n項和公式5題型分類一、等比數列的前n項和公式若等比數列{}的首項為，公比為q，則等比數列{}的前n項和公式為

=.二、等比數列前n項和公式與指數函數的關系(1)當q=1時，=是關于n的正比例函數，點(n,)是直線y=x上的一群孤立的點.(2)當q≠1時，=.記A=，則=+Aq>0且q≠1時，y=是指數函數，此時，點(n,)是指數型函數y=+A圖象上的一群孤立的點.三、等比數列前n項和的性質已知等比數列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.（一）等比數列基本量的求解1．等比數列的通項公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.2．等比數列的前n項和公式：Sn=a113.等比數列基本量的運算:在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，做到“知三求二”．題型1：等比數列前n項和基本量的求解11．（2023·全國·高二專題練習）在等比數列{an}中.（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.【答案】（1）；（2）；（3）2或【分析】（1）解方程組求出即得解；（2）解方程組求出即得解；（3）根據已知求出或即得解.【詳解】（1）由題意知解得或從而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.（2）由題意知解得從而S5＝＝.（3）因為a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩根.從而或又Sn＝＝126，所以q為2或.【點睛】方法點睛：在等比數列的五個量中，存在“知三求二”的解題規律,即知道了五個量中的三個量，其它兩個量可求.12．（2023上·四川成都·高二校考階段練習）已知遞增的等比數列中，，，則（

）A．25 B．31 C．37 D．41【答案】B【分析】根據已知條件求得等比數列的首項和公比，由此求得.【詳解】設等比數列的首項為，公比為，則①，②，由①②得，解得或，即（不滿足單調遞增，舍去）或，所以.故選：B13．（2023·浙江·）設為等比數列的前項和，，則A．11 B．5 C． D．【答案】D【詳解】試題分析：設公比為，由，得，解得，所以．故選D．考點：等比數列的前項和.14．（2023上·四川·高三樹德中學校考階段練習）設正項等比數列的前n項和為，若，則公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】A【分析】根據等比數列基本量的計算即可求解公比.【詳解】由，有，即．由等比數列的通項公式得，即，解得或，由數列為正項等比數列，∴．故選：A15．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）記正項等比數列的前n項和為，若，則該數列的公比（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據給定條件，結合等比數列的意義列出關于的方程，求解作答.【詳解】正項等比數列中，，由得，整理得，即，解得，所以數列的公比.故選：C16．（2023上·河南安陽·高三統考開學考試）已知等比數列的前n項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由數列的前n項和表達式求出數列的前幾項，結合等比數列性質求出數列的首項與公比，由此確定其通項.【詳解】因為數列的前n項和，所以，，，又數列為等比數列，所以數列的公比，所以，所以，，所以，故，故選：B.17．（2023下·高二課時練習）在等比數列中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為數列是等比數列，且已知前項和，所以可求通項，進而可求，仍然是等比數列，再利用求前項和公式解出結果.【詳解】解：因為數列是等比數列，且，解得，，所以是以為首項，為公比的等比數列，則，那么，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以根據前項和公式得.故選：.18．（2023下·高二課時練習）已知是等比數列，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求等比數列的公比，數列也為等比數列，利用公式求前項和.【詳解】，，設等比數列公比為，由，得，所以，，設，，，數列是首項為，公比為的等比數列，所以．故選：C19．（2023上·河南安陽·高二林州一中階段練習）設數列的前項和為，點均在直線上．若，則數列的前項和.【答案】【分析】依題意得，利用求出，得，根據等比數列求和公式可得結果.【詳解】因為點在直線上，所以，即，當時，，當時，；經檢驗滿足，所以，則，由，可知為公比為9等比數列，且，故，故答案為：.110．（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考階段練習）中國古代數學著作《算法統綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔仔細算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】D【分析】由題意可知該人每天走的路程構成了公比為的等比數列,由題意求出首項，可得其通項公式，即可求出，判斷A,B;求出可判斷C,D.【詳解】由題意可知該人每天走的路程構成了公比為的等比數列，設數列前n項和為，則，故，解得，則，故，該人第五天走的路程為12里，A錯誤；，該人第三天走的路程為48里，B錯誤；，該人前三天共走的路程為里，C錯誤；由（里），可知該人最后三天共走的路程為42里，D正確，故選：D111．（2023·湖南·統考二模）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過程中傳染的概率決定，假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天，那么感染人數由1（初始感染者）增加到999大約需要的天數為（

