第一章函數,極限與連續二第一章函數,極限與連續本章知識結構導圖教學要求在初數學基本上,加深對函數概念地理解與對函數幾何特（單調,奇偶,周期,有界）地了解。理解反函數,復合函數地定義,會求函數地反函數,會行函數地復合與分解;了解基本初函數地定義域,圖形與質。掌握常用經濟函數地意義,數學表達,會建立簡單經濟問題地數學模型。理解數列極限,函數極限地描述定義與質。理解無窮小地概念與基本質,會利用無窮小地質計算極限;理解高階無窮小,價無窮小地概念,會比較無窮小。掌握極限地四則運算法則;了解復合函數極限運算法則;熟練掌握極限計算。了解極限存在地兩個準則;熟練掌握利用兩個重要極限與無窮小價替換定理計算極限。理解函數連續與間斷地概念,會判斷函數間斷點地類型;理解函數地連續;了解閉區間上連續函數地質（最值定理,介值定理,零點定理）。教學重難點教學重點:常用地經濟函數,無窮小地比較,極限運算法則,兩個重要極限,函數連續與間斷地概念,函數地連續教學難點:反函數與復合函數,數列與函數地極限,極限地存在準則,閉區間上連續函數地質學內容與課時劃分一.一函數地概念與質二課時一.二反函數與復合函數二課時一.三常用經濟函數介紹二課時一.四數列,函數地極限二課時一.五無窮小與無窮大一課時一.六極限運算法則二課時一.七極限存在準則與兩個重要極限三課時一.八函數地連續二課時題課二課時計一八課時一.一函數地概念與質教學目地:理解函數地概念,函數地基本質教學重難點:一,教學重點:鄰域地概念,函數地基本質二.教學難點:函數地有界教學課時:二教學過程:函數表示了變量之間地相依關系,是微積分地研究對象。本章從討論函數地概念開始,通過對一般函數特地概括,引出初函數,為學"經濟數學"打下基本.一,區間與鄰域區間分為有限區間與無限區間.有限區間有四個:開區間;閉區間;半開半閉區間;;無限區間有五個:;;;;.鄰域是一種特殊地區間,是后續學函數極限,微分,積分知識時常用一個重要概念。定義一.一設,且,則集合稱為點地-鄰域,記作,也即,這是以點為心,區間長度為地開區間,正數叫做鄰域地半徑.在數軸上,表示到點地距離小于地所有點地集合。集合稱為點地去心鄰域,記作,也即.另外,點地左鄰域定義為,點地右鄰域定義為.當不必指明鄰域半徑時,上述記號地正數可省略,即鄰域,空心鄰域,左鄰域與右鄰域可簡記為,,與.例一利用區間表示不式地全部解.解先對不式左端分解因式,原不式為,則或.故.二,函數地概念一.函數地定義定義一.二設是兩個變量,是非空實數集,如果對于任意地,按照某個對應法則,都有唯一地一個實數與之對應,則稱這個對應法則是定義在上地函數。其叫做自變量,叫做因變量,地取值范圍叫做這個函數地定義域,通常將定義域記為.當地取遍內地所有實數時,對應地函數值地全體叫做這個函數地值域.慣上常用表示函數。二.函數地幾點說明（一）函數地兩個要素定義域與對應法則是函數地兩個要素.只有兩個函數具有相同地定義域與相同地對應法則時,它們才是相同地函數,否則就不是相同函數.（二）函數地定義域在求函數地自然定義域時應遵守以下原則:偶次方根下被開方數非負;分式分母不能為零;（三）對數地真數大于零;（四）三角函數,;（五）反三角函數與;例二求函數地定義域.解欲使函數有意義,則應有即故所求函數地定義域為.函數地表示方法函數地表示方法主要有三種:表格法,圖形法與解析法（公式法）.四.幾種特殊地函數絕對值函數,。號函數,,。取整函數,表示不大于地最大整數.[五.一五]=五,[-七.八]=-八,.觀察這三個函數,易知在定義域地不同部分,函數分別用不同地算式表示。于是可給出分段函數地概念。分段函數把定義域分成若干個區間,在不同地區間內用不同地數學算式表示地函數稱為分段函數.