第01講方程與等式的性質課程標準學習目標①方程與方程的解得概念②一元一次方程的概念③等式的基本性質掌握方程的概念以及方程的解得概念，并能夠熟悉判定以及熟練應用。掌握一元一次方程的概念并能夠熟練判斷，能夠根據一元一次方程的概念解決相應的題目。掌握等式的基本性質，并對其熟練應用。知識點01方程的概念方程的概念：含有未知數的等式叫做方程。特別說明：兩個條件必須滿足：①是等式；②等式中含有未知數。題型考點：判斷方程。【即學即練1】1．在①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1﹣x＝x+1④x+2y＝3中方程有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①2x+3y﹣1，沒有“＝”，不是方程；②1+7＝15﹣8+1，沒有未知數，不是方程；③1﹣x＝x+1，是方程；④x+2y＝3，是方程．故選：B．【即學即練2】2．下列各式中，不是方程的是（）A．a＝0 B．2x+3 C．2x+1＝5 D．2（x+1）＝2x+2【解答】解：根據方程的定義可知，A、C、D都是方程，B不是方程，故選：B．知識點02方程的解方程的解的概念：使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。方程有可能不止一個解，也有可能無解。題型考點：①判斷某數是某方程的解。②根據解的定義求值。【即學即練1】3．下列方程的解是x＝2的方程是（）A．4x+8＝0 B．﹣x+＝0 C．x＝2 D．1﹣3x＝5【解答】解：把x＝2代入各方程驗證可得出x＝2是方程﹣x+＝0的解．故選：B．【即學即練2】4．若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，則m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【解答】解：把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0，解得：m＝8，故選：D．【即學即練3】5．已知x＝1是關于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，則3a3﹣2a2+a﹣4的值是（）A．1 B．﹣1 C．16 D．14【解答】解：∵x＝1是關于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，∴3﹣2+1﹣4+a＝0，解得，a＝2，∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．故選：D．知識點03一元一次方程一元一次方程的概念：只含有1個未知數且未知數的次數是1的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的一般形式：一元一次方程的一般形式為或。由一般形式可知，含未知數的項的系數不能等于0。在判斷方程是否為一元一次方程時，先化其形式，在進行判斷。題型考點：①根據定義判定一元一次方程。②根據一元一次方程的定義求值。【即學即練1】6．下列方程中是一元一次方程的是（）A． B．2xy＝5 C．x＝2x+3 D．【解答】解：A項中分母含有未知數，方程左邊不是整式，錯誤；B項中含有兩個未知數，錯誤；C選項正確；D項中含有兩個未知數，錯誤．故選：C．7．下列方程中，一元一次方程共有（）個①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x+1＝；④+＝0；⑤x2+3x+1＝0；⑥x﹣1＝12．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①4x﹣3＝5x﹣2，是一元一次方程，符合題意；②3x﹣4y，不符合一元一次方程的定義，不合題意；③3x+1＝，是分式方程，不合題意；④+＝0，是一元一次方程，符合題意；⑤x2+3x+1＝0，是一元二次方程，不合題意；⑥x﹣1＝12，是一元一次方程，符合題意．故選：C．【即學即練2】8．若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，則m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．