）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……參考數據：）A．42 B．56 C．63 D．70【答案】C【分析】設第n輪感染的人數為，則數列是，公比的等比數列，利用等比數列求和公式，結合，即可得到答案；【詳解】設第n輪感染的人數為，則數列是，公比的等比數列，由，可得，解得，兩邊取對數得，則，所以，故需要的天數約為.故選：C（二）等比數列前n項和的性質等比數列前n項和的性質已知等比數列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.題型2：等比數列片段和性質及應用21．（2023下·寧夏石嘴山·高一平羅中學校考期中）等比數列的前n項和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據為等比數列可求的值.【詳解】因為且為等比數列，故為等比數列，故，解得，故選：B.22．（2023·高二課時練習）已知各項為正的等比數列的前5項和為3，前15項和為39，則該數列的前10項和為（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【分析】利用等比數列的性質可得，代入數據即可得到答案【詳解】解：由等比數列的性質可得也為等比數列，又，故可得即，解得或，因為等比數列各項為正，所以，故選：C23．（2023上·寧夏銀川·高二銀川九中階段練習）設等比數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比數列前項和的性質，，，，成等比數列求解.【詳解】解：因為數列為等比數列，則，，成等比數列，設，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.24．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知等比數列的前n項和為，公比為，且，則（

）A．36 B．39 C．40 D．44【答案】B【分析】利用等比數列的性質可得，進而即得.【詳解】由題可得，由，得，解得，所以，所以.故選：B．25．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是等比數列，為其前n項和，若，，則（

）A．40 B．60 C．32 D．50【答案】B【分析】運用等比數列的性質，成等比數列.【詳解】由等比數列的性質可知，數列是等比數列，即數列4，8，是等比數列，因此．故選:B.26．（2023上·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考開學考試）已知等比數列的前項和為，，，則A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比數列的前項和性質可知：成等比數列，再根據計算出結果.【詳解】因為成等比數列，所以代入數值所以，則.【點睛】（1）形如的式子，可表示為；（2）等比數列中前項和為，則有成等比數列，其中公比或時且不為偶數.27．（2023上·貴州銅仁·高二貴州省思南中學校考階段練習）設正項等比數列的前項和為，，則公比等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件可得，即可求出.【詳解】因為，所以所以，即因為，所以故選：A【點睛】本題考查的是等比數列的知識，考查了學生的轉化能力，較簡單.題型3：等比數列奇、偶項和的性質及其應用31．（2023·全國·高二學業考試）已知一個項數為偶數的等比數列，所有項之和為所有偶數項之和的倍，前項之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比數列的公比，結合等比中項的性質求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項之和是所有偶數項之和的倍，所以，，故設等比數列的公比為，設該等比數列共有項，則，所以，，因為，可得，因此，.故選：C.32．（2023上·河南·高二校聯考階段練習）已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【解析】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為則，，則可求出,值，從而得出答案.【詳解】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為則，又，則，解得，故數列的所有項之和是.故選：D33．（2023上·全國·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和，則數列的前10項中所有奇數項之和與所有偶數項之和的比為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由和等比數列的前n項和可得答案.【詳解】當時，，又，即前10項分別為，所以數列的前10項中，，所以，故選：C．34．（2023上·陜西寶雞·高三統考階段練習）已知等比數列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】本題首先可設公比為，然后根據得出，再然后根據求出，最后根據等比數列前項和公式即可得出結果.【詳解】設等比數列的公比為，則，即，因為，所以，則，即，解得，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據等比數列前項和求參數，能否根據等比數列項與項之間的關系求出公比是解決本題的關鍵，考查計算能力，是中檔題.題型4：等比數列前n項和的其他性質41．（2023·上海奉賢·統考一模）已知等比數列的公比q，前n項的和，對任意的，恒成立，則公比q的取值范圍是．【答案】【分析】分公比的范圍與前n項的和的公式分析討論即可.【詳解】時,有,∵,∴,則恒成立,①當時,恒成立,即恒成立,由,知成立；②當時,只要,就一定成立；③當時,需恒成立,當時,恒成立,當時,也恒成立,當時,當n為偶數時,不成立,當時,也不可能恒成立,所以q的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等比數列前n項的和的性質,需要根據題意討論公比的范圍再分析的性質.屬于中等題型.42．（2023·上海·統考模擬預測）已知為等比數列，的前n項和為，前n項積為，則下列選項中正確的是（