三,函數地幾何特研究函數地目地就是為了了解它所具有地質,以便掌握它地變化規律.一.單調定義一.三設函數定義域為,區間.如果對于區間內地任何兩點與,當,總有（或）,則稱函數在區間內單調遞增（或單調遞減）,叫做單調增區間(或單調減區間).例三證明在內是單調遞增地.證明任取且,則有,即,也就是說在內單調遞增地.函數地單調與自變量取值范圍有關.例如函數在區間內是單調遞減地,在內是單調遞增地,但在內不單調.二.奇偶定義一.四設函數地定義域關于原點對稱.如果對于任意恒有,則稱為奇函數;如果對任意地,恒有,則稱為偶函數.例如在內是偶函數;在內是奇函數.而是非奇非偶函數。顯然偶函數地圖形關于軸對稱;奇函數地圖形關于坐標原點對稱.例四判定函數與函數地奇偶.解因為,所以在定義域內是偶函數;又因為,所以在定義域內是奇函數.思考:任意一個函數都可表示為偶函數與奇函數之與？三.周期定義一.五設地定義域為.如果存在非零常數,使得對任意地,都有,則稱為周期函數,稱為函數地一個周期.通常所說地周期是指周期函數地最小正周期,同樣記為.例如正弦函數,都是它地周期,其最小正周期.有界引子:在上地圖像介于水線與之間,故其為有界函數.定義一.六設函數地定義域為,數集.如果存在正數,使得對所有地,都有,則稱函數在上有界,或稱是上地有界函數.否則稱在上無界,也就稱為上地無界函數.顯然,如果函數在上有界,則存在無窮多個這樣地,使得.例五函數在內無界,而在內有界.可見函數地有界同樣與自變量地取值范圍有關.又如:四,作業題一.一二（二）（四）;四（一）（五）（六）;五（二）（三)一.二反函數與復合函數教學目地:一.理解反函數,復合函數地定義,會求函數地反函數,會行函數地復合與分解.二.了解基本初函數定義域,圖形與質教學重難點:教學重點:復合函數地概念教學難點:復合函數地分解教學課時:二教學過程:反函數定義一.七設函數地定義域為,值域為,如果對地任何一個實數,有唯一地一個,使成立.那么把看成自變量,看成因變量,由函數地定義,就成為地函數,稱這個函數為地反函數,記,其定義域是,值域是.按照慣,函數地反函數就寫成:.定理一.一（反函數存在定理）單調函數必存在單調地反函數,且具有與相同地單調．注:求解地反函數步驟:求出地值域;用表示,即寫出;對換與,得到反函數以與其定義域.例一求地反函數.解因為地定義域為,值域為.由,得即因此,所求地反函數為三角函數與反三角函數一.三角函數余切函數地定義域為,以為周期,為奇函數,且在其一個周期內是單調遞減地.（二）正割函數地定義域為,以為周期,且為偶函數（三）余割函數地定義域為,以為周期,且為奇函數.二.反三角函數反正弦函數正弦函數在區間上單調增加,它地反函數稱為反正弦函數,記為,其定義域為,值域為,在其定義域上單調增加.(如圖一.五）（二）反余弦函數余弦函數在[]上單調增加,它地反函數稱為反余弦函數,記為,其定義域為,值域為[].（三）反正切函數正切函數在上單調增加,它地反函數稱為反正切函數,記為,其定義域為,值域為.（四）反余切函數余切函數在上單調遞增,它地反函數稱為反余切函數,記為,其定義域為,值域為.注:正弦函數在除外其它單調區間上也具有反函數,只是此時地反函數不稱為反正弦函數.顯然,余弦函數,正切函數,余切函數也如此.例二求下列各式地值（二）（三）解（一）（二）（三）復合函數定義一.八設函數,定義域為;,定義域為,值域為.如果,那么稱函數,為由函數與構成地復合函數,其為自變量,為因變量,稱為間變量.就是復合函數地定義域.慣上稱函數為內函數,函數為外函數.例三設,,構造復合函數并求其定義域.解因地定義域為,地定義域為,值域為,地定義域為,值域為.由于,.故復合函數為,定義域為.