學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精江蘇省贛榆高級中學2012屆高三數學期末模擬試卷一、填空題1．已知集合,,則．2．已知復數的實部為,模為，則復數的虛部是．3．若函數在上是增函數,則m的取值范圍是．4．已知關于的不等式的解集為，若，則實數的取值范圍是．5．若點在直線上，則．6．數列｛}的前項和，則．7．若函數的導函數為，則函數的單調遞減區間為．8．某校開展了豐富多彩的校本課程，甲、乙兩班各隨機抽取10名學生的學分，用莖葉圖表示(如圖所示），若、分別表示甲、乙兩班各自10名學生學分的標準差，則（請填“＜”，“＝"，“＞”）9．如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是．0101267880280228798762010第8題圖第9題圖10．過直線上的一點作圓的兩條切線，當與關于對稱時，與的夾角為．11．平面向量也叫二維向量，二維向量的坐標表示及其運算可以推廣到n(n≥3)維向量，n維向量可用(x1，x2,x3,x4，…，xn)表示．設＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，＝(b1，b2，b3,b4，…,bn)，規定向量與夾角θ的余弦為,已知n維向量，，當＝（1，1,1，1，…,1)，＝（－1，－1，1,1，1，…，1）時,cosθ等于．12．將邊長為3的正四面體以各頂點為頂點各截去（使截面平行于底面）邊長為1的小正四面體，所得幾何體的表面積為_．13．等腰中，斜邊，一個橢圓以為其中一個焦點，另一個焦點在線段上，且橢圓經過兩點,則該橢圓的離心率為．14．若實數滿足，則的最大值是．二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．(本小題滿分14分)平面直角坐標系中，已知向量且．（1）求與之間的關系式；（2）若，求四邊形的面積．16．（本小題滿分14分）B第16題圖PFEADCB第16題圖PFEADC（1）判斷EF與平面PBC的關系,并證明；（2）當為何值時，DF平面PAC？并證明．18．（本小題滿分16分）已知橢圓的焦距為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設過橢圓頂點，斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且成等比數列，求的值．17．(本小題滿分14分)如圖所示：一吊燈的下圓環直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環呈水平狀態，并且與天花板的距離為2m，在圓環上設置三個等分點A1，A2，A3．點C為上一點(不包含端點O、B)，同時點C與點A1，A2,A3,B均用細繩相連接,且細繩CA1,CA2，CA3的長度相等．設細繩的總長為．（1）設∠CA1O=(rad),將y表示成θ的函數關系式；(2）請你設計，當角θ正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時BC應為多長．BBA1A2COA319．(本小題滿分16分）已知:三次函數,在上單調增，在（—1,2）上單調減，當且僅當時，20070328(1)求函數f（x）的解析式；20070328(2）若函數，求的單調區間．20．(本小題滿分16分）設為關于n的次多項式．數列｛an｝的首項,前n項和為．對于任意的正整數n,都成立．（1)若，求證：數列{an}是等比數列;（2)試確定所有的自然數k，使得數列｛an}能成等差數列．數學Ⅱ（附加題）21．設矩陣，若矩陣的屬于特征值1的一個特征向量為,屬于特征值2的一個特征向量為,求實數的值．22．已知⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別是和（a是非零常數）．（1)將兩圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2）若兩圓的圓心距為eq\r（5)，求a的值．A第23題圖PBMCA第23題圖PBMC⑴求PA的長；⑵求棱PC與平面AMD所成角的正弦值．24．設是給定的正整數，有序數組同時滿足下列條件：①;②對任意的,都有．（1）記為滿足對“任意的，都有”的有序數組的個數，求；（2)記為滿足“存在,使得”的有序數組的個數,求．數學參考答案一、填空題：1．；2．；3．；4．;5．-2；6．；7．[2，4］;8．〈;9．；10．；11．；12．；13．；14．2—log23．二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（本小題滿分14分)平面直角坐標系中，已知向量且．（1）求與之間的關系式；(2）若，求四邊形的面積．【解】（1)由題意得，，………2分因為,所以，即，①…………………4分（2）由題意得，，………………6分因為，所以，即，②………8分由①②得或……………………10分當時，，，則…12分當時，,，則…14分所以，四邊形的面積為16．16．(本小題滿分14分）B第16題圖PFEADCB第16題圖PFEADC（1)判斷EF與平面PBC的關系，并證明；（2）當為何值時，DF平面PAC？并證明．16、（1）作交CD于G，連接EG，則而又平面PBC平面EFG．又EF平面PBC，EF平面PBC．………………6分（2)當時,DF平面PAC．…………8分證明如下：，則F為AB的中點，又AB=AD，AF=，在與中，,，………11分又PA平面ABCD，DF平面ABCD,，平面PAC．………………14分17．(本小題滿分14分）如圖所示:一吊燈的下圓環直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上,圓環呈水平狀態，并且與天花板的距離為2m，在圓環上設置三個等分點A1,A2，A3．點C為上一點(不包含端點O、B），同時點C與點A1，A2,A3,B均用細繩相連接，且細繩CA1，CA2,CA3的長度相等．