任何數【解答】解：根據一元一次方程的特點可得，解得m＝1．故選：A．9．如果（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是關于x的一元一次方程，那么m的值為（）A．±4 B．4 C．2 D．﹣4【解答】解：∵（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是關于x的一元一次方程，∴|m|﹣3＝1且m﹣4≠0，解得m＝﹣4．故選：D．知識點04一元一次方程的解一元一次方程的解得概念：使一元一次方程等號左右兩邊相等的未知數的值是一元一次方程的解。一元一次方程只有一個解。題型考點：①判斷一元一次方程的解。②根據一元一次方程的解求值。【即學即練1】10．下列方程中解是x＝2的方程是（）A．3x+6＝0 B．﹣2x+4＝0 C． D．2x+4＝0【解答】解：A．將x＝2代入3x+6＝0，可得6+6＝12≠0，故A不符合題意；B．將x＝2代入﹣2x+4＝0，可得﹣4+4＝0，故B符合題意；C．將x＝2代入，可得＝1≠2，故C不符合題意；D．將x＝2代入2x+4＝0，可得4+4＝8≠0，故D不符合題意；故選：B．【即學即練2】11．若x＝4是方程ax﹣3＝4x+1的解，則a的值為（）A．5 B．3 C．﹣3 D．1【解答】解：把x＝4代入方程ax﹣3＝4x+1，得：4a﹣3＝4×4+1，解得：a＝5，故A正確．故選：A．【即學即練3】12．關于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，則m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵關于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，∴，解得：，∴m+n＝3+2＝5．故選：B．知識點05等式的基本性質等式的基本性質：性質1：等式左右兩邊同時加上（減去）同一個數（式子），等式仍然成立。性質2：等式左右兩邊同時乘同一個的數（式子）或同時除以同一個不為0的數（式子），等式仍然成立。性質3：對稱性：，則。性質4：傳遞性：，，則。又稱等量代換。題型考點：①利用等式的基本性質變形。②利用等式的基本性質解簡單的方程。【即學即練1】13．下列運用等式性質進行的變形，正確的是（）A．如果a+5＝5﹣b，那么a＝b B．若，則a＝b C．若2x＝2a﹣b，則x＝a﹣b D．若x2＝6x，則x＝6【解答】解：若，則c≠0，則，故選：B．【即學即練2】14．下列變形錯誤的是（）A．由x+7＝5得x+7﹣7＝5﹣7 B．由3x﹣2＝2x+1得x＝3 C．由﹣2x＝3得x＝﹣ D．由4﹣3x＝4x﹣3得4+3＝4x+3x【解答】解：A．∵x+7＝5，∴x+7﹣7＝5﹣7，故本選項不符合題意；B．∵3x﹣2＝2x+1，∴3x﹣2x＝1+2，∴x＝3，故本選項不符合題意；C．∵﹣2x＝3，∴x＝﹣，故本選項符合題意；D．∵4﹣3x＝4x﹣3，∴4+3＝4x+3x，故本選項不符合題意；故選：C．【即學即練3】15．用等式性質解下列方程：（1）4x﹣7＝13（2）3x+2＝x+1．【解答】解：（1）4x﹣7＝13移項得：4x＝20，方程兩邊同時除以4得：x＝5；（2）3x+2＝x+1移項得：3x﹣x＝﹣2+1，合并同類項得：2x＝﹣1，解得：x＝﹣．題型01方程與一元一次方程的判斷【典例1】下列各式中，是方程的個數為（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2個 B．3個 C．5個 D．4個【解答】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合題意；③不是等式，故不是方程，不符合題意；故選：C．【典例2】下列各式中：①2x﹣1＝5；②4+8＝12；③5y+8；④2x+3y＝0；⑤2a+1＝1；⑥2x2﹣5x﹣1．是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【解答】解：①2x﹣1＝5符合方程的定義，故本小題符合題意；②4+8＝12不含有未知數，不是方程，故本小題不合題意；③5y+8不是等式，故本小題不合題意；④2x+3y＝0符合方程的定義，故本小題符合題意；⑤2a+1＝1符合方程的定義，故本小題符合題意；⑥2x2﹣5x﹣1不是等式，故本小題不合題意．