課題：必修5§3.1不等式與不等關(guān)系第1課時

授課類型：新授課日期：20年月日授課老師：高一數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：通過具體情景，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式

（組）的實際背景，掌握不等式的基本性質(zhì)；

2.過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；

3.情態(tài)與價值：通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。

【教學(xué)重點】用不等式（組）表示實際問題的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題。

理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值。

【教學(xué)難點】用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入:在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系。如兩點之間線段

最短，三角形兩邊之和大于第三邊，等等。人們還經(jīng)常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、

不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來表示不

等關(guān)系。

下面我們首先來看如何利用不等式來表示不等關(guān)系。

2講授新課

1）用不等式表示不等關(guān)系：引例1：限速40km/h的路標(biāo)，指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的

速度v不超過40km/h,寫成不等式就是：v<40

引例2：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于

2.3%,寫成不等式組就是一一用不等式組來表示

f<2.5%

'pN2.3%

問題1：設(shè)點A與平面a的距離為d,B為平面a上的任意一點，則〃W|A8|。

問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元,

銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入

仍不低于20萬元呢？

解：設(shè)雜志社的定價為x元，則銷售的總收入為（8-2常x0.2）x萬元，那么不等關(guān)系“銷售的總

_o5

收入仍不低于20萬元”可以表示為不等式（8-土r渣x0.2）xN20

問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產(chǎn)的要求，600mm的數(shù)

量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢？

解：假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：

（1）截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm;

（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；

（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負。

5OOx+600y<4000;

要同時滿足上述的三個不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：3x2X

x>0;

y>0.

3.南壁練習(xí)：1、試舉幾個現(xiàn)實生活中與不等式有關(guān)的例子。

1

2、課本P82的練習(xí)1、2

4.課時小結(jié):用不等式（組）表示實際問題的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題。

5.作業(yè):課本P83習(xí)題3.1[A組]第4、5題

【板書設(shè)計】

【課后反思】

2

課題：必修5§3.1不等式與不等關(guān)系第2課時

授課類型：新授課日期：20年月日授課老師：高一數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；

2.過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；

3.情態(tài)與價值：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.

【教學(xué)重點】掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；

【教學(xué)難點】利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入:在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過不等式的一些基本性質(zhì)。請同學(xué)們回憶初中不等式的的基本性

質(zhì)。

(1)不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，不等號的方向不改變；即若a>〃na±c>。土c

(2)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不改變；即若"c>0nac>反

(3)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變。即若"c<0nac<A

2講授新課:

1、不等式的基本性質(zhì)：同學(xué)們能證明以上的不等式的基本性質(zhì)嗎？

于是，我們就得到了不等式的基本性質(zhì)：(1)a>b,b>c=>a>c(2)a>h^>a+c>b+c

(3)a>b,c>0=>ac>be(4)a>b,cac<bc

2、探索研究：思考，利用上述不等式的性質(zhì)，證明不等式的下列性質(zhì)：(1)a>b,c>d^a+c>h+d；

(2)a>b>0,od>0=>ac>bd；(3)a>b>0,nGN,n>Ina">b";夜>加。

［范例講解］:例1、已知a>b>0,c<0,求證:.

ab

1II11c

證明：以為a>人>0,所以ab>0,—>0。于是ax->bx—,即一>—由c<0,得c一>—

abababbaab

3.隨堂練習(xí)1：1、課本P82的練習(xí)3

2、在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍枺?/p>

(1)(V3+V2)26+276；(2)(V3—V2)"_(瓜—1)"；

⑶V5-2—V6-V5(4)當(dāng)a>8>0時,log]a__logxb

22

4.答案：(1)V(2)<(3)<(4)<

［補充例題］

例2、比較(a+3)(a—5)與(a+2)(a—4)的大小。

分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類

項之后，判斷差值正負(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)。根據(jù)實數(shù)運

算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小。比較兩個實數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算符號問題。