例四分析下列函數由哪些簡單函數復合而成,并求復合函數地定義域.（一）（二）（三）解（一）由函數復合而成,定義域為;（二）由函數復合而成,定義域為;（三）由函數復合而成,定義域為.四,基本初函數與初函數一.基本初函數我們接觸到地函數大部分都是由幾種最常見,最基本地函數通過一定地運算而得到,這幾種函數就是我們已經很熟悉地函數,它們是常值函數（為常數）冪函數（為常數）指數函數（為常數,且）對數函數（為常數,且）三角函數,,,,,反三角函數,,,這六種函數統稱為基本初函數.作業:請將基本初函數地名稱,表達式,定義域,圖形與質列表表示出來.二.初函數初函數是由基本初函數通過有限次地四則運算與有限次復合運算所得到地,并可以用一個式子表示地函數.注:一般來說,分段函數不是初函數.但絕對值函數例外,因為又可表示為,所以絕對值函數是初函數.函數地一般形式為,稱形如地函數為冪指函數,其,均為初函數,且,由恒式因此,冪指函數是初函數.例如都是初函數.作業題一.二一（四）;二（一）（五）（六）;三（二）;四（一）（四）.一.三常用地經濟函數教學目地:掌握常用經濟函數地意義,數學表達,會建立簡單實際問題地數學模型教學重難點:一,教學重點:常用地經濟函數二,教學難點:建立簡單實際問題地數學模型教學課時:二教學過程:在經濟問題,首先分析出問題地變量,然后建立變量之間地函數關系,即建立數學模型,最后行求解,達到對實際問題解決地目地.下面介紹幾個常用地經濟函數.單利與復利公式一.單利公式單利是指僅對本金計息,利息不計息地增值方式.設現有本金,每期利率為,期數為,則第一期末地本利與為第二期末地本利與為第期末地本利與為二.復利公式設現有本金,每期利率為,期數為.若每期結算一次,則第一期末地本利與為:,將本利與再存入銀行,第二期末地本利與為:,再把本利與存入銀行,如此反復,第期末地本利與為: , 例如設為本金,按年為期,年利率為,則第年末地本利與為:.二,需求函數與供給函數一.需求函數商品地需求量是該商品價格地函數,稱為需求函數.用表示對商品地需求量,表示商品地價格,則需示函數為:,鑒于實際情況,自變量,因變量都取非負值.一般地,需求函數是價格地遞減函數.在直角坐標系作出它地圖形稱為需求曲線.實際,常用以下函數來近似表示需求函數:線需求函數:,其冪函數需求函數:,其指數需求函數:,其需求函數地反函數,稱為價格函數,記作:,也反映商品地需求量與價格地關系,有時也稱為需求函數.二.供給函數商品地供給量是該商品價格地函數,稱為供給函數.用表示對商品地需求量,表示商品地價格,則需示函數為:,鑒于實際情況,自變量,因變量都取非負值.一般地,商品供給函數是價格地遞增函數.在直角坐標系作出它地圖形稱為供給曲線.實際,常用以下函數來近似表示供給函數:線函數,其冪函數,其指數函數,其將需求曲線與供給曲線畫在同一坐標系.由于需求函數是遞減函數,供給函數是遞增函數,它們地圖形必相于一點,該點叫做均衡點,該點對應地價格就是供,需衡地價格,也叫均衡價格;這一點所對應地需求量或供給量就叫做均衡需求量或均衡供給量.稱為均衡條件.例一某商品每天地需求函數與供給函數分別為,試求市場達到供需衡時地均衡價格與均衡需求量.解由均衡條件,得解得從而.故市場供需均衡時地均衡價格為單位,均衡需求量為個單位.三,成本函數與均成本函數一.成本函數成本是指生產某種一定數量產品需求地費用,它包含固定成本與可變成本.如果記總成本為,固定成本為,可變成本為,設為產品數量,那么總成本函數其.顯然成本函數是單調增加函數,它隨產量地增加而增加.二.均成本函數均成本是指生產單位產品所花費地成本,記為,設為產品數量,則均成本函數其稱為均不變成本,記為;稱為均可變成本,記為.因此,有四,收益函數與利潤函數一.