故選：C．【典例3】下列方程是一元一次方程的個數是（）①x+y＝1，②x﹣1＝3，③2x2＝1，④5x+5＝﹣1，⑤xy＝10，⑥2x+4＝0，⑦x＝0A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【解答】解：①x+y＝1是二元一次方程的定義，不是一元一次方程；②x﹣1＝3符合一元一次方程的定義，是一元一次方程；③2x2＝1屬于一元二次方程，不是一元一次方程；④5x+5＝﹣1符合一元一次方程的定義，是一元一次方程；⑤xy＝10屬于二元二次方程，不是一元一次方程；⑥2x+4＝0符合一元一次方程的定義，是一元一次方程．⑦x＝0符合一元一次方程的定義，是一元一次方程．是一元一次方程的個數是4個，故選：B．【典例4】已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①是分式方程，故①不符合題意；②0.3x＝1，即0.3x﹣1＝0，符合一元一次方程的定義．故②符合題意；③，即9x+2＝0，符合一元一次方程的定義．故③符合題意；④x2﹣4x＝3的未知數的最高次數是2，它屬于一元二次方程．故④不符合題意；⑤x＝6，即x﹣6＝0，符合一元一次方程的定義．故⑤符合題意；⑥x+2y＝0中含有2個未知數，屬于二元一次方程．故⑥不符合題意．綜上所述，一元一次方程的個數是3個．故選：B．題型02根據一元一次方程的定義求值【典例1】若方程（a﹣1）x|a|﹣1＝5是關于x的一元一次方程，則a的值為（）A．±1 B．2 C．±2 D．﹣1【解答】解：由題意，得|a|＝1且a﹣1≠0，解得a＝﹣1，故選：D．【典例2】若關于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，則m的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：根據題意得：m﹣1＝1，解得：m＝2．故選：D．【典例3】若方程（k﹣1）x|k﹣2|＝3是關于x的一元一次方程，則k是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．3【解答】解：∵（k﹣1）x|k﹣2|＝3是關于x的一元一次方程，∴k﹣1≠0且|k﹣2|＝1，解得：k＝3．故選：D．【典例4】已知方程（1﹣m）x|2m|﹣1+9＝0是關于x的一元一次方程，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C． D．0【解答】解：由（1﹣m）x|2m|﹣1+9＝0是關于x的一元一次方程，得|2m|﹣1＝1且1﹣m≠0．解得m＝﹣1．故選：B．題型03方程的解與一元一次方程的解的判斷【典例1】下列方程中，以x＝﹣1.5為解的方程是（）A．2x＝3 B．3x＝x+3 C．x＝3x+3 D．x＝3x﹣3【解答】解：A、把x＝﹣1.5代入方程得：左邊＝﹣3≠右邊，則不是方程的解，選項錯誤；B、把x＝﹣1.5代入方程，得左邊＝﹣4.5，右邊＝1.5，則左邊≠右邊，不是方程的解，選項錯誤；C、把x＝﹣1.5代入，左邊＝﹣1.5，右邊＝﹣1.5，左邊＝右邊，是方程的解，選項正確；D、把x＝﹣1.5代入，左邊＝﹣1.5，右邊＝﹣4.5﹣3＝﹣7.5，左邊≠右邊，則不是方程的解，選項錯誤．故選：C．【典例2】下列方程中，解為x＝2的是（）A．2x＝6 B．（x﹣3）（x+2）＝0 C．x2＝3 D．3x﹣6＝0【解答】解：A、把x＝2代入，左邊＝4≠右邊，則不是方程的解，選項錯誤；B、把x＝2代入方程，左邊＝﹣4≠右邊，則不是方程的解，選項錯誤；C、把x＝2代入方程，左邊＝4≠右邊，則不是方程的解，選項錯誤；D、把x＝2代入方程，左邊＝0＝右邊，則是方程的解，選項正確．故選：D．【典例3】下列方程中，解是x＝﹣3的是（）A．2x+6＝1 B．3x﹣8＝1 C．3x﹣1＝0 D．﹣2x﹣6＝0【解答】解：A．2×（﹣3）+6＝0≠1，故不符合題意；B．3×（﹣3）﹣8＝﹣17≠1，故不符合題意；C．