解：由題意可知：(a+3)(a—5)—(a+2)(a—4)=(a2—2a—15)—(a2—2a—8)=—7

<0

3

(a+3)(a—5)<(a+2)(a—4)

隨堂練習(xí)2比較大小：(1)(x+5)(x+7)與(x+6)2

(2)J+5犬+6與+5x+9

4.課時小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明了一些簡單的不等式，還研究了如何比較兩個實

數(shù)(代數(shù)式)的大小一一作差法，其具體解題步驟可歸納為：

第一步：作差并化簡，其目標(biāo)應(yīng)是〃個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；

第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時須進行討論；

第三步：得出結(jié)論

5.作業(yè):課本P83習(xí)題3.1［A組］第2、3題；［B組］第1題

【板書設(shè)計】

【課后反思】

4

課題:必修5§3.2一元二次不等式及其解法第1課時

授課類型：新授課日期：20年月日授課老師：高一數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握圖象法解一元二次不

等式的方法；培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)分類討論的思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；

2.過程與方法：經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次

不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法；

3.情態(tài)與價值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普

遍聯(lián)系的辯證思想。

【教學(xué)重點】京氨示情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教學(xué)難點】理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入:從實際情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84互聯(lián)網(wǎng)的收費問題

教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，最后得到一元二次不等式模型：X2-5X<0............(1)

2.講授新課

1)一元二次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二

次不等式

2)探究一元二次不等式5x<0的解集：怎樣求不等式(1)的解集呢？

探究：(1)二次方程的根與二次函數(shù)的零點的關(guān)系：容易知道：二次方程的有兩個實

數(shù)根：玉=0,々=5二次函數(shù)有兩個零點：xt=0,x2=5

于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點。

(2)觀察圖象，獲得解集畫出二次函數(shù)>=/一5x的圖象，如圖，觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x<0,

或x>5時，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時，y>0,即一5%>0；當(dāng)0<x<5時，函數(shù)圖象位于x軸下方,

此時，y<0,即x2-5x<0；

所以，不等式f—5x<0的解集是{x[0<x<5},從而解決了本節(jié)開始時提出的問題。

3)探究一般的一元二次不等式的解法：任意的一元二次不等式，總可以化為以下兩種形式：

ax2+bx+c>Q,(a>0)或加+bx+c<Q,(a>Q)

一般地，怎樣確定一元二次不等式ax?+bx+c>0與以*+bx+c<0的解集呢？

組織討論：從上面的例子出發(fā)，綜合學(xué)生的意見，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關(guān)鍵要考

慮以下兩點：

(1)拋物線卜=以2+笈+。與X軸的相關(guān)位置的情況，也就是一元二次方程62+加+c=0的根的情況

(2)拋物線丁=公2+加:+C的開口方向，也就是a的符號

總結(jié)討論結(jié)果：要分二種情況討論

(1)拋物線y=ax1+bx+c(a>0)與x軸的相關(guān)位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程

5

—+笈+c=0的判別式△=〃-4ac三種取值情況(20,A=0,A<0)來確定.

(2)a<0可以轉(zhuǎn)化為a>0分△>()，A=0，A<0,得到一元二次不等式

ax2+Zu+c>0或or?+/u+c<O（aHO）的解集:

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ox?+以+。=0(。/0)的兩根為％、馬且占A%，八=從-4ac,則不等式的解

的各種情況如下表：(讓學(xué)生獨立完成課本第86頁的表格)

A>0A=0A<0

y=ax2+0x+cy=ax2+bx+cy=ax2+bx+c

二次函數(shù)

廿Iu

y=ax2+bx+c

（?>0）的圖象

-----X

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax2+0x+c=0b

x,x{x<x)Xi=X=---無實根

(a>0的根]2]292a

ax2-hbx+c>0[b

（x|x<x1glu>x2}<xx^--->

3>0）的解集[2aR

cue2+bx+c<0

{小1<X<x2}0

3>o）的解集0

[范例講解]

例2(課本第87頁)求不等式4——4x+l>0的解集.