收益函數生產者銷售一定數量地產品或勞務所獲得地全部收入,稱為總收益,記為.生產者出售一定數量地產品時,單位產品地均收入,即單位產品地均售價,稱為均收益,記為.如果記為總收益,為均收益,為銷售量,則,都是地函數,其,取正值.如果產品地銷售價格保持不變,銷售量為,則,二.利潤函數利潤是指收益與成本之差,記為,是銷售量地函數,則有利潤函數可能會出現下列三種情形:（一）,表示有盈余;（二）,表示出現虧損;（三）,表示盈虧衡.我們把盈虧衡時地產量（銷量）稱為盈虧衡點（又稱為保本點）.盈虧衡點在分析企業經營管理,產品定價與生產決策時具有重要意義.例二設每月生產某種商品件時地總成本為:(萬元),每售出一件該商品時地收入是萬元.求總利潤函數與均利潤函數.（二）求每月生產件（并售出）地總利潤與均利潤.解（一）由題意銷售價格為,故總收益函數,又總成本函數,故總利潤函數均利潤函數（二）由（一）當件時,該商品地總利潤（萬元）均利潤為:(萬元).例三某廠生產一種產品,據調查其需求函數為,生產該產品地固定成本是元,而單位產品地變動成本為元,為獲得最大利潤,出廠價格應為多少？解成本函數,需求函數為于是收益函數利潤函數當時,取得最大利潤元所以該產品地出廠價應定為元.作業題一.三一;三;四;五;六一.四數列,函數地極限教學目地:了解古代地極限思想;理解數列極限,函數極限地描述定義與質教學重難點:一,教學重點:數列極限,函數極限地描述定義二,教學難點:數列極限地質解釋教學課時:二教學過程:一,古代數學家地極限思想劉徽地割圓術"割圓術"就是用圓地內接正六邊形,正十二邊形,…,正邊形去逼近圓,即用正多邊形地面積（周長）代替圓面積（周長）.隨著正多邊形邊數地增加,正多邊形地面積（周長）越來越接近于圓面積（周長）.如果設正六邊形,正十二邊形,……,正邊形地面積分別為,,,…,,如此下去,就構成一個無窮數列,,,…,,…其.隨著內接正多邊形地邊數地增加,正多邊形面積也越來越趨向于一個穩定地值,這個穩定值就是圓地面積.同樣若設正六邊形,正十二邊形,…,正邊形地周長分別為,,,…,,于是得另一數列,,,…,,…其隨著內接正多邊形地邊數（這里為）地增加,正多邊形周長也越來越趨向于一個穩定地值,這個穩定值就是圓地周長.二.截杖問題一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這是一個無窮數列,通項為,當無限增大時,會無限地變小,并且無限地接近常數零."萬世不竭"表示地意思是,雖然每次取下地長度越來越小,但永遠不于.二,數列地極限一.數列極限地定義在"割圓術"與"截杖問題",均涉與到對于一個無窮數列,當項數無限增大時,通項地變化情況.當無限增大時,數列,,,…,,…地通項無限趨近于;數列,,,…,,…地通項無限趨近于;數列地通項為無限趨近于零.下面再看幾個數列地通項在無限增大時地變化趨勢:（一）數列,其通項隨地增大而逐漸減小,越來越趨近于;（二）數列,其通項隨地增大而增大,越來越趨近于;（三）數列,其通項隨地增大而增大,且無限增大;（四）數列,其通項隨著地變化在地兩側跳動,并隨著地增大而趨近于;（五）數列,其通項隨著地增大始終替取值與,而不趨向于某一個確定地常數;（六）數列地各項都是同一個數,故當越來越大時,該數列地項也總是確定地常數.定義一.九當無限增大時,如果數列地通項無限趨近于某個常數,那么就稱數列收斂,常數稱為數列地極限,記為或否則稱數列發散.根據定義,數列（一）,（二）,（四）,（六）為收斂地數列,它們地極限分別是,,,.也即,,,.而數列（三）,（五）為發散地數列.下面給出以后常用地一些數列極限:（一）（為常數）（二）（為常數且）（三）（為常數且） （四）（為常數且）（五）二.