）A．若，則數列單調遞增B．若，則數列單調遞增C．若數列單調遞增，則D．若數列單調遞增，則【答案】D【分析】根據等比數列的前n項和公式與通項公式可得與，進而可得、取值同號，即可判斷A、B；舉例首項和公比的值即可判斷C；根據數列的單調性可得，進而得到，求出，即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，則、取值同號，若，則不是遞增數列，故A錯誤；B：由，得，即，則、取值同號，若，則數列不是遞增數列，故B錯誤；C：若等比數列，公比，則，所以數列為遞增數列，但，故C錯誤；D：由數列為遞增數列，得，所以，即，所以，故D正確.故選：D43．（2023上·河南·高二校聯考階段練習）已知等比數列的前項和，則函數的最小值．【答案】16【分析】根據等比數列前項和公式，化簡題目所給后求得的值.然后化簡題目所給函數解析式，最后利用基本不等式來求得最小值.【詳解】因為，而題中，易知，故；所以，即，等號成立條件為，所以最小值為16.【點睛】本小題主要考查等比數列前項和公式的函數特點，考查利用基本不等式求式子的最小值問題.屬于中檔題.44．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數列中的最大項【答案】A【分析】根據并結合，得到，，進而結合等比數列的性質求得答案.【詳解】因為，所以或，而為等比數列，，于是，，則A錯誤；，則B正確；，則C正確；因為，所以是數列中的最大項，則D正確.故選：A.45．（2023上·河南鄭州·高二鄭州外國語學校校考期中）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為【答案】B【分析】根據，，分，，討論確定q的范圍，然后再逐項判斷.【詳解】若，因為，所以，則與矛盾，若，因為，所以，則，與矛盾，所以，故B正確；因為，則，所以，故A錯誤；因為，，所以單調遞增，故C錯誤；因為時，，時，，所以的最大值為，故D錯誤；故選：B.46．（2023·四川成都·校聯考三模）已知等比數列的前項和滿足，數列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設，，則的最小值為；④設，若數列單調遞增，則實數的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．【答案】②④【分析】由等比數列前項和公式特點確定，進而明確與的通項，結合數列的單調性判斷各個命題.【詳解】由為等比數列，其前項和，則，故①不正確；由，可得，則，若對恒成立，即對恒成立，令，則當時，；當時，，當時，，則，則，故②正確；由，，令，則當，時，，當，時則，故③不正確；，由單調遞增，則，則，故④正確．故答案為：②④【點睛】關鍵點點睛：（1）等比數列的前項和；（2）證明數列的單調性一般采用作差（或作商）的方式；（3）數列作為特殊函數，特殊在定義域上，定義域不連續.（三）等差數列與等比數列的綜合應用1．等差數列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d.等差數列的前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).2.等比數列的通項公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.等比數列的前n項和公式：Sn=a113.根據具體條件，借助等差、等比數列的通項公式、性質、求和公式等進行轉化求解即可.題型5：等差數列與等比數列的綜合應用51．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校校考階段練習）在正項等比數列中，，是，的等差中項，則.【答案】54【分析】由題可得，進而可得數列的公比，即可求．【詳解】設數列的公比為q，則，由是，的等差中項，則，∴，解得，或舍去，∴．故答案為：54．52．（2023下·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）已知數列為等比數列，若，且與的等差中項為，則的值為．【答案】【分析】設公比為,首項為，列出方程求得，即可求得答案.【詳解】由題意數列為等比數列，設公比為,首項為,故，即,解得，則，故，故答案為：53．（2023·江蘇·校聯考模擬預測）若數列是等比數列，且是與的等差中項，則．【答案】2【分析】由數列是等比數列，及是與的等差中項，得出的值，再由即可得出答案．【詳解】因為是與的等差中項，數列是等比數列，所以，即，解得，所以，故答案為：．54．（2023上·河南·高三統考階段練習）已知等比數列的前項和為．若為和的等差中項，，則．【答案】11【分析】利用性質轉化為基本量運算，求出，再利用前項和公式可求.【詳解】設等比數列的公比為，為和的等差中項，，即，化簡得，則，又，即，代入，解得，故，故答案為：.55．（2023·四川巴中·統考一模）已知等比數列的公比為，前項和為，則下列命題中錯誤的是（

