，可以發現NQOx的大

小，求得結果.

【詳解】

如圖，直線過定點(0,1),

VZPOQ=120°.\ZOPQ=30°,=41=120°,Z2=60°,

二由對稱性可知k=土目.

故選C.

【點睛】

本題考查過定點的直線系問題，以及直線和圓的位置關系，是基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.48

【解析】

變換(x+l)(x—2>=x(x—2?+(x—2)6,根據二項式定理計算得到答案.

【詳解】

6r666

(X—2)6的展開式的通項為：7；,+1=C；x--(-2)\(X+1)(X-2)=%(X-2)+(X-2),

取r=5和廠=4,計算得到系數為：C：.(-2)'+C：.(—2)4=48.

故答案為：48.

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力和應用能力.

14.Vx<0,X2-2X-1<0

【解析】

根據特稱命題的否定為全稱命題得到結果即可.

【詳解】

解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題玉<0,x?-2x-l>0,

則該命題的否定是：Vx<0,%2-2x-l<0

故答案為：Vx<0,X2-2X-1<0.

【點睛】

本題考查全稱命題與特稱命題的否定關系，屬于基礎題.

3

15.-

2

【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再由y=2x-維示直線在y軸上的截距最大即可得解.

【詳解】

fX-y-l>0

X,J滿足約束條件x+y-3W。，畫出可行域如圖所示.目標函數Z=2x?》即1'=2x-z.

{2y+1>0

平移直線y=2x-z,截距最大時即為所求.

之;」1=°0點A(g一?

Z在點A處有最小值：z=2

222

故答案為：

【點睛】

本題主要考查線性規劃的基本應用，利用數形結合，結合目標函數的幾何意義是解決此類問題的基本方法.

16.1

【解析】

由題意可得〃=8,再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數項的值.

【詳解】

(W-2)”的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數最大，.?."=8,

X

通項公式為&=C)(-2>.X呼=(-2『.q.x等，令一^=°，求得，=2，

可得二項展開式常數項等于4Xc；=112,

故答案為1.

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)迪；(2)

2434

【解析】

(1)根據正弦定理，可得AABC為直角三角形，然后可計算兒可得結果.

(2)計算AE,AD,然后根據余弦定理，可得cosNZXE,利用平方關系，可得結果.

【詳解】

(1)△ABC中，由csi〃C=as加A+加加

利用正弦定理得。2=〃2+)2,所以△ABC是直角三角形.

又4=3,5=60。,所以b=atan6O=3有；

所以△ABC的面積為S='出?=2叵.

22

(2)設O靠近點B,則BD=DE=EC=1.

他=揚+。5=2#),AD=1及+5=屈

AE?+AD?-DE?295/217

所以COS/D4E=

2AEAD434

所以sin/DAE=Jl-cosNDAE-.

434

【點睛】

本題考查正弦定理的應用，屬基礎題.

22

18.(I)—r+^v-=1；(U)&(=5,3).

433

【解析】

(I)由題意可得瓦《，3/的坐標，結合橢圓離心率，耳耳.殲1=1及隱含條件列式求得。，。的值，則橢圓方程

可求；(II)設直線A?y=%(x+2),求得。的坐標，再設直線4o：y=3左(X—2),求出點G的坐標，寫出0G的

方程，聯立0G與4。，可求出，的坐標，由乖=尤4萬，可得X關于k的函數式，由單調性可得X取值范圍.

【詳解】

(I>4(-)0),)(0,。),F(c,0),

8人=(—a,—b),BlF=(c,—Z>)?

_______C1er

由44歷1戶=1,得尸―ac=l,又一=二，a2=b2+c29

a2

解得：a=2,b=\[39c=l.

22

，橢圓C的標準方程為土+匕=1；

43

(H)設直線AD：y=&(x+2)(&>0),則與直線x=4的交點。(4,6幻,

又4(2,0),.?.設直線4O:y=3k(x—2),

y=3k(x-2)

22

聯立《xyi,消〉可得(1+12%2)*2-484\+48公-4=0.