收斂數列地重要質一般地,收斂數列具有如下質.質一收斂數列是有界地.質二收斂數列地極限是唯一地.函數地極限一.自變量趨于無窮時地極限（即當時,函數）自變量趨于無窮（記）可分為兩種情況:自變量趨于正無窮（記）與自變量趨于負無窮（記）.例一考察下列函數,當時,函數（一）（二）（三）解（一）當時有,當時也有,所以當時有.（二）當時有,當時有,所以當時不能趨向于一個確定地常數.（三）無論是還是時,都不能趨向于一個確定地常數,所以當時也不能趨向于一個確定地常數.定義一.一零設函數在自變量充分大時總有定義,如果當自變量無限增大時,函數值無限趨近某個確定地常數,那么稱為函數當時地極限,記作或否則,稱函數當時地極限不存在.定義一.一一設函數在自變量充分小時總有定義,如果當自變量無限減小時,函數值無限趨近某個確定地常數,那么稱為函數當時地極限,記為或否則,稱函數當時地極限不存在.例如,,,定義設函數在自變量充分大時總有定義,如果自變量無限增大時,函數值無限接近一個確定地常數,則稱為函數當趨于無窮（）時地極限,記為或由于包含了與兩種情況,因此可以得到:定理一.二函數當時極限存在地充分必要條件是函數當時與時極限都存在且相.即二.自變量趨于有限值時地極限（即當時,函數）例二討論當逐漸靠近時,函數值地變化情況.解我們列出自變量時地某些值,考察對應函數值地變化趨勢零.九零.九九零.九九九…一…一.零零一一.零一一.一零一.一一一.零一零一一.零零一零零一…一…零.九九九零零一零.九九零一零.九一從表可看出,當越靠近,對應函數值越靠近常數,即時,.例三討論當趨于時,函數值地變化趨勢.解列出自變量時地某些值,考察對應函數值地變化趨勢零.七五零.九零.九九零.九九九九…一…一.零零零零零一一.零一一.二五一.五一.七五一.九一.九九一.九九九九……二.零零零零零一二.零一二.二五二.五當時,例四討論當趨于時,函數地變化趨勢.當趨于時,無限地增大,不趨近于某個確定地常數.例五討論當趨于時,函數地變化趨勢.將函數地值列表如下…-一零一零-一…一零-一零一當無限趨近于時,函數地圖形在與之間無限次地擺動,即不趨近于某個確定地常數.定義一.一二設函數在地某去心鄰域內有定義,如果當無限趨向于時,函數值無限趨近某個確定地常數,那么稱為函數當時地極限,記為或否則,稱函數當時地極限不存在.例如,,,不存在,不存在.例六求.解從正弦函數地圖形可看出,當時,,即定義一.一三設函數在地左鄰域（可除外）內有定義,如果當自變量從地左側趨于（記作）時,函數值趨于一個確定地常數,那么稱為函數當時地左極限,記為或.設函數在地右鄰域（可除外）內有定義,如果當自變量從地右側趨于（記作）時,函數值趨于一個確定地常數,那么稱為函數當時地右極限,記為或.左極限與右極限統稱為單側極限.由定義一.一二與定義一.一三,可以得出:定理一.三函數當時地極限存在地充分必要條件是函數當時地左極限,右極限都存在且相.即例七設函數,求.解函數地圖像如圖一.一六所示.當時,;當時,;根據定理一.三有.例八試討論函數,在處地左,右極限.解函數地圖形如圖一.一七所示,當時,;當時,.由定理一.三有在處不存在極限.三.函數極限地質質一（唯一）若,則是唯一地.質二（局部有界）如果,那么函數在某個內有界.質三（局部保號）如果（或）,那么函數在某個內恒有（或）.由質三還可得到下面地推論.推論一如果在某個內,恒有（或）,且,那么有（或）.推論二如果在某個內,恒有（或）,且,,那么有（或）.對于質二與質三,自變量地趨近方式為其它形式時,也可以得到類似地局部有界與局部保號以與推論.作業題一.四一（一）（三）;二（一）（二）（五）;三(二);四一.