PAGE導數題型歸納請同學們高度重視：首先，關于二次函數的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數區間最值求法：（1）對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系（2）端點處和頂點是最值所在其次，分析每種題型的本質，你會發現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創建不等關系求出取值范圍。最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數的單調區間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0）第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數）（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例1：設函數在區間D上的導數為，在區間D上的導數為，若在區間D上，恒成立，則稱函數在區間D上為“凸函數”，已知實數m是常數，（1）若在區間上為“凸函數”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一個實數，函數在區間上都為“凸函數”，求的最大值.解:由函數得（1）在區間上為“凸函數”，則在區間[0,3]上恒成立解法一：從二次函數的區間最值入手：等價于解法二：分離變量法：∵當時,恒成立,當時,恒成立等價于的最大值（）恒成立，而（）是增函數，則(2)∵當時在區間上都為“凸函數”則等價于當時恒成立解法三：變更主元法再等價于在恒成立（視為關于m的一次函數最值問題）-22-22例2：設函數（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；（Ⅱ）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.（二次函數區間最值的例子）解：（Ⅰ）3aaa3a3aaa3a令得的單調遞增區間為（a,3a）令得的單調遞減區間為（－，a）和（3a，+） ∴當x=a時，極小值=當x=3a時，極大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：對任意的恒成立①則等價于這個二次函數的對稱軸（放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。上是增函數. （9分）∴于是，對任意，不等式①恒成立，等價于又∴點評：重視二次函數區間最值求法：對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系第三種：構造函數求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉化為第一、二種題型例3；已知函數圖象上一點處的切線斜率為，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當時，求的值域；（Ⅲ）當時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增又∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數區間最值二、題型一：已知函數在某個區間上的單調性求參數的范圍解法1：轉化為在給定區間上恒成立，回歸基礎題型解法2：利用子區間（即子集思想）；首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集；做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數”與“函數的單調減區間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區別：前者是后者的子集例4：已知，函數．（Ⅰ）如果函數是偶函數，求的極大值和極小值；（Ⅱ）如果函數是上的單調函數，求的取值范圍．解：.（Ⅰ）∵是偶函數，∴.此時，，令，解得：.列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為，的極小值為.（Ⅱ）∵函數是上的單調函數，∴，在給定區間R上恒成立判別式法則解得：.綜上，的取值范圍是.例5、已知函數（I）求的單調區間；（II）若在[0，1]上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想（I）1、當且僅當時取“=”號，單調遞增。2、a-1-1單調增區間：a-1-1單調減區間：（II）當則是上述增區間的子集：1、時，單調遞增符合題意2、，綜上，a的取值范圍是[0，1]。三、題型二：根的個數問題題1函數f(x)與g(x)（或與x軸）的交點======即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數，，且在區間上為增函數．求實數的取值范圍；若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍．解：（1）由題意∵在區間上為增函數，∴在區間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為（2）設，令得或由（1）知，①當時，，在R上遞增，顯然不合題意…②當時，，隨的變化情況如下表：—↗極大值↘極小值↗由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數知道，部分根可求或已知。例7、已知函數（1）若是的極值點且的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網解：（1）∵的圖像過原點，則，又∵是的極值點，則-1-1（2）設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解，十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2：切線的條數問題====以切點為未知數的方程的根的個數例7、已知函數在點處取得極小值－4，使其導數的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．（1）由題意得：∴在上；在上；在上因此在處取得極小值∴①，②，③由①②③聯立得：，∴ （2）設切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數的范圍為：題3：已知在給定區間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數解法：根分布或判別式法例8、解：函數的定義域為（Ⅰ）當m＝4時，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(7,2)x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或.令，解得可知函數f(x)的單調遞增區間為和（5，＋∞），單調遞減區間為．