）A．B．C．，，成等比數列D．“”是“，，成等差數列”的充要條件【答案】C【分析】根據和等比數列的概念，即可判斷選項A是否正確；根據和等比數列的概念，即可判斷選項B是否正確；當時，，即可判斷選項C是否正確；若，，成等差數列，可得，即，由此根據等比數列的概念，即可判斷選項D是否正確.【詳解】對于選項A，因為，又等比數列的公比為，所以所以，即，故A正確；因為，所以，故B正確；當時，，顯然此時，，不能成等比數列，故C錯誤；若，，成等差數列，則，所以，即，所以，所以“”是“，，成等差數列”的充要條件，故D正確.56．（2023下·廣西·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和為，其中，，，成等差數列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用數列通項與前n項和的關系求解.【詳解】由已知，，則，∴，∴，∴是等比數列．又∵，∴，∴，∴．故選：B一、單選題1．（2023·安徽·統考模擬預測）已知項數為奇數的等比數列的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【分析】根據題意，設，由等比數列的前項和公式可得的值，進而求得結論．【詳解】根據題意，數列為等比數列，設，又由數列的奇數項之和為21，偶數項之和為10，則，故；故選：【點評】本題考查等比數列的求和，關鍵是求出等比數列的公比，屬于基礎題．2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）已知正項等比數列前項和為，且，，則等比數列的公比為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】先根據與的關系得到，設出公比，列出方程組，求出公比.【詳解】因為，所以設公比為q，可得：，兩式相除得：故選：A3．（2023·高二課時練習）在數列中，（為非零常數），且其前n項和，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得是以為公比的等比數列，再根據求出的通項公式，即可得到方程組，解得即可.【詳解】解：若，則，又，顯然不滿足條件，所以，又（為非零常數），所以，即是以為公比的等比數列，當時，即，當時，所以又，所以，解得．故選：D4．（2023下·黑龍江綏化·高二綏化市第九中學校考期末）已知數列的前n項和為，q為常數，則“數列是等比數列”為“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用等比數列的性質由“數列是等比數列”可以得到“”；利用數列通項與前n項和的關系由“”可以得到當時，“數列是等比數列”，故“數列是等比數列”為“”的充分不必要條件【詳解】由，可得兩式相減得，，即從第3項起，每一項是前一項的q倍.又由，可得則數列從第2項起，每一項是前一項的q倍.綜上，當時，數列是等比數列.由數列是等比數列，可得則，即成立.則“數列是等比數列”為“”的充分不必要條件故選：A5．（2023上·山西大同·高三統考階段練習）等比數列的前n項和，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】求出數列的通項公式，根據通項公式確定參數的值.【詳解】，當時，，因為是等比數列，所以，得，所以A正確.故選：A.6．（2023上·山東·高三統考階段練習）已知數列滿足，若數列前5項的和為31，則的值為（