[43

解得G(2篝4k2看-2-12k

1+⑵2)，

y=k(x+2)

6-8k212k、

聯立歸+3,得「(3+4公)

13+4公

143

直線爾產3以

-6k

y=-----——x212%、

聯立,12k2-1,解得〃(.-24k+2

12公+512r+5

y=k(X+2)

???麗=4審,

.,.(%+2,%)=4(%+2,yH),

yP="，

,yP12二+512/+9-4.4

-y”3+4女24&2+3442+3

4

函數f*)=3-丁=在(0,+8)上單調遞增，

4k~+3

.?.2=/We(1,3).

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查運算求解能力，意在考查學生對這些知識的理解掌

握水平和分析推理計算能力.

19.(1)見解析；(2)(?oo,1]

【解析】

(1)f(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論，即可得出單調性.

]X-X_

xxe4

(2)由xe'?ax?a+lKb可得a(x+l)<xe+L當x=?l時，0&-+1恒成立.當x>?l時，a<一令g(x)一:

e-x+7x+l

利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出.

【詳解】

解法一s(1)f(x)=e+xe-ax-a=(e-a)(x+1)

①當aWO時，

X(~00/-1)-1(-1,+9)

f(x)-0+

f(x)極小值

所以放)在Joo,上單調遞減，在("，+到單調遞增.

②當a>0時，f(x)=0的根為x=Ina或;r=-1.

若Ina>?/,即。>一,

X6-oo,-1)-1(-7,Ina；\naflnn,+g)

f(x)+0-0+

f(x)7極大值X極小值7

所以O在oo,-1),(\na,+刈上單調遞增，在(-1Jn刃上單調遞減.

若Ina=-It即。=-,

e

f(x)>庶8,+的上恒成立，所以〃”在8,+8,上單調遞增，無減區間.

若Ina<-/,BP0<a<->

X(-(x),\na)\na<lna,-1)-1(-1,+00；

f(x)+0-0+

f(x)/極大值極小值7

所以的在<-a>,Ina),(-1,+到上單調遞增，在-〃上單調遞減.

綜上：

當。SO時，在(-8,-〃上單調遞減，在+的上單調遞增；

當0<a<,時，附在(-8,1血，(-/,+的上單調遞增，在“na,-〃上單調遞減;

e

自"'時，在r-oo,+8)上單調遞增，無減區間；

e

當時，心/在，-8,-。，rlm，+的上單調遞增，在(-1，加力上單調遞減.

e

(2)因為入￡.ax-4+/20，所以+〃Wxe'+/?

當工="時，+1恒成立.

e

當時，

~x+1

Axe+1,e(x+x1)-1

令^(x)=-----，g(x)=；'

X+1(x+1)"

設“的=e(x+x+7)-7>

因為b(x)=eCv+/)(A*+2)>0^xE(■1?+8)上恒成立,

即"G)=+x+/)-/在工￡(-1,+8,上單調遞增.

又因為從0)=0,所以g#=±2在公1。上單調遞減，在自+劃上單調遞增,

x+1

則g%n=S(0)=A所以a<1.

綜上，。的取值范圍為(?oo/?

解法二：(1)同解法一；

(2)令g(x)=f(x)+~x"-a+J=xe'-ax-a+7>

所以8㈤=J+xe'-Q=e(x+1)-a9

當aWO時，g(x)>09貝!Ig小庭［-/,+8)上單調遞增，

所以gO2g(?〃->0，滿足題意.

e

當時，

令h(x)=e+xe-a9

因為4(x)=2e+xe>09即入㈤=e+xe'.c在I-■/,+8)上單調遞增.

又因為力(-/)=-a<0,從0)=1-a>Of

所以力㈤=/+-.a=庶1-LO］上有唯一的解，記為“，

X(-1，Xjxo(x(y+◎

g(x)-0+

g(x)極小值/

g^min=g(xj=xoe°-axo-a+1

=xoeO-(e°+xoe0)xo-(e0+x/)+1

=-e°(xn-^~)+［+1>-e°+1>09滿足題意.

u24

當a>/時，g(0)=-a+1<0,不滿足題意.