3×（﹣3）﹣1＝﹣10≠0，故不符合題意；D．﹣2×（﹣3）﹣6＝0，故符合題意；故選：D．【典例4】下列方程中，解為x＝2的是（）A．3x+6＝0 B．3﹣2x＝0 C．﹣x＝1 D．﹣x+＝0【解答】解：A、將x＝2代入3x+6＝0，左邊＝12≠右邊＝0，故本選項不合題意；B、將x＝2代入3﹣2x＝0，左邊＝﹣1＝右邊＝0，故本選項不合題意；C、將x＝2代入＝1，左邊＝﹣1≠右邊＝1，故本選項不合題意；D、將x＝2代入＝0，左邊＝0≠右邊＝0，故本選項符合題意．故選：D．題型04根據方程的解求值【典例1】已知x＝2是關于x的方程3x+a＝0的一個解，則a的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，解得：a＝﹣6．故選：A．【典例2】已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，則a的值是（）A．2 B．3 C．7 D．8【解答】解：把x＝5代入方程ax﹣8＝20+a，得：5a﹣8＝20+a，解得：a＝7，故選：C．【典例3】若x＝1是關于x的一元一次方程ax﹣b﹣2＝0（a≠0）的一個根，則a﹣b的值等于（）A．2 B．1 C．0 D．3【解答】解：把x＝1代入方程得：a﹣b﹣2＝0，則a﹣b＝2，故選：A．【典例4】若x＝2是關于x的一元一次方程mx+n＝3的解，則代數式6m+3n﹣2的值是（）A．2 B．3 C．7 D．9【解答】解：把x＝2代入方程可得2m+n＝3，∴6m+3n﹣2＝3（2m+n）﹣2＝3×3﹣2＝7．故選：C．題型05利用等式的基本性質變形【典例1】下列利用等式的性質，錯誤的是（）A．由a＝b，得到1﹣a＝1﹣b B．由＝，得到a＝b C．由a＝b，得到ac＝bc D．由ac＝bc，得到a＝b【解答】解：當c＝0時，ac＝bc＝0，但a不一定等于b故D錯誤故選：D．【典例2】下列變形中，不正確的是（）A．若a﹣3＝b﹣3，則a＝b B．若，則a＝b C．若a＝b，則 D．若ac＝bc，則a＝b【解答】解：A選項，等式兩邊都加3，故該選項不符合題意；B選項，∵c≠0，∴等式兩邊都乘c，故該選項不符合題意；C選項，∵c2+1＞0，∴等式兩邊都除以（c2+1），故該選項不符合題意；D選項，題中沒有說c≠0，等式兩邊不能都除以c，故該選項符合題意；故選：D．【典例3】下列運用等式的性質，變形不正確的是（）A．若x＝y，則x+5＝y+5 B．若x＝y，則＝ C．若x＝y，則1﹣3x＝1﹣3y D．若a＝b，則ac＝bc【解答】解：A、若x＝y，則x+5＝y+5，正確，不合題意；B、若x＝y，則＝，a≠0，故此選項錯誤，符合題意；C、若x＝y，則1﹣3x＝1﹣3y，正確，不合題意；D、若a＝b，則ac＝bc，正確，不合題意．故選：B．【典例4】下列運用等式的性質進行的變形，錯誤的是（）A．如果x+2＝y+2，則x＝y B．如果x＝y，則 C．如果mx＝my，則x＝y D．如果，則x＝y【解答】解：A、如果x+2＝y+2，則x＝y，故A不符合題意；B、如果x＝y，則＝，故B不符合題意；C、如果mx＝my（m≠0），則x＝y，故C符合題意；D、如果，則x＝y，故D不符合題意；故選：C．題型06利用等式的性質解方程【典例1】利用等式的性質解方程：（1）5+x＝﹣2（2）3x+6＝31﹣2x．【解答】（1）5+x＝﹣25+x﹣5＝﹣2﹣5x＝﹣7；（2）3x+6＝31﹣2x3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣65x＝25x＝5．【典例2】利用等式的性質解方程：（1）5﹣x＝﹣2（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．【解答】解：（1）兩邊都減5，得﹣x＝﹣7，兩邊都除以﹣1，得x＝7；（2）兩邊都加（2x+6），得5x＝﹣25，兩邊都除以5，得x＝﹣5．【典例3】利用等式性質解方程①﹣x﹣5＝4②4x﹣2＝2．【解答】①解：兩邊同時加5得，﹣x﹣5+5＝4+5，兩邊同時乘以﹣3得，﹣x×（﹣3）＝9×（﹣3），即x＝﹣27；②解：兩邊同時加2得，4x﹣2+2＝2+2，即4x＝4，兩邊同時除以4得，4x÷4＝4÷4，即x＝1．1．