）A．8 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】對進行賦值即可得到，利用遞推式結合等比數列求和公式得出的值.【詳解】令，則，解得.故選：B.7．（2023·貴州·統考模擬預測）在數列中，，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題知當為奇數時，；當為偶數時，，前n項和為滿足，，進而分為奇數和為偶數討論求解即可.【詳解】解：由題意得，，，即，所以當為奇數時，；當為偶數時，；設的前n項和為，則，.若為奇數，則為3的倍數，不是的倍數，不合題意；當為偶數，則，即，所以.故選：B8．（2023·江蘇南通·沭陽如東中學校聯考模擬預測）著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區間[0，1]均分為三段，去掉中間的區間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區間長度之和不小于，則需要操作的次數n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據題意抽象概括出去掉的各區間長度為通項公式為的數列，結合題意和等比數列前n項求和法列出不等式，利用對數的運算性質解不等式即可.【詳解】第一次操作去掉，設為；第二次操作去掉，設為；第三次操作去掉，設為，依次類推，.故，整理，得，，，故n的最小值為7.故選：B.9．（2023上·江蘇無錫·高二江蘇省梅村高級中學校考階段練習）我國明代著名樂律學家?明宗室王子朱載堉在《律學新說》中提出的十二平均律，即是現代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個c鍵到下一個鍵的8個白鍵與5個黑鍵(如圖)的音頻恰成一個公比為的等比數列的原理，也即高音的頻率正好是中音c的頻率為440Hz，那么頻率為的音名是（

）A．d B．f C．e D．#d【答案】D【解析】設頻率為的音名為等比數列的首項，標準音為第項，由等比數列的性質可得，即可得解.【詳解】由題意可得從左到右的音頻恰成一個公比為的等比數列，設頻率為的音名為等比數列的首項，標準音為第項，則，解得，從標準音開始，往左數7個的音名是#d.故答案為：D.【點睛】本題考查了等比數列的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.10．（2023上·天津河北·高三天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）已知是首項為1的等比數列，是的前項和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或5【答案】B【分析】數列為等比數列，通過等比數列的前項和公式化簡，從而得到公比的值，從而求出的值.【詳解】因為是首項為1的等比數列，是的前項和，且當時，，計算得所以當時，，，所以綜上：故選：B11．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列中，前n項和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等比數列的性質、等比中項的性質進行求解.【詳解】因為，且也成等比數列，因為，，所以，所以8，1，S9S6成等比數列，所以8(S9S6)=1，即，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.12．（2023上·四川南充·高二閬中中學校考開學考試）設為等比數列的前項和，且則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由為等比數列的前項和，根據等比數列前項和的性質有，，，成等比數列，從而即可求解.【詳解】解：因為為等比數列的前項和，所以，，，成等比數列，因為，，所以公比，所以，，所以，所以，故選：A.13．（2023上·河北廊坊·高三校考階段練習）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第三天走了（