解：因為△=0,方程4--4x+l=0的解是％=%=g.所以，原不等式的解集是，x

例3(課本第88頁)解不等式--+2%-3>0.

解：整理，得/_2X+3<0.

因為△<(),方程Y-2X+3=0無實數(shù)解，所以不等式--2*+3<°的解集是0

從而，原不等式的解集是0.

3.隨堂練習(xí):課本第89的練習(xí)1(1)、(3)、(5)、(7)

4.課時小結(jié)

解一元二次不等式的步驟：

6

①將二次項系數(shù)化為"+"：A=ax2+bx+c>0(或<0)(a>0)

②計算判別式△,分析不等式的解的情況:

若4>0,則x<2或〉x2；

i.△>0時,求根x{<x2,

若4<0,貝如<x<々.

若A>0,則xwxo的一切實數(shù);

ii.A=0時,求根X]==4，<若A<0,則xr。

若AKO,則x=x0.

若A>0,則xeH；

iii.A<0時,方程無解，<

若A<0,貝卜e

③寫出解集.

5.作業(yè):課本第89頁習(xí)題3.2[A]組第1題

【板書設(shè)計】

【課后反思】

7

課題：必修5§3.2一元二次不等式及其解法第2課時

授課類型：新授課日期：20年月日授課老師：高一數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系；進一步熟練解一元二次不

等式的解法；

2.過程與否法：培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；

3.情態(tài)與價值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會從不同側(cè)面

觀察同一事物思想

【薪學(xué)重點】熟彖掌握一元二次不等式的解法

【教學(xué)難點】理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入：1.一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)關(guān)系2.一元二次不等式解法步驟一

課本第86頁的表格

2.講授新課

［范例講解］例1某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車的速度xkm/h有如下的關(guān)系：

在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的速度是多少？（精確

到0.01km/h）

解：設(shè)這輛汽車剎車前的速度至少為xkm/h,根據(jù)題意，我們得到,元+―匚/>39.5

移項整理得：X2+9X-7110>0［/

顯然A>0,方程7110=0有兩個實數(shù)根，即；

x產(chǎn)一88.94,々“79.94。所以不等式的解集為{x|x<—88.94,昵>79.94}

在這個實際問題中，x>0,所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.

例4、一個汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（輛）與

創(chuàng)造的價值y（元）之間有如下的關(guān)系：y=-2x2+22Qx

若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)

多少輛摩托車？

解：設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到

-2x2+220%>6000，

y="-iiox+3aoo

移項整理，得V—U0x+3000<0因為AMIOO〉。，所以方程了2一110%+3000=0有；

10

~O10：0304051）60X

兩個實數(shù)根斗=50,々=60由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：50<x<60V

因為x只能取正整數(shù)，所以，當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51—59輛

之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。

3.隨堂練習(xí)1：課本第89頁練習(xí)2

［補充例題］

▲應(yīng)用一（一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系）例：設(shè)不等式辦2+區(qū)+1>。的解集為

8

{x|-1<x<1},求a.沙？

▲應(yīng)用二（一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系）

例:A={x|x2-4x+3<0},B={x|x2-2x+a-8<0},且求a的取值范圍.

改：設(shè)X?-2x+a-8?0對于一切XG（1,3）都成立，求。的范圍.

改：若方程d-2x+a-8=0有兩個實根Xi，/，且王23,x2<\,求〃的范圍.

隨堂練習(xí)2

1、已知二次不等式加+Z?x+c<0的解集為{x[x<j?或x>4},求關(guān)于x的不等式cf一笈+a>o的解

集.

2、若關(guān)于加的不等式〃請-（2根+l）x+m-120的解集為空集，求m的取值范圍.