設細繩的總長為．（1）設∠CA1O=（rad），將y表示成θ的函數關系式；（2）請你設計,當角θ正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時BC應為多長．BBA1A2COA317．(Ⅰ）解:在△COA1中，，，………2分=(）……7分（Ⅱ），令，則………………12分當時，；時，，∵在上是增函數∴當角滿足時，y最小，最小為；此時BCm…16分18．(本小題滿分16分)已知橢圓的焦距為,離心率為．(1）求橢圓的方程；（2）設過橢圓頂點，斜率為k的直線交橢圓于另一點D,交x軸于點E,且成等比數列，求的值．19．(本小題滿分16分)已知:三次函數，在上單調增，在(-1,2）上單調減，當且僅當時,20070328（1)求函數f(x)的解析式；20070328（2)若函數，求的單調區間．解:（1）在上單增，（—1，2）上單減有兩根－1，2…………4分令單調增，單調減故故………………6分（2)∵當m≤－2時，－m≥2，定義域:恒成立,上單增；當時，，定義域：恒成立，上單增當m>－1時，－m〈1，定義域:由得x〉1，由得x<1．故在(1,2），（2,+∞）上單增；在上單減所以當m≤－2時，h(x)在（－m,+∞)上單增；當時，上單增；當m〉－1時,在（1，2),（2，+∞)上單增；在（－m，1）單減………16分20．（本小題滿分16分)設為關于n的次多項式．數列{an｝的首項，前n項和為．對于任意的正整數n，都成立．（1）若，求證：數列{an｝是等比數列;（2）試確定所有的自然數k，使得數列{an}能成等差數列．【證】（1）若，則即為常數，不妨設(c為常數）．因為恒成立，所以，即．而且當時，，①，②①－②得．若an=0，則，…，a1=0,與已知矛盾，所以．故數列｛an｝是首項為1,公比為的等比數列．………………4分【解】（2)（i）若k=0，由（1）知，不符題意,舍去．（ii）若k=1，設(b，c為常數)，當時，，③，④③－④得．……………7分要使數列｛an}是公差為d(d為常數）的等差數列，必須有（常數），而a1=1，故{an｝只能是常數數列，通項公式為an=1，故當k=1時，數列｛an｝能成等差數列，其通項公式為an=1,此時．…9分（iii)若k=2，設（，a，b，c是常數）,當時，，⑤，⑥⑤－⑥得，………………12分要使數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列,必須有，且d=2a，考慮到a1=1,所以．故當k=2時，數列｛an｝能成等差數列，其通項公式為，此時（a為非零常數)．……………14分(iv）當時，若數列｛an}能成等差數列,則的表達式中n的最高次數為2，故數列｛an｝不能成等差數列．綜上得，當且僅當k=1或2時,數列｛an}能成等差數列．……16分數學Ⅱ21．設矩陣,若矩陣的屬于特征值1的一個特征向量為，屬于特征值2的一個特征向量為，求實數的值．【解】由題意得…………6分化簡得所以…………10分22．已知⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別是和(a是非零常數）．(1)將兩圓的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)若兩圓的圓心距為eq\r（5)，求a的值．解：(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．A第23題圖A第23題圖PBMC即(x－1）2＋y2＝1．(3分)由ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ．所以⊙O2的直角坐標方程為x2＋y2＝2ay，即x2＋(y－a）2＝a2．（6分）(2)⊙O1與⊙O2的圓心之間的距離為eq\r(12＋a2）＝eq\r（5),解得a＝±2．…………10分23．在四棱錐P–ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形,PA底面ABCD，點M是棱PC的中點，AM平面PBD．PBPBCDAMxyz⑵求棱PC與平面AMD所成角的正弦值．解：以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x,y，z軸建立空間直角坐標系,則A（0,0，0），B（1，0，0），C(1，1,0），D（0,1，0)，P（0,0,a）．因為M是PC中點，所以M點的坐標為(eq\f（1,2)，eq\f（1，2），eq\f（a，2）)，所以eq\o(AM，\s\up6(→)）=（eq\f（1，2)，eq\f(1，2）,eq\f（a,2))，eq\o（BD，\s\up6(→))=（–1，1，0），eq\o(BP,\s\up6（→）)=(–1,0，a）．⑴因為eq\o（AM，\s\up6(→)）平面PBD，所以eq\o（AM，\s\up6(→))·eq\o（BD,\s\up6(→)）=eq\o(AM,\s\up6（→)）·eq\o(BP，\s\up6(→））=0．即–eq\f(1，2)+eq\f（a2，2)=0，所以a=1，即PA=1．…………………4分⑵由eq\o(AD,\s\up6(→））=(0，1,0）,eq\o(M,\s\up6(→））=（eq\f(1,2)，eq\f（1，2），eq\f（1,2）），可求得平面AMD的一個法向量n=(–1,0,1)．又eq\o（CP,\s\up6(→）)=(–1，–1，1)．所以cos<n，eq\o（CP,\s\up6(→））>=eq\f（n·eq\o（CP,\s\up6(→））,｜n|·|eq\o（CP,\s\up6(→）)｜）=eq\f(2,eq\r(2)·eq\r（3））=eq\f（eq\r(6），3)．所以,PC與平面AMD所成角的正弦值為eq\f（eq\r(6），3)．……………10分24．設是給定的正整數，有序數組同時滿足下列條件:①；②對任意的,都有．（1）記為滿足對“任意的，都