）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里【答案】C【分析】根據題意確定每天走的步數構成等比數列，根據數列的前7項和求解數列的首項，進而確定數列的第3項，即可得到此人第三天走的路程.【詳解】由題意得此人每天走的步數構成公比為的等比數列，且該數列的前7項和為378，設該等比數列為，則有，解得，則，即第三天走了48里.故選：C.14．（2023·河北·校聯考一模）設正項等比數列的前項和為，若，，則公比（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】設公比為，則由已知可得，從而可求出公比.【詳解】設公比為，因為，，所以，所以，即兩個方程左右兩邊分別相除，得，因為數列是正項等比數列，所以，故選：D.15．（2023下·遼寧·高二校聯考期中）等比數列的前n項和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根據等比數列片段和性質得到方程，求出，再檢驗即可；【詳解】解：因為等比數列的前n項和為，所以，，成等比數列，因為，，所以，解得或，因為，所以，則．故選：A16．（2023下·安徽滁州·高二校聯考期中）若等比數列的前n項和為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知條件，利用等比數列片段和的性質直接寫出.【詳解】，，由等比數列片段和的性質：，，，，…成等比數列，所以，則．故選：D17．（2023下·山東·高二校聯考階段練習）為等比數列的前項和，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用等比數列前n項和性質，成等比數列，可求得關于x的方程.【詳解】因為，所以成等比數列，所以，即，整理得.故選：C.18．（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）設等比數列的前項和為，若，則的值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根據題意，由等比數列的性質可知成等比數列，從而可得，即可求出的結果.【詳解】解：已知等比數列的前項和為，，由等比數列的性質得：成等比數列，且公比不為1即成等比數列，，，.故選：B.19．（2023·高二課時練習）一個等比數列共有項，若前項之和為15，后項之和為60，則這個等比數列的所有項的和為（）A．63 B．72 C．75 D．87【答案】A【分析】根據等比數列前n項和的等片段和性質可求解.【詳解】由題意知，，又，解得，所以.故選：A.20．（2023上·安徽池州·高三統考期末）已知等比數列的公比，前項和為，則其偶數項為（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【分析】利用前100項中奇數項和與偶數項和的關系.【詳解】設，則，又因為，所以，所以.故選:D【點睛】若等比數列有偶數項，則,用整體的思想處理問題，方便簡捷.21．（2023下·浙江·高一校聯考期中）已知一個等比數列首項為，項數是偶數，其奇數項之和為，偶數項之和為，則這個數列的項數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設這個等比數列共有項，公比為，利用偶數項之和與奇數項之和的比值求得的值，再利用等比數列的求和公式可求得的值，由此可得出該數列的項數.【詳解】設這個等比數列共有項，公比為，則奇數項之和為，偶數項之和為，，等比數列的所有項之和為，則，解得，因此，這個等比數列的項數為.故選：C.【點睛】本題考查等比數列的求和公式求項數，同時也涉及了等比數列奇數項和偶數項之和的性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.22．（2023下·浙江·高一校聯考期中）等比數列中，，，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，求出首項和公比，進一步求出，最后求新等比數列的前1010項和即可.【詳解】解：設等比數列的公比為q，∵，，∴，解得，.∴，，，故選：A.【點睛】從等比數列中抽取某些特定的項組成新的等比數列然后求和，考查求等比數列的通項公式的方法以及求和的方法，同時考查運算求解能力；基礎題.23．（2023上·陜西商洛·高三統考期末）已知等比數列的前n項和為，若，，則（）A．9 B．10 C．12 D．17【答案】B【解析】利用已知條件求得，由此求得所求表達式的值.【詳解】設等比數列的公比為q，因為.所以，則.故選：B24．（2023下·河南·高三校聯考階段練習）設數列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據通項與的關系可得遞推公式，再構造等比數列求的通項公式，進而代入求得得到即可【詳解】當時，，解得.當時，，所，即，所以，即，所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，則，從而，故.故選：C二、多選題25．（2023·河北·校聯考模擬預測）數學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類．螺旋線這個名詞源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”．小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形中，作它的內接正方形，且使得；再作正方形的內接正方形，且使得；與之類似，依次進行，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示．設第個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，…），第個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，…），則（

）A．數列是公比為的等比數列 B．C．數列是公比為的等比數列 D．數列的前項和【答案】BD【分析】根據題意有，即可判斷數列為等比數列，進一步求出可判斷.【詳解】由圖可知，所以，所以數列是首項為1，公比為的等比數列，故A錯誤；則，由題可得，所以，故B正確；因為，所以數列是公比為的等比數列，故C錯誤；，故D正確.故選：BD.26．（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學校聯考階段練習）已知為等比數列，是其前與的等差中項為20，則（

）A． B．公比C． D．【答案】ACD【分析】根據等比數列基本量的計算即可求解公比和首項，進而由求和公式以及通項公式即可求解.【詳解】由得，又與的等差中項為20，則，所以公比為，故，故，故ACD正確，B錯誤，故選:ACD27．（2023上·福建寧德·高二統考期中）已知等比數列前項和為，且，是與的等差中項，數列滿足，數列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A．數列的通項公式為 B．C．數列是等比數列 D．【答案】ABD【分析】對于AD，利用等比數列的基本量法求得公比和，從而求得，由此得以判斷；對于C，利用等比數列的定義判斷即可；對于D，利用分組求和法求得，再利用作差法即可判斷．【詳解】由于等比數列前項和為，且，所以，整理得，所以數列的公比；由于是與的等差中項，故，整理得，解得.故，故A正確；所以，故B正確；由于數列滿足，所以當時，不為常數，所以數列不是等比數列，故C錯誤；，又，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：本題選項D的解決關鍵是利用分組求和法求得，再利用作差法，結合二次函數的性質證得，計算量大，需要多加練習熟悉.28．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學校考期末）已知等比數列的前n項和為，且，是與的等差中項，數列滿足，數列的前n項和為，則下列命題正確的是（

