2024屆天津七中高三下學期適應性考試（三模）數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．設為自然對數的底數，函數，若，則()A． B． C． D．3．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數，黑點為陰數，若從陰數和陽數中各取一數，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．4．設全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}5．已知符號函數sgnxf（x）是定義在R上的減函數，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），則（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]6．若的展開式中的常數項為-12，則實數的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．37．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．8．已知Sn為等比數列{an}的前n項和，a5＝16，a3a4＝﹣32，則S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣859．盒子中有編號為1，2，3，4，5，6，7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率是（）A． B． C． D．10．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．11．已知在中，角的對邊分別為，若函數存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．12．復數的虛部是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足,且,則______.14．在一塊土地上種植某種農作物，連續5年的產量（單位：噸）分別為9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.則該農作物的年平均產量是______噸.15．中，角的對邊分別為，且成等差數列，若，，則的面積為__________．16．設雙曲線的左焦點為，過點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于，兩點若，則的離心率為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前n項和，是等差數列，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令.求數列的前n項和.18．（12分）設函數．（1）當時，解不等式；（2）設，且當時，不等式有解，求實數的取值范圍．19．（12分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系；曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1，曲線C2的參數方程為（θ為參數）.（Ⅰ）求曲線C1和C2的極坐標方程：（Ⅱ）設射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A，B兩點，求|AB|的值．20．（12分）如圖,設點為橢圓的右焦點，圓過且斜率為的直線交圓于兩點，交橢圓于點兩點，已知當時，（1）求橢圓的方程.（2）當時，求的面積.21．（12分）已知首項為2的數列滿足.（1）證明：數列是等差數列．（2）令，求數列的前項和.22．（10分）已知橢圓的左焦點坐標為，，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異于，的一點，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據為等腰三角形，可求出點P的坐標，又由的斜率為可得出關系，即可求出漸近線斜率得解.【題目詳解】如圖，因為為等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.2、D【解題分析】

利用與的關系，求得的值.【題目詳解】依題意，所以故選：D【題目點撥】本小題主要考查函數值的計算，屬于基礎題.3、A【解題分析】

陽數：，陰數：，然后分析陰數和陽數差的絕對值為5的情況數，最后計算相應概率.【題目詳解】因為陽數：，陰數：，所以從陰數和陽數中各取一數差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【題目點撥】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.4、C【解題分析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【題目詳解】由，解得或.因為或，所以.故選：C【題目點撥】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎題.5、A【解題分析】

根據符號函數的解析式，結合f（x）的單調性分析即可得解.【題目詳解】根據題意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的減函數，當x＞0時，x＜ax，則有f（x）＞f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此時sgn[g（x）]＝1，當x＝0時，x＝ax，則有f（x）＝f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此時sgn[g（x）]＝0，當x＜0時，x＞ax，則有f（x）＜f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此時sgn[g（x）]＝﹣1，綜合有：sgn[g（x）]＝sgn（x）；故選：A．【題目點撥】此題考查函數新定義問題，涉及函數單調性辨析，關鍵在于讀懂定義，根據自變量的取值范圍分類討論.6、C【解題分析】

先研究的展開式的通項，再分中，取和兩種情況求解.【題目詳解】因為的展開式的通項為，所以的展開式中的常數項為：，解得，故選：C.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.7、C【解題分析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【題目詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【題目點撥】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.8、D【解題分析】

由等比數列的性質求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通過解該方程求得它們的值，求首項和公比，根據等比數列的前n項和公式解答即可.【題目詳解】設等比數列{an}的公比為q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，則，則，故選：D.【題目點撥】本題主要考查等比數列的前n項和，根據等比數列建立條件關系求出公比是解決本題的關鍵，屬于基礎題.9、B【解題分析】

由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【題目詳解】由題意，取的3個球的編號的中位數恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個球的編號的中位數恰好為5的概率為：故選：B【題目點撥】本題考查了排列組合在古典概型中的應用，考查了學生綜合分析，概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.10、A【解題分析】

利用平面向量平行的坐標條件得到參數x的值.【題目詳解】由題意得，，，，解得.故選A.【題目點撥】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標運算，屬于基礎題.11、C【解題分析】

求出導函數，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數性質可得結論．【題目詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【題目點撥】本題考查導數與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．12、C【解題分析】因為，所以的虛部是，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

數列滿足知，數列以3為公比的等比數列，再由已知結合等比數列的性質求得的值即可.【題目詳解】，數列是以3為公比的等比數列，又，，．故答案為：．【題目點撥】本題考查了等比數列定義，考查了對數的運算性質，考查了等比數列的通項公式，是中檔題．14、10【解題分析】

根據已知數據直接計算即得.【題目詳解】由題得，.故答案為：10【題目點撥】本題考查求平均數，是基礎題.15、.【解題分析】

由A，B，C成等差數列得出B＝60°，利用正弦定理得進而得代入三角形的面積公式即可得出．【題目詳解】∵A，B，C成等差數列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數列的性質，三角形的面積公式，考查正弦定理的應用，屬于基礎題．16、【解題分析】

設直線的方程為，與聯立得到A點坐標，由得，，代入可得，即得解.【題目詳解】由題意，直線的方程為，與聯立得，，由得，，從而，即，從而離心率．故答案為：【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（1）先由公式求出數列的通項公式；進而列方程組求數列的首項與公差，得數列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數列的前項和.試題解析：（1）由題意知當時，，當時，，所以．設數列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點1、待定系數法求等差數列的通項公式；2、利用“錯位相減法”求數列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數法求等差數列的通項公式、利用“錯位相減法”求數列的前項和，屬于難題.“錯位相減法”求數列的前項和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）通過分類討論去掉絕對值符號，進而解不等式組求得結果；（2）將不等式整理為，根據能成立思想可知，由此構造不等式求得結果.【題目詳解】（1）當時，可化為，由，解得；由，解得；由，解得．綜上所述：所以原不等式的解集為．（2），，，，有解，，即，又，，實數的取值范圍是．【題目點撥】本題考查絕對值不等式的求解、根據不等式有解求解參數范圍的問題；關鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分離變量的方式將問題轉化為所求參數與函數最值之間的比較問題.19、（Ⅰ），;（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）根據，可得曲線C1的極坐標方程，然后先計算曲線C2的普通方程，最后根據極坐標與直角坐標的轉化公式，可得結果.（Ⅱ）將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標方程聯立，可得A，B的極坐標，然后簡單計算，可得結果.【題目詳解】（Ⅰ）由所以曲線的極坐標方程為，曲線的普通方程為則曲線的極坐標方程為（Ⅱ）令，則，，則，即，所以，，故．【題目點撥】本題考查極坐標方程和參數方程與直角坐標方程的轉化，以及極坐標方程中的幾何意義，屬基礎題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）先求出圓心到直線的距離為，再根據得到，解之即得a的值，再根據c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出，，再求得的面積.【題目詳解】(1)因為直線過點，且斜率.所以直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，又因為，圓的半徑為，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得，橢圓的右準線方程為，離心率，則點到右準線的距離為，所以，即，把代入橢圓方程得，，因為直線的斜率，所以，因為直線經過和，所以直線的方程為，聯立方程組得，解得或，所以，所以的面積.【題目點撥】本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關系，考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.21、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【題目詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數列是首項為1,公差為1的等差數列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【題目點撥】本題考查了等差數列的證明,考查了等差數列及等比數列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.22、（1）（2）直線過定點【解題分析】