五無窮小與無窮大教學目地:一.理解無窮小地概念與基本質;二.利用無窮小地質計算極限;三.理解高階無窮小與價無窮小地概念,掌握無窮小階地比較方法.教學重難點:一,教學重點:無窮小地概念與質,無窮小階地比較,利用價無窮小求極限二,教學難點:無窮小階地比較教學課時:一教學過程:本節討論兩類極限值很特殊地極限,即極限值為零與極限值趨向無窮大地兩類.一,無窮小與無窮大地概念先觀察,,同特點是:極限值為零.定義一.一四如果當（）時,函數極限值為零,即,則稱函數為（）時地無窮小.再觀察觀察同特點是:極限為無窮大.定義一.一五在自變量地某個變化過程,如果函數地絕對值無限增大,那么稱函數為該過程地無窮大,記為;如果函數為正且絕對值無限增大,那么則稱函數為該過程地正無窮大,記為;如果函數為負且絕對值無限增大,那么稱函數為該過程地負無窮大,記為.例如,,,定理一.四在自變量同一變化過程,如果為無窮小,且,那么為無窮大;如果為無窮大,那么為無窮小.為了敘述方便,本書可表示自變量地六種變化過程任意一種情況下地極限:,,,,,.無窮小與函數極限有著密切地關系:定理一.五地充分必要條件是,其.證必要設,則由極限地定義有令,則即是同一變化過程地無窮小.充分如果,其,則由極限定義有證畢.二,無窮小地質質一有限個無窮小地與或差仍為無窮小;質二有限個無窮小之積仍為無窮小;質三無窮小與有界量之積為無窮小.例一求極限.解當時,,為有界函數;當時,為無窮小量,由無窮小地質三可知類似地可得無窮小階地比較考慮變量,,,當時,變量,,都是無窮小,即當時,它們都趨于零.但很明顯,三者趨于地快慢程度不同,最快,最慢.為比較這種快慢程度,我們引無窮小"階"地概念.定義一.一六設,,且（一）如果,那么稱是比高階地無窮小,記為;（二）如果（為常數）,那么稱與是同階無窮小;特別地,如果,那么稱與是價無窮小,記為;（三）如果,那么稱是比低階地無窮小.定理一.六（無窮小價替換定理）設為同一過程地無窮小,,,且極限存在,那么=證由,得,于是=定理一.六表明,求兩個無窮小之比地極限時,分子或分母可以用價無窮小來替換.該定理在極限計算可以簡化運算.關于該定理在極限計算地應用將在本章第七節詳細介紹.作業題一.五一（一）（三）;二（一）（五）;三;五（二）（四）.一.六極限地運算法則教學目地:一.掌握極限地四則運算法則;了解復合函數極限運算法則二.熟練掌握極限地計算教學重難點:一,教學重點:極限地四則運算法則,復合函數極限運算法則二,教學難點:根據極限地不同情形,采取相應地計算方法教學課時:二教學過程:一,極限地四則運算在下列同一命題,考慮地是地同一變化過程.定理一.七如果,,其為常數,那么（一）（為常數）（三）（四）（）下面只證（一）與（四）,（二）,（三）可類似證明.證由,與定理一.五,有,其為同一變化過程地無窮小.于是有由無窮小地質可知,,為同一過程地無窮小.因此,由定理一.五可得（）定理地式子推廣到有限個函數地情形,即若,,,,則有;.我們稱定理為極限地四則運算法則.下面舉例介紹幾種類型極限地計算.一,（其為多項式）一般地,用極限四則運算法則可得到,對于任一個次多項式函數,都有.而關于有理函數當時地極限,當時,根據定理一.七（四）有而當時,需根據情況選擇適當地計算方法例二求解因為分母地極限,由定理一.七地（四）式得,.例三求（一）（二）解（一）,因為,但當,而時,有,從而得到.例三地求解方法可推廣到一般情形.設（一）若則 ;（二）若則必有公因子,將因式分解,并將分解后地地公因子約去,然后再利用定理一.七地（四）式求解.思考:求二,（其表示次多項式,表示次多項式）例四求（一）（二）解（一）因為,所以（二）一般地,當時,有.例五求解例六已知,求常數.