）A．數列的通項公式B．C．數列的通項公式為D．的取值范圍是【答案】AD【分析】根據已知條件求得、的值，代入等比數列通項公式及等比數列求和公式計算，再運用裂項相消法求和可求得的前n項和.【詳解】設等比數列的公比為q，則，所以，故A項正確；所以，故B項錯誤；所以，故C項錯誤；因為，所以，又因為為單調遞增，所以，所以取值范圍為.故D項正確.故選：AD.29．（2023上·山東青島·高二統考期中）已知數列是公比的正項等比數列，是與的等比中項，是與等差中項，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先利用等差，等比中項的定義，判斷AB；再利用基本不等式判斷CD.【詳解】由等比中項的定義可知，，等差中項的定義可知，，故A錯誤，B正確；若是負數，則，若是正數，則，，因為數列是公比的正項等比數列，所以，根據基本不等式可知，故C正確；D錯誤.故選：BC30．（2023上·江蘇蘇州·高二統考期中）對于數列，設其前項和，則下列命題正確的是（

）A．若數列為等比數列，成等差，則也成等差B．若數列為等比數列，則C．若數列為等差數列，且，則使得的最小的值為13D．若數列為等差數列，且，則中任意三項均不能構成等比數列【答案】AD【分析】根據等比數列的通項與前項和公式判斷A，B的正誤；根據等差數列的通項與前項和公式判斷C，D的正誤即可.【詳解】解：對于A，若數列為等比數列，成等差，則，若公比，則，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正確；對于B，若數列為等比數列，若公比時，；若公比時，則，所以，故B不正確；對于C，若數列為等差數列，公差為，由，得，即，則，所以，得，又，則，故C不正確；對于D，若數列為等差數列，且，則公差，所以，假設等差數列中的三項構成等比數列，，且互不相等，則，所以，所以，因為，則，其中，則，得，這與互不相等矛盾，故假設不成立，則中任意三項均不能構成等比數列，故D正確.故選：AD.三、填空題31．（2023·廣東·高考真題）設數列是首項為，公比為的等比數列，則.【答案】【詳解】試題分析：因為數列是首項為，公比為的等比數列，所以，.考點：等比數列通項公式.【方法點晴】本題主要考查了等比數列的定義和通項公式的應用，屬于基礎題，解答時先根據給出的首項和公比求出的通項公式.求數列各項絕對值的和解答的關鍵是判斷出各項的符號，本題中公比為，顯然，顯然第一項、第三項為正數，第二項、第四項項為負數，求和時就都變成了正數，求和就容易了.32．（2023上·江蘇宿遷·高二統考期中）等比數列的前項和，則．【答案】【詳解】數列的首項是1，公比2，所以數列的首項是1，公比是4，所以數列的前項和是.33．（2023下·高二課時練習）在等比數列中，若，則.【答案】28【分析】由等比數列性質：也成等比數列可解此題.【詳解】由數列是等比數列，且易知公比，所以也構成等比數列，即構成等比數列，從而可得，解得或，又，所以.故答案為：2834．（2023下·高二課時練習）若等比數列的公比為，且，則的前100項和為．【答案】80【分析】由等比數列前n項和性質求解即可.【詳解】令，，