綜上，”的取值范圍為(-8』.

【點睛】

本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能

力，屬于難題.

4「、

20.(1)<I；(2)[1,+co)

h=—

4

【解析】

(1)對函數求導，運用/'(l)=g可求得"的值，再由在直線上，可求得。的值；

(2)由已知可得恒成立，構造函數g(x)=lnx—ox2+公，對函數求導，討論。和0的大小關系,

結合單調性求出最大值即可求得。的范圍.

【詳解】

(1)由題得/'(x)=Inx+l-2or,

因為y=/(x)在點(IJ⑴)與y=；x+A相切

/'(1)=1-20=；a=；

所以1，']

lv'24

(2)由/'(x)〈以J3以+1得]nx-辦2+依《0,令g(x)=lnx-依之+公，只需

=--2ax+a=+^+1設〃(力=-2加+奴+1(%>1),

xx

當”=0時，g'(x)20,g(x)在xNl時為增函數，所以g(x)?g⑴=0,舍；

當4<0時，〃(x)開口向上，對稱軸為x=；,/?(1)=1-?>0,所以g(x)在X>1時為增函數，

所以g(x)2g(l)=0,舍；

當。>0時,二次函數〃(x)開口向下，且〃(0)=1>0,

所以〃(X)在x>()時有一個零點看,在(0,不)時/z(x)>。，在(天,”)時Mx)<。，

①當〃⑴=1一aW()即a21時，在(1,+s)小于零，

所以g(x)在xil時為減函數，所以g(x)<g⑴=0,符合題意；

②當/?(1)=1一。＞0即。＜1時，/?(x)在(1,不)大于零，

所以g(x)在(1,%)時為增函數，所以g(Xo)?g(l)=O,舍.

綜上所述：實數。的取值范圍為［1,+8)

【點睛】

本題考查函數的導數，利用導數求函數的單調區間及函數的最小值，屬于中檔題.處理函數單調性問題時，注意利用

導函數的正負，特別是已知單調性問題，轉化為函數導數恒不小于零，或恒小于零，再分離參數求解，求函數最值時

分析好單調性再求極值，從而求出函數最值.

21.⑴證明見解析；(2)①八二；②％土叵y-l=O.

48

【解析】

(1)設過戶的直線x=My+l交拋物線于P(X］，X),A(z，%)，聯立y2=4x,利用直線的斜率公式和韋達定理表

示出勺+心，化簡即可;

(2)由(1)知點G在x軸上，故G(a,O),設出直線PAPM方程，求出交點P坐標，因為內心到三角形各邊的距

離相等且均為內切圓半徑，列出方程組求解即可.

【詳解】

(1)設過尸的直線x=my+l交拋物線于P(M，X),A(x2,y2),M(-1(O)

x=my+1

聯立方程組＜,得：y2-4my-4=0.

y2=4x

乂+%=4m

于是，有:

4

yl-y2=-

:.k、+k-X1%_M+）,2丁+X+）2

~Xj+1x2+1Xj+x2+XjX2+1'

又％工2+%%+x+%=；凹%（%+%）+（乂+%）=；（-4>4加+4m=0,

+乂=0；

x=my+1

(2)①由(1)知點G在x軸上，故G(a,o),聯立PAPM的直線方程:

x=ny—\

ffTI4-VI2I

.6O'又點尸在拋物線y、4"上'得"一＞=i,

\a-l\|a+l|戶dm

又萬

「2(1+叫=(a+l)

r2

ci——；

4

7111

②由題得，S=7rr—=>〃2=一=。=一

228

（解法一）

毛。+也=加2

…土生

8

所以直線外的方程為x土與y-1=0

（解法二）

設內切圓半徑為L則/"MYZ.設直線尸”的斜率為3貝!I：

2

直線的方程為：y=人（工+1）代入直線2