第十三講函數與方程

一、選擇題

1.函數f(x)=x+lgx—3的零點所在的區間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,+oo)

解析：易知函數f(x)=x+lgx-3在定義域上是增函數，

f(l)=l+0—3V0,

f(2)=2+lg2-3<0,

f(3)=3+lg3-3>0,

故函數f(x)=x+lgx-3的零點所在的區間為(2,3),故選C.

答案C

2.下列函數中，有零點但不能用二分法求零點近似解的是()

…——x+l,x>0…2^1,

①y=3x2—2x+5；②y；(3)y=-+l：④y=x3—2x+3；(5)y=rx2+4x+8.

x+l,x<0x/

A.①②③B.⑤

C.①⑤D.①④

解析：⑤中y=3x2+4x+8,A=0,不滿足二分法求函數零點的條件.故選B.

答案B

3.一元二次方程幺-5x+l-，〃=0的兩根均大于2,則實數加的取值范圍是()

A.B.(―°o,-5)C.%D.-卜

解析：設=

則二次函數y=/(x)的圖象開口向上，對稱軸為直線x=g>2.

由于一元二次方程丁-58+1-m=0的兩根均大于2，

［A八=22)5=--4〃(1二-m>)。>0，解得一721‘"一5’

則〈

21

因此，實數〃?的取值范圍是一^，3

答案C

4.已知函數f(x)=x3+2x-8的零點用二分法計算，附近的函數值參考數據如表所示:

X121.51.751.6251.6875

f(X)-5.004.00-1.630.86-0.460.18

則方程x3+2x-8=0的近似解可取為(精確度0.1)()

A.1.50B.1.66C.1.70D.1.75

解析：?.?/(1.625)<0,/(1.6975)>0

近似解可取為1625+168751g6,選區

2

答案B

5.若函數〃x)=2'-如2(》<0)的零點為七,且/?a,a+l),aeZ,則。的值為().

A.-1B.-2C.-3D.-4

解析：因為函數f(x)在(-8,。)單調遞增,

因為/(-1)=2-得(-1)2>0,/(-2)=2-2-^(-2)2=1-1>0,

f(-3)=2-3_-L(_3y=1-2<0,

')20、"820

所以毛€(-3,-2),所以q=-3.

答案C

6.若廝是方程(1)*=%的解，則與屬于區間()

fiY1

解析：令g(x)=-,/(x)=x3

k2；

則g(0)=i"0)=。得鈔?出，舟眇詞系

結合圖象可得

答案c

7.設函數/(x)=爐-2,用二分法求/(x)=0的一個近似解時，第1步確定了一個區間為卜，｝到第3

步時，求得的近似解所在的區間應該是()

1123、

解析：?.-/(1)=-1<0,乂|卜卜。，/圖=3<。,

(53、

第2步所得零點所在區間為了,；；

(42；

取區間但目的中點2+4”,

(42；x=-y~=G

因此，第3步求得的近似解所在的區間應該是

答案C

8.已知方是函數/(x)=2*+的一個零點，若%?1,不),%?/+8),則()

1-X

B./(%)<0,“￡)>()

A./(%,)<(),/(%2)<()

c./(%)>(),/伍)<()D./(^)>0,/(%2)>0

解析：因為X。是函數/(x)=2、+」一的一個零點，則不是函數y=2、與y=」一的交點的橫坐標,畫出函

l-xx-1

數圖像，如圖所示，

則當玉6(1,毛)時,丁=2、在丁=」7下方,即/(西)<0；

X-1

當與G(y,+8)時,>=2"在>=上方，即"/）>0,

x-1

答案B

x>0

9.已知/（x）=<'，若關于X的方程/2（x）—3/（幻+。=03€/?）有6個不等的實數根,

—x—2x+1,xW0

則。的值是（）.

A.0B.1C.6D.2

尸1r>0

解析：函數/（尤）=<2'的圖象如圖所示，

—x~—2x+1,x<0

令于(x)=t,由題意可知：

方程產一3f+a=0有兩個不同的實數根。6(1,2),f2G(2,e)或％=1,t2=2,

由于：+芍=3,故4=1,力=2,

令gQ)=r-3r+a,所以a=2.

答案D

2-x,x<0

10.已知函數/(x)=41,g(x)=/(x)-x-a.若g(x)有2個零點，

In—,x>0

.x

則實數。的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-l,+oo)D.

解析：令g(x)=O可得〃x)=x+a,作出函數y=/(x)與函數y=x+。的圖象如下圖所示:

由上圖可知，當時，函數y=/(x)與函數y=x+a的圖象有2個交點，

此時，函數y=g(x)有2個零點

.因此，實數。的取值范圍是［1,+8).

答案D

H.對于定義在R上的函數/(X),若存在非零實數%,使函數/(X)在和(天,+8)上與X軸都

有交點，則稱/為函數/(X)的一個“界點”.則下列函數中，不存咨“界點”的是()

A./(x)=—x2+bx+lB./(x)=|x+l|-2

C./(x)=x-sinxD./(x)=2V—x1

解析：A項中，f(x)=-x2+bx+l,其對應二次方程的判別式△=U+4>o，

因此/(x)與%軸有兩個不同的交點，故/(x)有“界點”；

B項中，/(%)=卜+1|-2,令人>)=0,解得x=l或一3,故Ax)有“界點”；

C項中，/(x)=x-sinx,f'(x)=l-cosx>0,

則/(x)在R上單調遞增，因此與x軸不可能有兩個交點，故/(幻沒有“界點”；

D項中，=則2和4均為函數/(x)的零點，故/(X)有“界點”.