下列各式中，屬于方程的是（）A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5【解答】解：A、6+（﹣2）＝4不含未知數，不是方程，不符合題意；B、x﹣2不是等式，故不是方程，不符合題意；C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合題意；D、2x﹣1＝5是含有未知數的等式，是方程，符合題意．故選：D．2．下列所給條件，不能列出方程的是（）A．某數比它的平方小6 B．某數加上3，再乘以2等于14 C．某數與它的的差 D．某數的3倍與7的和等于29【解答】解：設某數為x，A、x2﹣x＝6，是方程，故本選項錯誤；B、2（x+3）＝14，是方程，故本選項錯誤；C、x﹣x，不是方程，故本選項正確；D、3x+7＝29，是方程，故本選項錯誤．故選：C．3．若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，則m的值為（）A．10 B．4 C．3 D．﹣3【解答】解：把x＝2代入4x+2m﹣14＝0，得4×2+2m﹣14＝0，解得m＝3．故選：C．4．已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+6＝0是關于x的一元一次方程，則a的值為（）A．±2 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：由題意，得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故選：B．5．小麗同學在做作業時，不小心將方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一個常數污染了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x＝9，請問這個被污染的常數■是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故選：C．6．小李在解方程5a﹣x＝13（x為未知數）時，誤將﹣x看作+x，得方程的解為x＝﹣2，則原方程的解為（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【解答】解：由題意得，5a﹣2＝13，解得，a＝3，∴原方程為15﹣x＝13，解得，x＝2；故選：C．7．下列變形中，正確的是（）A．若5x﹣6＝7，則5x＝7﹣6 B．若﹣3x＝5，則 C．若5x﹣3＝4x+2，則5x﹣4x＝2+3 D．若5b2﹣3c2﹣（3b2﹣3c2）+c2+2016abc，則2（x﹣1）+3（x+1）＝1【解答】解：A、若5x﹣6＝7，則5x＝7+6，故此選項錯誤．B、若﹣3x＝5，則，故此選項錯誤．C、5x﹣3＝4x+2，則5x﹣4x＝2+3，正確．D、若5b2﹣3c2﹣（3b2﹣3c2）+c2+2016abc，則2（x﹣1）+3（x+1）＝6，故此選項錯誤．故選：C．8．下列運用等式的性質對等式進行的變形中，錯誤的是（）A．若a＝b，則＝ B．若a＝b，則ac＝bc C．若a（x2+1）＝b（x2+1），則a＝b D．若x＝y，則x﹣3＝y﹣3【解答】解：A．若a＝b，c≠0，則＝，所以A選項符合題意；B．若a＝b，則ac＝bc，所以B選項不符合題意；C．若a（x2+1）＝b（x2+1），則a＝b，所以C選項不符合題意；D．若x＝y，則x﹣3＝y﹣3，所以D選項不符合題意；故選：A．9．寫出一個解為x＝3的方程：．【解答】解：∵方程的解為x＝3，∴方程為x﹣3＝0，故答案為：x﹣3＝0（答案不唯一）．10．已知（a﹣3）x|a|﹣2﹣5＝8是關于x的一元一次方程，則a的值為．【解答】解：根據題意得：|a|﹣2＝1，解得a＝3或a＝﹣3，因為a﹣3≠0，所以a≠3，綜上可知：a＝﹣3．故答案為：﹣3．11．已知5a+8b＝3b+10，利用等式性質可求得a+b+1＝．【解答】解：5a+8b＝3b+10，5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，5a+5b＝10，5（a+b）＝10，a+b＝2，∴a+b+1＝2+1＝3．故答案為：3．12．已知x＝1是關于x的方程3x﹣m