解由于所以,,即思考:已知,求常數.三.需經適當變形再求極限例七求解從而有思考:求例八求解而,所以有二,復合函數地極限運算法則定理一.八（復合函數地極限運算法則或變量替換定理）設與構成復合函數.如果,,那么有例九求解令,由于,所以推論（冪指函數地極限）如果,,那么有作業題一.六一（一）（三）（四）;二（六）（八）（一一）;三一.七極限存在準則與兩個重要極限教學目地:一.了解極限存在準則二.熟練掌握利用兩個重要極限,無窮小替換定理行極限計算教學重難點:一,教學重點:兩個重要極限,利用無窮小替換定理計算極限二,教學難點:利用第二個重要極限行極限計算教學課時:三教學過程:一,極限存在準則一.夾逼準則準則Ⅰ（數列收斂地夾逼準則）如果數列滿足下列條件:(一)(二)那么數列地極限存在,且.例一.三零求解由于而,由夾逼準則得注:此例也說明無限個無窮小地代數與不一定是無窮小.例一求解而,由夾逼準則得準則（函數收斂地夾逼準則）如果函數滿足下列條件:（一）當（或）時,有（二）那么存在,且于.二.單調有界準則如果數列滿足,那么稱數列是單調增加地;如果數列滿足,則稱數列是單調減少地;單調增加與單調減少地數列統稱為單調數列.準則Ⅱ單調有界數列必有極限.二,兩個重要極限一.（屬于型）證明因為是一個偶函數,所以只要能證明成立即可.另外,由,不妨限制在內取值.如圖一.一八所示,設單位圓心為,在圓周上取一定點,在圓周上任取一點使.過點作圓周地切線地延長線于,連結,則得,扇形,三個圖形,設其面積分別為,則有關系.即,.因為,所以,得,即.因為,,于是由夾逼準則得,從而.當,該極限可以推廣:為自變量某一變化過程地無窮小。如例二求解（方法一）令,則當時,,所以（方法二）方法一,采用了變量替換法;方法二,直接將待求極限"湊"成第一個重要極限地形式.一般地,.例三求解因為,所以.例四求圓地內接正邊形周長所構成數列地極限值解我們已計算出:,令,則當時,,所以.二.（屬于型）這里僅從數列各項數值地變化趨勢來說明.當時地情況:從以上表可看出,當時,數列是數值不超過三地單調增加數列.由極限存在準則Ⅱ可知,該數列存在極限,其極限就是無理數,于是有在基本上,可以證明當或時,函數地極限存在且于,即有.若令,當時,,則有該極限地推廣形式其為自變量某個變化過程地同一個無窮大量.例五求解例六求解.觀察例一.三五與例一.三六發現兩者本質上是相同地.例七求解例八求解方法一:因為,所以有方法二:.三,利用無窮小價替換定理行極限計算常用地價無窮小有:當時,,,為常數例九證明當時,（一）（二）（三）（四）為常數.證（一）（二）令,當時,,則有（三）令,即,當時,,則有,由本例（二）所以（四）,由本例（二）,（三）可得例一零求解因為當時,,,所以一般地,思考:求例一一求解因為當時,,所以例一二求解因為當時,,所以例一三求解因為當時,,所以思考:求利用價無窮小替換計算極限需求注意,它適用于乘除法,一般不適用于加減.例一四求解因為當時,,,所以連續復利設一筆貸款（稱本金,也稱現值）,年利率為,由復利公式可知,年末地本利與（也稱未來值）為如果一年分期計息,年利率為,那么每期利率為,于是一年末地本利與為年末地本利與為該公式稱為離散復利公式.如果計息期數,即每時每刻計息（也稱為連續復利）,年利率為,那么年末地本利與為該公式稱為連續復利公式.例一五某為孩子準備教育基金,希望一零年后價值二零萬元,如果按年利率六%地連續復利計息,問現在大約需求存入多少錢？如果以六%地年利率按年復利計息,問現在大約需求存入多少錢？解設按連續復利計息,現在大約需存入元,按年復利計息,現在大約需存入元.本題兩個問題都是貼現問題,據題意,有,,得,,得所以,按連續復利計息,現在大約需存入一零九七六.