作為定積分的幾何應用，旋轉體的體積一般是用定積分來計算。本課件用元素法來推導旋轉體體積的二重積分的計算公式。將二重積分化為二次積分可以得到計算旋轉體體積的定積分公式、最后，舉例加以說明。第一頁1第二頁，共31頁。先看特殊的情形旋轉軸為坐標軸第二頁2第三頁，共31頁。設D是上半平面內的一個有界閉區域。

將D繞x軸旋轉一周得一旋轉體，求該旋轉體的體積Vx。我們用元素法來建立旋轉體體積的二重積分公式。D第三頁3第四頁，共31頁。D在區域D的(x,y)處取一個面積元素它到x軸的距離是y（如圖）。該面積元素繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積約為：（體積元素）于是整個區域繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為：第四頁4第五頁，共31頁。D命題1：上半平面內一個有界閉區域D繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為：第五頁5第六頁，共31頁。D命題2：右半平面內一個有界閉區域D繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積為：同理第六頁6第七頁，共31頁。下面針對不同的區域

將二重積分化為定積分

得到熟悉的旋轉體體積公式第七頁7第八頁，共31頁。x型區域繞x軸旋轉第八頁8第九頁，共31頁。y=f(x)如果圓片法則D繞x軸旋轉的旋轉體體積為：第九頁9第十頁，共31頁。y=f(x)y=g(x)如果則D繞x軸旋轉的旋轉體體積為墊圈法第十頁10第十一頁，共31頁。y型區域繞y軸旋轉第十一頁11第十二頁，共31頁。x=f(y)如果則D繞y軸旋轉的旋轉體體積為：圓片法第十二頁12第十三頁，共31頁。x=f(y)x=g(y)如果則D繞y軸旋轉的旋轉體體積為：墊圈法第十三頁13第十四頁，共31頁。x型區域繞y軸旋轉！注意：一般教材沒有介紹這個公式。第十四頁14第十五頁，共31頁。y=f(x)y=g(x)如果則D繞y軸旋轉的旋轉體體積為：柱殼法第十五頁15第十六頁，共31頁。下面看一個極坐標的情形第十六頁16第十七頁，共31頁。如果D是曲邊扇形：則D繞極軸(x軸)旋轉的旋轉體體積為：第十七頁17第十八頁，共31頁。我們用命題1來推導一個有關區域D的形心

(質心)和旋轉體體積之間的關系的定理：古爾丁定理PaulGuldin（古爾?。?577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

第十八頁18第十九頁，共31頁。D上半平面內一個有界閉區域D繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積等于該區域的形心所經過的路程與D的面積A的乘積。古爾丁定理形心A第十九頁19第二十頁，共31頁。D形心A如果你很容易求得D的面積和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉體的體積。第二十頁20第二十一頁，共31頁。下面來看一般的情形一般的區域&一般的旋轉軸第二十一頁21第二十二頁，共31頁。設D是xOy坐標平面內的一個有界閉區域。直線L與D的內點不相交（如圖）。

將D繞直線L旋轉一周得一旋轉體，求該旋轉體的體積V。

我們用元素法來建立旋轉體體積的二重積分公式。DL第二十二頁22第二十三頁，共31頁。D在區域D的(x,y)處取一個面積元素它到直線L的距離是：該面積元素繞L旋轉而成的旋轉體的體積約為：于是整個區域D繞直線L旋轉而成的旋轉體的體積為：設直線L的方程為ax+by+c=0。L第二十三頁23第二十四頁，共31頁。D命題3區域D繞直線ax+by+c=0（D在直線的一側）旋轉而成的旋轉體的體積為：L第二十四頁24第二十五頁，共31頁。下面舉幾個例子來說明

命題3中的公式的應用所有計算都用數學軟件Maple驗證了第二十五頁25第二十六頁，共31頁。例1求由y=2x和y=x2所圍區域D繞直線

y=2x旋轉的旋轉體體積V。f:=(x,y)->2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x->x^2:y2:=x->2*x:int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);(2*Pi/sqrt(5))*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=(2*Pi/sqrt(5))*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第二十六頁26第二十七頁，共31頁。例2求由x=y2和y=x2所圍區域D繞直線

y=x-1旋轉的旋轉體體積V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2:=x->sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第二十七頁27第二十八頁，共31頁。例3求由y=0,y=lnx和x=e所圍區域D繞直線

y=-x旋轉的旋轉體體積V。f:=(x,y)->y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x->x^2:y2:=x->sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);with(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);第二十八頁28第二十九頁，共31頁。也可以按先x后y的積分次序計算二重積分：f:=(x,y)->x+y;y1:=0:y2