改1：解集非空

改2：解集為一切實數(shù)

4.課時小結(jié)

進一步熟練掌握一元二次不等式的解法

一元二次不等式與一元二次方程以及一元二次函數(shù)的關(guān)系

5.作業(yè)

課本第89頁的習(xí)題3.2[A]組第3、5題

【板書設(shè)計】

【課后反思】

9

課題：必修5§3.4基本不等式而K*第1課時

2

授課類型：新授課日期：20年月日授課老師：高一數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】1.知識與技能：學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不

等號取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3.情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

【教學(xué)重點】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式疝<色也的證明過程；

2

【教學(xué)難點】基本不等式而《生史等號成立條件

2

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入:基本不等式"2的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是

2

根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個

圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。

2.講授新課

1.探究圖形中的不等關(guān)系：將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角

形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為后壽。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積

為/+從。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：cr+b2>2ab.

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有/+〃=2ab。

2.得到結(jié)論：一般的，如果a/eR,那么/+力222a伙當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取"="號)

3.思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為a2+b2-2ab=(a-b)2

當(dāng)Qw卻寸,(Q-Z?)2>0,當(dāng)Q=〃時,(々一〃)2=0,所以,(a-b)2>0,即(/4-Z?2)>2ab.

4."從幾何圖形的面積關(guān)系認識基本不等式J拓《空

2

特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b,可得a+茄，通常我們把上式寫作：7^<—(a>0,b>0)

2

2)從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式疝4竺用分析法證明：要證—(1)只要證a+b?

22

(2)

要證(2),只要證a+b->0(3)要證(3),只要證(-)2(4)

顯然，(4)是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，(4)中的等號成立.

3)理解基本不等式瘋4竺2的幾何意義

2

探究：課本第110頁的“探究”

在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE,

連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式J拓W空的幾何解釋嗎？

2

易證Rt/\ACMRt/\DCB,那么CG=CA>C8即CD=/ab.

10

這個圓的半徑為它大于或等于切，即里把之」拓，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即a=6時，等號成

22

立.

因此：基本不等式，石M空或幾何意義是“半徑不小于半弦”

2

評述：1.如果把幺也看作是正數(shù)a、6的等差中項，J茄看作是正數(shù)a、6的等比中項，那么該定理可以敘述為：

2

兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

2.在數(shù)學(xué)中，我們稱"2為a、6的算術(shù)平均數(shù)，稱而為a、6的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個

2

正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

[補充例題]例1已知x、y都是正數(shù)，求證：⑴工+'22；(2)(x+y)(/+/)(/+/)8

xy

分析：巴吆2疝時，注意條件a、6均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進行變形.

2

解：??"，y都是正數(shù)???二>(),->0,f>0,/>0,%>0,/>0⑴二+222|=2即土+222.

yxyx'yxyx

(2)x+y>2y[xy>0xy]x2y2>0x+y^2^x3y3>0(x+y)(x+y)(x+y)》

2歷?2j/y2.=8辦即(x+y)(/+/)(/+/)>8//

3.隨堂練習(xí)

1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證：(a+力)(b+c)(c+a)8abc

分析：對于此類題目，選擇定理：空叱2而(a>0,6>0)靈活變形，可求得結(jié)果.

2

解：Va,b,。都是正數(shù)二a+822>0b+C21be>0c+a22J〃c>0

，(a+Z?)(b+c)(c+a)^2y[ab?2y[bc?2y[ac=8abc

即(a+6)Cb+c)(c+a)8abc.