則，由等比數列前n項和性質知：，所以，即S100＝X＋Y＝80.故答案為：80.35．（2023下·高二課時練習）公差不為0的等差數列的部分項構成等比數列，且，，，則.【答案】22【分析】根據等比中項可得，進而可得，結合等差數列運算求解.【詳解】設等差數列{an}的公差為d，因為成等比數列，所以，且，即，所以，可得，即，所以等比數列的公比，所以，又因為，且，所以，所以.故答案為：22.36．（2023·江蘇·高三專題練習）作邊長為的正三角形的內切圓，在這個圓內作內接正三角形，然后，再作新三角形的內切圓．如此下去，則前個內切圓的面積和是．【答案】【分析】根據題意得到每個正三角形邊長之間的關系與每個內切圓半徑之間的關系，再求出第一個圓的半徑，從而得到一組等比數列，最后利用等比數列前項和公式即可得解.【詳解】依題意，設第個正三角形的內切圓的半徑為，易得從第二個正三角形開始每一個正三角形的邊長是前一個的，每一個正三角形的內切圓半徑也是前一個正三角形內切圓半徑的，因為，，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，故，設前個內切圓的面積和為，則.故答案為：.37．（2023·全國·校聯考一模）設等比數列的前n項和為，若，且，則.【答案】【分析】由可得，根據前n項和公式即可求解.【詳解】因為是等比數列，所以有，所以，所以，因為，所以，即，即：，解得：.故答案為：.38．（2023·高二課時練習）在等比數列中，若，且公比，則數列的前100項和為．【答案】450【分析】利用等比數列的前100項中的所有偶數項和與所有奇數項和的關系即可計算得解.【詳解】在等比數列中，公比，則有，而，于是得，所以數列的前100項和．故答案為：45039．（2023·高二課時練習）已知等比數列的前n項和為，若，，則．【答案】【分析】設等比數列的公比為，顯然，再根據等比數列求和公式求出，最后根據前項和公式計算可得.【詳解】解：設等比數列的公比為，因為，，所以，則，，所以，解得，所以；故答案為：40．（2023上·遼寧沈陽·高三校考階段練習）已知數列的前項和，則數列的前項和.【答案】.【分析】利用和求，進而得到的通項公式，再利用等比數列前項和公式計算即可.【詳解】由得當時，所以，又因為，所以，，即是以1為首項，為公比的等比數列，所以，故答案為：.41．（2023下·安徽滁州·高二校聯考階段練習）《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半……”，則前6天兩只老鼠一共穿城墻尺．【答案】【分析】小老鼠和大老鼠每天打洞的距離為等比數列，分別求等比數列前6項和即可得結果.【詳解】由題意可知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數列，前6天打洞之和為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數列，前6天打洞之和為．所以兩只老鼠前6天打洞穿墻的厚度之和為．故答案為：.42．（2023上·浙江溫州·高二統考期末）如圖，一個小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經過的路程為，則小球落地的次數為．【答案】4【分析】設小球從第（n1）次落地到第n次落地時經過的路程為m，則由已知可得數列是從第2項開始以首項為，公比為的等比數列，根據等比數列的通項公式求得，再設設小球第n次落地時，經過的路程為，由等比數列的求和公式建立方程求解即可.【詳解】解：設小球從第（n1）次落地到第n次落地時經過的路程為m，則當時，得出遞推關系，所以數列是從第2項開始以首項為，公比為的等比數列，所以，且，設小球第n次落地時，經過的路程為，所以，所以，解得，故答案為：4.四、解答題43．（2023下·高二課時練習）在等比數列中，公比為q，前n項和為.(1)，，求n；(2)，求及.【答案】(1)6(2)，【分析】（1）由等比數列前n項和公式與通項公式可解；（2）等比數列前n項和公式列方程組，解方程組可解.【詳解】（1）顯然，由，即，解得，又，即，所以.（2）由知，由題意得

，兩式相除得，得，，所以，.44．（2023下·高二課時練習）在等比數列中．(1)若，，，求和；(2)已知，，求.【答案】(1)，.(2)或【分析】（1）（2）由等比數列通項公式和前項和公式列方程組求解即可.【詳解】（1）由得，解得，又由得，解得.所以，.（2）顯然，則，，