.3函數(shù)的奇偶性及函數(shù)性質(zhì)綜合【題型解讀】【題型一函數(shù)奇偶性的判斷】1.（2022·河北·武安市第一中學(xué)高一期末）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)．【解析】（1）有意義，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，.所以函數(shù)為奇函數(shù)；（3）由題意可得，所以且，所以函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)；2.（2022·廣東中山市月考）（多選）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在為增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，，偶函數(shù)，且在為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于，，不是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，，是偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于，，是偶函數(shù)，且在為增函數(shù)，符合題意；故選：．3.（2022·山東·濟(jì)南一中期中）判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)奇函數(shù).(3)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(4)偶函數(shù).【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧且},定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)的定義域是.當(dāng)時(shí),顯然,.,是奇函數(shù).(3)的定義域?yàn)镽.,,.不是偶函數(shù).又,不是奇函數(shù).既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(4)的定義域?yàn)镽.,是偶函數(shù).4．（2022·安徽宣城市·高一期末）已知函數(shù)，求（1）函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】(1)且；(2)奇函數(shù)【解析】（1）由題得得且x，所以函數(shù)的定義域?yàn)榍?（2）由（1）得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).,所以函數(shù)是奇函數(shù).5.（2022·廣西高一期末）（多選）下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)椋x域?yàn)椋遥院瘮?shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；由函數(shù)的圖像可知：函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B正確；而選項(xiàng)中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)，則，所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以函數(shù)在上也單調(diào)遞增，但是不滿(mǎn)足題意.故選：AB.【題型二利用函數(shù)奇偶性求值、參數(shù)】1.（2022·云南彌勒市一中高一月考）若函數(shù)為偶函數(shù)，則_______________.【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案為：22.（2022·浙江高一期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．－1 B．－2C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以．故當(dāng)時(shí)，，所以．故選：.3．（2022·湖北十堰高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),故,故恒成立.故.故,則.故答案為：4.（2022·河北石家莊期中）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù)，則______，______.【答案】20【解析】偶函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，解得，所以，滿(mǎn)足的對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以對(duì)稱(chēng)軸，解得.故答案為：2；05.（2022·廣西高一期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則_________．【答案】【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，故答案為：-26.（2022·山東濟(jì)南中學(xué)高一期末）若是偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋瑒t＝_____，＝_____【答案】0【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且定義域?yàn)椋裕獾茫遥?故.【題型三函數(shù)奇偶性求解析式】1.（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校月考）已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，有，又由為偶函數(shù)，則，即，故答案為：．2.（2022·湖北襄陽(yáng)五中高一月考）已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3.則f(x)在R上的表達(dá)式為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且定義域?yàn)椋十?dāng)時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，.故答案為：.3．（2022·北京大興·高一期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，時(shí)，，則在，上的表達(dá)式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闀r(shí)，，設(shè)，則，所以，又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，故選：A.4.（2022·河南開(kāi)封·高一期末）已知函數(shù)，，是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，______．【答案】.【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.故答案為：.5.（2022·上海高一期末）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)__________．【答案】【解析】設(shè)，則，由時(shí)，，所以，又函數(shù)為偶函數(shù)，即，所以.故答案為：6.（2022·南昌市新建區(qū)第一中學(xué)高一月考）若是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則當(dāng)時(shí)，_________.【答案】【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，則，故，時(shí)，，則.故答案為：.【題型四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】1.（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集為.故選：A.2.（2022·浙江省淳安縣汾口中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，，且在上是增函數(shù)，因?yàn)椋訟錯(cuò)誤；因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；因?yàn)椋訡錯(cuò)誤；因?yàn)椋訢正確.故選：D.3．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新一中高一期中）奇函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，大致圖象如下，由得或，解得，或，或，故選：A.4.（2022·安徽宣城·高一期中）設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】是偶函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，且，，.故選：B.5.（2022·福建高一期末）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函數(shù)，在上遞減，則在上遞減，∴在上是減函數(shù)，又由是奇函數(shù)，則不等式可化為，∴，．故選：B．【題型五抽象函數(shù)的性質(zhì)】1.（2022·陵川縣高級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校月考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)于任意，都有．（1）求；（2）判斷奇偶性并證明；（3）解不等式．【答案】（1）；（2）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）或．【解析】（1）任意，都有，可令，則，即；（2）為奇函數(shù)，證明如下：定義城為，可令，則，即，則為奇函數(shù)；（3），即為，由于任意，都有，則，即，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得或，則不等式的解集為或．2．（2022·廣東·金山中學(xué)高一期中）已知函數(shù)對(duì)任意，總有，且當(dāng)時(shí)，，.（1）先求的值，然后判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；（2）判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，并加以證明；（3）求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）；奇函數(shù)；證明見(jiàn)解析；（2）減函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】(1)由已知，令，得，所以.函數(shù)是奇函數(shù).證：令，得，所以，即，故是奇函數(shù)．(2)是上的減函數(shù)，證明如下:設(shè)，是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以，所以．所以是上的減函數(shù)．(3)由(2)可知是上的減函數(shù)，所以在上也是減函數(shù)，所以在上的最小值為,而所以函數(shù)在上的最小值為.3.（2022·浙江高一課時(shí)練習(xí)）定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值.（2）求證：.（3）求證：在上是增函數(shù).（