4.課時小結(jié)

本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式才+6222a6；兩正數(shù)a、6的算術(shù)平均數(shù)(絲^),兒何平均數(shù)(J益)及

2

它們的關(guān)系(幺吆》/拓).它們成立的條件不同，前者只要求a、6都是實數(shù)，而后者要求a、6都是正數(shù).它們

2

既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面

的等價變形來解決問題：+/~,abW(巴心)；

22

5.作業(yè)

課本第113頁習(xí)題[A]組的第1題

【板書設(shè)計】【課后反思】

11

課題：必修5§3.4基本不等式疝4史次第2課時

2

授課類型：新授課日期：20年月日授課老師：高一數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：掌握基本不等式J拓《色也；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問

2

題

2.過程與方法：兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式疝〈竺并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小

2

值。

3.情態(tài)與價值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。

【教學(xué)重點】基本不等式Jiw"的應(yīng)用

2

【教學(xué)難點】利用基本不等式瘋4”求最大值、最小值。

2

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入：重要不等式：如果a,beR,那么/+/z2"(當(dāng)且僅當(dāng)a時取"="號)

2.基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么”22旅(當(dāng)且僅當(dāng)?=8時取'="號).

2

3.我們稱生心為a力的算術(shù)平均數(shù)，稱J法為。力的幾何平均數(shù).

2

a-+b222a8和竺22J方成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。

2

2.講授新課:例1(1)用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。

最短的籬笆是多少？(2)段長為36m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜

園的面積最大，最大面積是多少？

解：(1)設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,則xy=100,籬笆的長為2(x+y)m。由苫上》歷，

可得x+>>>2V100,2(%+y)>40,,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時x=y=10.

因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.

(2)解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm,則長為(36—2x)m,其中0〈了〈1，其面積S=x(36—2x)?2x(36

22

1。I。。二2

—2x)X__——當(dāng)且僅當(dāng)2x=36—2x,即x=9時菜園面積最大，即菜園長9nb寬為9m時菜園

228

面積最大為81m~

解法二：設(shè)矩形菜園長為xm.,寬為ym,2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜園的面積為xym2o由

而0主吆=當(dāng)=9,可得孫<81當(dāng)且僅當(dāng)x二y,即x=y=9時，等號成立。因此，長、寬都為9m時，菜園的

面積最大，最大面積是81m2

12

歸納：1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a,6CR+,且a+6=M,M為定值，則瑟

4

等號當(dāng)且僅當(dāng)a=6時成立.

2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a,6GR,且仍=只〃為定值，則a+后29，

等號當(dāng)且僅當(dāng)a=6時成立.

例2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元，池壁

每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不

等式定理。

解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm,水池的總造價為/元，根據(jù)題意，得

I=240000+720(x+空9)之240000+720x

X

=240000+720x2x40=297600

當(dāng)X=即X=40時，/有最小值2976000.

x

因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元

評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最

值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。

歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：

(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題：

(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

(4)正確寫出答案.

3.隨堂練習(xí)

Q1

1.已知xWO,當(dāng)x取什么值時，/+與的值最小?最小值是多少？

x

2.課本第113頁的練習(xí)1、2、3、4

4.課時小結(jié)

本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求

函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均

為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相

等，取得最值.即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等。

5.作業(yè)

課本第113頁習(xí)題［A］組的第2、4題

【板書設(shè)計】

【課后反思】

13

課題：必修5§3.4基本不等式向W”^第3課時

2

授課類型：新授課日期：20年月日授課老師：高一數(shù)學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：基本不等式J益4色也；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值，能夠解決一些簡單的實際問題；

2

2.過程與方法：通過例題的研究，進一步掌握基本不等式疝4”2,并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小

2

值。

3.情態(tài)與價值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。

【教學(xué)重點】掌握基本不等式疝會用此不等式證明不等式，會用此不等式求某些函數(shù)的最值

2

【教學(xué)難點】利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值。

【教學(xué)過程】

1.課題導(dǎo)入：I.基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么幺?茄（當(dāng)且僅當(dāng)《=8時取"="號）.

2.用基本不等式而M色也求最大（小）值的步驟。

2

2.講授新課

24

1）利用基本不等式證明不等式：例1已知m>0,求證一+6加224。

m

［思維切入］因為m>0,所以可把2三4和6帆分別看作基本不等式中的a和b,直接利用基本不等式。

m

［證明