PAGE數學(一)試題第4頁(共13頁)2002年考研數學一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】 原式(2)【分析】 方程兩邊對兩次求導得 ① ②以代入原方程得,以代入①得,再以代入②得(3)【分析】 這是二階的可降階微分方程. 令(以為自變量),則代入方程得 ,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得 積分得 即(對應);由時得于是 積分得.又由得所求特解為(4)【分析】 因為二次型經正交變換化為標準型時,標準形中平方項的系數就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】 設事件表示“二次方程無實根”,則依題意,有 而 即 二、選擇題(1)【分析】 這是討論函數的連續性,可偏導性,可微性及偏導數的連續性之間的關系.我們知道,的兩個偏導數連續是可微的充分條件,若可微則必連續,故選(A).(2)【分析】 由充分大時即時,且不妨認為因而所考慮級數是交錯級數,但不能保證的單調性.按定義考察部分和 原級數收斂. 進一步分析可知,若令,而則的分布函數恰是 三、【解】 用洛必達法則.由題設條件知 由于,故必有又由洛必達法則 及,則有. 綜上,得四、【解】 由已知條件得 故所求切線方程為.由導數定義及數列極限與函數極限的關系可得 五、【分析與求解】 是正方形區域如圖.因在上被積函數分塊表示 于是要用分塊積分法,用將分成兩塊: (關于對稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】 (1)易知原函數,在上原函數,即.積分在與路徑無關.(2)因找到了原函數,立即可得七、【證明】 與書上解答略有不同,參見數三2002第七題(1)因為冪級數的收斂域是,因而可在上逐項求導數,得,,所以 .(2)與相應的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當時,有于是冪級數的和函數為八、【分析與求解】 (1)由梯度向量的重要性質:函數在點處沿該點的梯度方向 方向導數取最大值即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點在條件下的最大值點. 這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數 則有 解此方程組:將①式與②式相加得或 若,則由③式得即若由①或②均得,代入③式得即于是得可能的條件極值點 現比較在這些點的函數值: 因為實際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點.九、【解】 由線性無關及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎解系中只包含一個向量.那么由 知,的基礎解系是 再由知,是的一個特解.故的通解是其中為任意常數.十、【解】 (1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故 (2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知與不相似.(3)由均為實對稱矩陣知,均相似于對角陣,若的特征多項式相等,記特征多項式的根為則有相似于也相似于即存在可逆矩陣,使于是由為可逆矩陣知,與相似.十一、【解】 由于依題意,服從二項分布,則有 十二、【