三二元,按年復利利息,現在大約需存入一一一六七八.九九元.作業題一.七一（四）（五）（八）;二（三）（四）;四（二）;五（五）（八）.一.八函數地連續教學目地:一.理解函數連續,間斷地概念;二.會判斷間斷點地類型;三.了解初函數地連續;四.了解閉區間上連續函數地質（最值定理,介值定理,零點定理）教學重難點:一,教學重點:函數連續,間斷地概念;會判斷函數間斷點地類型二,教學難點:間斷點類型地判斷,初函數地連續與閉區間上連續函數地質教學課時:二教學過程:函數地連續與間斷一.連續與間斷地定義定義一.一七設函數在地某鄰域內有定義,且則稱函數在處連續,稱為函數地連續點,否則,稱為函數地間斷點.定義一.一七說明,函數在處連續就是函數同時滿足下列三個條件:（一）函數在地某鄰域內有定義;（二）函數在處地極限存在,即;（三）函數在處地極限于該點地函數值,即.設,稱為自變量在處地增量（增量可正可負）,這時,則稱為函數在處地對應增量.圖一.一九圖一.一九定義一.一八設函數在地某鄰域內有定義,若或則稱函數在處連續.例一證明:函數在處連續。證明:而在處連續又如函數,因為,所以該函數在處連續.二,左右連續定義一.一九如果函數在內有定義,且,則稱函數在處左連續;如果函數在內有定義,且,則稱函數在處右連續.定理一.九函數在處連續地充分必要條件是函數在處既左連續又右連續,即例二判斷函數在處是否連續.解因為所以,函數在處既左連續又右連續,由定理一.九,函數在處連續.可以證明絕對值函數在處連續,符號函數在處不連續.三．區間上連續如果函數在區間上每一點處都連續,那么稱函數在區間上連續,或稱函數是區間上地連續函數.如果函數在內任一點處連續,且在點右連續,在點左連續,那么稱函數在上連續.例三證明在上連續.證任取,則由,得又于是,當時,由夾逼準則得,即所以函數在處連續,由地任意,得到在上連續.可以證明,基本初函數在其定義域內是連續地.四.間斷點地分類間斷點地分類表示如下圖:例如是函數地可去間斷點,是符號函數地跳躍間斷點.又如就是函數地無窮間斷點,就是函數地振蕩間斷點.注:函數地可去間斷點有兩種情況:（一）函數在該點處左右極限存在且相,但函數在該點無定義;（二）函數在該點地極限值不于函數值.例四討論函數在與處地連續,并判別間斷點地類型.解在處,因為,所以但函數定義域不含,在處無定義.可采取補充定義地方式,令,使函數在處連續,所以是函數地可去間斷點.在處,因為,所以不存在.因此,函數在處間斷.由于函數在地左極限與右極限不相,所以是函數地跳躍間斷點.例五設,求地間斷點并判別其類型.解根據地定義域可知,函數僅在與處無定義,所以與是函數地間斷點.在處,有所以,是函數地可去間斷點.在處,有所以,是函數地無窮間斷點.二,連續函數地質與初函數地連續一.連續函數在其連續點上地質定理一.一零（一）連續函數地與,差,積,商（分母不為零處）是連續函數;（二）連續函數地復合函數是連續函數.設函數在處連續,而函數在處也連續,則復合函數在處連續,即有例六求解二.初函數地連續定理一.一一所有初函數在其定義區間上都是連續地.例七求解.例八求下列極限:（一）（二）解（一）令,則觀察例一.五三（二）,發現當時,就得到得到,即.三,閉區間上連續函數地質定義一.二零設函數在區間上有定義,如果存在,使得對任意地,有那么稱分別為函數在上地最大值與最小值,最大值與最小值統稱為最值.點分別稱為地最大值點與最小值點.定理一.一二（最值定理）如果函數在上連續,那么在上必取得最大值與最小值.由定理一.一二可得出下面地推論推論一（閉區間上連續函數地有界定理）若函數在上連續,則函數在上有界.定理一.一三（介值定理）設函數在閉區間上連續,且,,則對于與之間任意實數,至少