答案C

—X2(0<A:<2)

16')

12.已知函數y=/(x)為R上的偶函數，當尤20時二函數/(x)=<若關于x的方程

x>2)

[/(x)y+4(x)+b=0(aSeH)有且僅有6個不同的實數根，則實數a的取值范圍是()

解析：由題意，作出函數y=/(x)的圖像如下,

-4-3-2-1o1234

由圖像可得，0W/(X)W/(2)=L,

4

?.?關于x的方程[/(x)]2+afM+b=O(a,beR)有且僅有6個不同的實數根，

設=/+a/+b=O有兩個根，不妨設為乙，，2；且g=；，0<J<；,

又?.」a=4+z2,

答案B

.Ilog,x|,x>0,?、

13.已知函數/(x)={,?八關于x的方程/(%)=機，meR,有四個不同的實數解%,%2，占，%4,

-x-2x,x<0.

則％+X2+X3+Z的取值范圍為()

A.(0,+oo)bD.(l,+8)

-H）c-（埒）

解析：因為/（工）=杷中斗大>。，可作函數圖象如下所示:

-X2-2X,X<0.

依題意關于X的方程=有四個不同的實數解玉,々,七，/，

即函數y=/（x）與y=m的圖象有四個不同的交點，

由圖可知令玉<一1</<0<；<芻<1<%4<2,

則%+工2=-2，-log2Xj=log2x4,gplog2Xj+log2x4=0,

I1z、

所以玉工4=1,則芻=一，x4e(l,2)

X4

c1/、

所以玉+尤2+七+%=-2+—+%，X4G(1,2),

X4

因為y=g+x，在xe（i，2）上單調遞增，

所以ye（2,g，即7—1+X4/2，U,

X]+/+%3+X4=-2H----bX4€I0,

ZvI

答案B

二、填空題

14.若關于x的方程|2'-2|-人=0有兩個不同的實數解，則實數b的取值范圍是.

解析：令*2卜==0,得|2'-2卜。，

由題意可知函數丁=|2"-2］與>=b的圖象有兩個交點，

結合函數圖象（如圖），可知，0<Z?<2.

答案（0,2）

15.若函數f（x）=ax-x-a（a>0,且存1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是.

解析：函數f（x）=a，-x—a（a>0,且a#l）有兩個零點，

就是函數y=ax（a>0且a?U）與函數y=x+a的圖象有兩個交點，

由圖象可知當（Xa<l時兩函數的圖象只有一個交點，不符合；

當a>l時，因為函數y=a*（a>l）的圖象過點（0,1）,

當直線y=x+a與y軸的交點（0,a）在（0,1）的上方時一定有兩個交點.

所以a>l.

答案（1,+oo）

16.關于x的一元二次方程f+（加一1次+1=0在區間［0,2］上有實數解則實數m的取值范圍為

解析：?.?關于x的二次方程—l）x+l=0在區間［0,2］上有實根,

二.XWO,且W+1=(1一即1一根=X+工，

X

故函數y=x+L的圖象和直線y=l-m在區間［0,2］上有交點.

x

?.?當％=1時，在區間10,2］上函數y=x+1取得最小值為2,函數)，無最大值,

：.m,,—1.

答案

三、解答題

17.已知函數f(x)=x2—bx+3.

(1)若我0)=44),求函數f(x)的零點；

(2)若函數f(x)一個零點大于1,另一個零點小于1,求b的取值范圍.

解析：(1)由f(0)=f(4),得3=16—4b+3,即b=4,

所以f(x)=x2—4x+3,令f(x)=O,

即x2—4x+3=0,得xi=3,X2=l,

所以f(x)的零點是1和3.

(2)因為f(x)的零點一個大于1,另一個小于1,如圖.

需f(l)<0,即l-b+3<0,所以b>4.

故b的取值范圍為(4,+oo).

答案⑴1,3(2)(4,+8)

18.已知二次函數/(%)=爐-2mx+2機+3

(l)xe［O,l］時，求函數“X)的最小值

(2)若函數/(x)有兩個零點，在區間(—2,0)上只有一個零點，求實數加取值范圍

解析：⑴函數/(X)對稱軸為X=〃2,

當加<0時，/(x)在［0,1］單調遞增，故/。濡=/(0)=2加+3

0<"W1時，/(X)在［0,1］先減后增，故/(X)min=/(根)=一.++3

心1時,/(x)在［0,1］單調遞減，故—=/■⑴=4

2m+3(m<0)

/?/(尤)min=<一加2+2〃2+3(0<m<1)o

4(m>1)

(2)函數/。)=尤2-2〃優+2m+3,在區間(一2,0)上只有一個零點，

A/(-2)./(0)<0,得一3:<加<一7:.

26

7

考慮邊界情況：由/(—2)=0,得加=一二，

6

,、272

??f(X)—XH--XH--，

33

?二九=一2或%=一工，

3

7八3

.?.根=一二滿足，由/(0)=0,得加二一一,

二/(x)=x?+3x，x=-3或％=0,

337

mw——綜上，得---<7%<——

22一6

2m+3(m<0)

37

答案(1)答工)而n<-m2+2m4-3(0<m<1](2)——<m<——

26

4(m>1)

19.已知定義在R上的函數/(刈=幺二!■(?>()).

a