1/1簡單三角恒等變換MicrosoftWord文檔-行業(yè)資料

13.2簡潔的三角恒等變換（一）

一．教學(xué)目標(biāo)

1、通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高同學(xué)的推理力量。

2、理解并把握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡潔的恒等變形，體會(huì)三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

3、通過例題的解答，引導(dǎo)同學(xué)對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促使同學(xué)形成對解題過程中如何選擇公式，如何依據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的熟悉，從而加深理解變換思想，提高同學(xué)的推理力量．

二、教學(xué)重難點(diǎn)

熟悉三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的力量．

三、教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)：三角函數(shù)的和（差）公式，倍角公式

βαβαβαsincoscossin)sin(-=-βαβαβαsincoscossin)sin(+=+βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+βαβαβαtantan1tantan)tan(?+-=-βαβαβαtantan1tantan)tan(?-+=+sin2sinsincoscossin2sincosααααααααα

=+=+=22222cos2cossin1sinsin12sinαααααα=-=--=-；

22222cos2cossincos(1cos)2cos1αααααα=-=--=-；

2tantan2tantan2tan1tantan1tanααααααααα+=+=

=--．（二）新課講解：

1、由二倍角公式引導(dǎo)同學(xué)思索：2αα與

有什么樣的關(guān)系？例1、試以cosα表示222sin,cos,tan222α

α

α

．

2解：我們可以通過二倍角2cos2cos

12αα=-和2cos12sin2αα=-來做此題．由于2cos12sin

2αα=-，可以得到21cossin22αα-=；由于2cos2cos12αα=-，可以得到21coscos22α

α+=

．又由于222

sin1cos2tan21coscos2α

α

ααα-==+．思索：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？

代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換經(jīng)常首先查找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)．

例2．已知135sin=

α，且α在第三象限，求2tanα的值。例3、求證：

（１）、1sincossinsin2αβαβαβ=++-???

?；（２）、sinsin2sincos22θ?

θ?

θ?+-+=．

證明：（１）由于sinαβ+和sinαβ-是我們所學(xué)習(xí)過的學(xué)問，因此我們從等式右邊著手．

sinsincoscossinαβαβαβ

+=+；sinsincoscossinαβαβαβ-=-．

兩式相加得2sincossinsinαβαβαβ=++-；即1sincossinsin2αβαβαβ=++-???

?；（２）由（１）得sinsin2sincosαβαβαβ++-=①；設(shè),αβθαβ?+=-=，那么,22θ?

θ?

αβ+-==．

把,αβ的值代入①式中得sinsin2sincos22θ?

θ?

θ?+-+=．

3例3證明中用到換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式。

3.2簡潔的三角恒等變換（二）

一、教學(xué)目標(biāo)

1、通過三角恒等變形，形如xbxacossin+的函數(shù)轉(zhuǎn)化為)sin(?+=xAy的函數(shù)；

2、敏捷利用公式，通過三角恒等變形，解決函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性等問題。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角恒等變形的應(yīng)用。

難點(diǎn)：三角恒等變形。

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)：二倍角公式。

（二）例題講解

例1：.54sin,20=απ

α已知的值求αααα2coscos2sinsin)1(22++；的值求)45tan2(πα-．解：（1）由,54sin,20=απ

α得,5

3cos=α.201

cos3cossin2sin2coscos2sinsin2222=-+=++∴αααααααα（2）.7

1tan11tan)45tan(,34cossintan=+-=-==ααπαααα例2．.10tan3150sin）（利用三角公式化簡?+?解：）（原式?

?+?=10cos10sin3150sin??+???=10cos)10sin2310cos21(250sin?

??+???

?=10cos10sin30cos10cos30sin50sin2????=10cos40sin40cos2110cos10cos10cos80sin=??=??=.例３．已知函數(shù)xxxxxf4

4sincossin2cos)(--=

（1）求)(xf的最小正周期；

4（2）（2）當(dāng)]2,

0[π∈x時(shí)，求)(xf的最小值及取得最小值時(shí)x的集合．例4．若函數(shù)]2

0[cos22sin3)(2π

，mxxxf在區(qū)間++=上的最大值為6，求常數(shù)m的值及此函數(shù)當(dāng)Rx∈時(shí)的最小值及取得最小值時(shí)x的集合。

留意：常見的三角變形技巧有

①切割化弦；

②“1”的變用；

③統(tǒng)一角度，統(tǒng)一函數(shù)，統(tǒng)一形式等等．

3.2簡潔的三角恒等變換（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.嫻熟把握三角公式及其變形公式．

2.抓住角、函數(shù)式得特點(diǎn)，敏捷運(yùn)用三角公式解決一些實(shí)際問題．

二、教學(xué)重難點(diǎn)

（1）和、差、倍角公式的敏捷應(yīng)用．

（2）如何敏捷應(yīng)用和、差、倍角公式的進(jìn)行三角式化簡、求值、證明．

三、教學(xué)過程

例1.如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為3π

的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇

形的內(nèi)接矩形.記∠COP＝α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

例2：把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）

解：（1）如圖，設(shè)矩形長為l，則面積224lRlS+=，

所以,4)4(22222222lRllRlS+-=-=當(dāng)且僅當(dāng),22422

2

RRl==

5即Rl2=時(shí)，2S取得最大值44R，此時(shí)S取得最大值22R，矩形的寬為

RR

R2222

=即長、寬相等，矩形為圓內(nèi)接正方形.（2）設(shè)角為自變量，設(shè)對角線與一條邊的夾角為θ，矩形長與寬分別為

θsin2R、θcos2R，所以面積θθθ2sin2sin2cos22RRRS=?=.

而12sin≤θ，所以22RS≤，當(dāng)且僅當(dāng)12sin=θ時(shí)，S取最大值22R，所以當(dāng)且僅當(dāng)

?=902θ即?=45θ時(shí)，S取最大值，此