4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一般地，函數(shù)y=logax(a＞0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù).其中

x是自變量,即對數(shù)的真數(shù)，而a就是對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的定義域是（0,+∞）對數(shù)函數(shù)的概念注意：知識回顧學習函數(shù)的一般方法解析式（定義）圖像性質(zhì)應用①定義域②值域③單調(diào)性⑤奇偶性④最值數(shù)形結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象作圖步驟:

①列表,②描點,③用平滑曲線連接。完成下列表格，并用描圖法畫出y=log2x的圖像．xy=log2x0.51246816-10122.63421-1-21240yx3

y=log2xxy=log2xy=log

x0.5124816…………10-1-2-3-4……-101234……兩個圖像關于x軸對稱

y=log

xy=log2xP(x,y)

P1(x,-y)關于x軸對稱的點結(jié)論：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關于x軸對稱.P1(x,-y)y=log2xy=log

xP(x,y)

發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的圖象按底數(shù)a的取值，可分為0<a<1和a>1兩種類型。函數(shù)y=logax(a＞0且a≠1)底數(shù)0＜

a＜1a＞1圖象定義域值域定點單調(diào)性值分布1xyo1xyo(0,+∞)R過定點(1,0)，即x=1時，y=0當x＞1時，y＞0當0＜x

＜1時，y＜0當x＞1時，y＜0當0＜x＜1時，y＞0增函數(shù)減函數(shù)

練習：對數(shù)函數(shù)

①

y＝logax，②

y＝logbx，

③

y＝logcx，④

y＝logdx

的圖象如圖所示,則a,b,c,d及1的大小關系是

.c<d<1<a<b作直線y＝1與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數(shù)，根據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大（底大圖右）

對數(shù)函數(shù)圖像在第一象限越往右底越大（底大圖右）題型一比較大小例題：比較下列各題中兩個值的大小：(1)log23.4,log28.5;(2)log1.8,log2.7;(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).解：(1)log2和log2可看作函數(shù)y=log2x的兩個函數(shù)值.因為底數(shù)2>1,對數(shù)函數(shù)y=log2x是增函數(shù)，且，所以log23.4<log28.5.(2)log和log可看作函數(shù)y=logx的兩個函數(shù)值.因為底數(shù)0<0.3<1,對數(shù)函數(shù)y=logx是減函數(shù),且,所以log1.8>log2.7.解：(3)loga5.1和loga可看作函數(shù)y=logax的兩個函數(shù)值.對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a是大于1還是小于1，因此需要對底數(shù)a進行討論.①當a>1時,對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù),且5.1<5.9,所以loga5.1<loga5.9.②當0<a<1時,對數(shù)函數(shù)y=logax是減函數(shù),且5.1<5.9,所以loga5.1>loga5.9.

比較對數(shù)的大小的方法練習：比較下列各組數(shù)的大小.

題型二過定點(3,1)1.函數(shù)的f(x)=loga(x－2)(a>0,且a≠1)的圖象必經(jīng)過定點

.

題型三對數(shù)不等式

(2)題型四實際應用例題：溶液酸堿度是通過pH計量的.pH的計算公式為pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；(2)已知純凈水中氫離子的濃度為[H+]=10-7摩爾/升，計算純凈水的pH.解：(1)根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì),有

探究:

對于指數(shù)函數(shù)y=2x，你能利用指數(shù)與對數(shù)之間的關系，得到對應的對數(shù)函數(shù)？它們的定義域，值域有什么關系？y=log2x

y=2xx=log2yx改為y,y改為xx∈Ry∈(0,+∞)x∈(0,+∞)

y∈R根據(jù)運算性質(zhì)可以由一個推導出另外一個，并且一個函數(shù)的定義域和值域分別是