（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,要使函數y＝f(x)在（1，＋∞）有兩個極值點,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）1根分布問題：1則，解得m＞3例9、已知函數，（1）求的單調區間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍．解：（1）當時，令解得，令解得，所以的遞增區間為，遞減區間為.當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當或時可證函數有且僅有3個極值點其它例題：1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數在區間上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（Ⅰ）令=0,得因為，所以可得下表：0+0-↗極大↘因此必為最大值,∴因此，，即，∴，∴（Ⅱ）∵，∴等價于，令，則問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，為此只需，即，解得，所以所求實數的取值范圍是[0，1].2、（根分布與線性規劃例子）（1）已知函數(Ⅰ)若函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式；(Ⅱ)當在取得極大值且在取得極小值時,設點所在平面區域為S,經過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.解：(Ⅰ).由,函數在時有極值,∴∵∴又∵在處的切線與直線平行,∴故∴…….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,則∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,則,由得點F的橫坐標為:由得點G的橫坐標為:∴即解得:或(舍去)故這時直線方程為:綜上,所求直線方程為:或.…………….………….12分(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,則∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:另一種情況由于直線BO方程為:,設直線BO與AC交于H,由得直線L與AC交點為:∵,,∴所求直線方程為:或3、（根的個數問題）已知函數的圖象如圖所示。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數的圖象在點處的切線方程為，求函數f(x)的解析式；（Ⅲ）若方程有三個不同的根，求實數a的取值范圍。解：由題知：（Ⅰ）由圖可知 函數f(x)的圖像過點(0,3)，且=0 得（Ⅱ）依題意 =–3且f(2)=5 解得a=1,b=–6 所以f(x)=x3–6x2+9x+3 （Ⅲ）依題意 f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞0) =3ax2+2bx–3a–2b 由=0b=–9a ① 若方程f(x)=8a有三個不同的根，當且僅當 滿足f(5)＜8a＜f(1)② 由①② 得–25a+3＜8a＜7a+3＜a＜3 所以當＜a＜3時，方程f(x)=8a有三個不同的根。…………12分4、（根的個數問題）已知函數（1）若函數在處取得極值，且，求的值及的單調區間；（2）若，討論曲線與的交點個數．解：（1）………………………2分令得令得∴的單調遞增區間為，，單調遞減區間為…………5分（2）由題得即令……6分令得或……………7分當即時－此時，，，有一個交點；…………9分當即時，＋—,∴當即時,有一個交點；當即時，有兩個交點；當時，，有一個交點．………13分綜上可知，當或時，有一個交點；當時，有兩個交點．…………………14分高考前重點知識回顧第一章-集合（一）、集合：集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.1、集合的性質：①任何一個集合是它本身的子集，記為；②空集是任何集合的子集，記為；③空集是任何非空集合的真子集；①n個元素的子集有2n個.n個元素的真子集有2n－1個.n個元素的非空真子集有2n－2個.[注]①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.2、集合運算：交、并、補.（三）簡易邏輯構成復合命題的形式：p或q(記作“p∨q”)；p且q(記作“p∧q”)；非p(記作“┑q”)。1、“或”、“且”、“非”的真假判斷4、四種命題的形式及相互關系：原命題：若P則q；逆命題：若q則p；否命題：若┑P則┑q；逆否命題：若┑q則┑p。①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。②、原命題為真，它的否命題不一定為真。③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。6、如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。若pq且qp,則稱p是q的充要條件，記為p?q.第二章-函數一、函數的性質（1）定義域：（2）值域：（3）奇偶性：（在整個定義域內考慮）①定義：偶函數：，奇函數：②判斷方法步驟：a.求出定義域；b.判斷定義域是否關于原點對稱；c.求；d.比較或的關系。（4）函數的單調性定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1,x2,⑴若當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區間上是增函數；⑵若當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x)在這個區間上是減函數.二、指數函數與對數函數指數函數的圖象和性質a>10<a<1圖象性質(1)定義域：R（2）值域：（0，+∞）（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1(4)x>0時，y>1;x<0時，0<y<1(4)x>0時，0<y<1;x<0時，y>1.（5）在R上是增函數（5）在R上是減函數對數函數y=logax（a>0且a1）的圖象和性質:圖象性質（1）定義域：（0，+∞）（2）值域：R（3）過點（1，0），即當x=1時，y=0（4）時時y>0時時（5）在（0，+∞）上是增函數在（0，+∞）上是減函數⑴對數、指數運算：⑵（）與（）互為反函數.第三章數列1.⑴等差、等比數列：等差數列等比數列定義遞推公式；；通項公式（）中項公式前項和重要性質則（2）數列{}的前項和與通項的關系：第四章-三角函數一.三角函數1、角度與弧度的互換關系：360°=2；180°=；1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ；1°＝≈0.01745（rad）注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.2、弧長公式：.扇形面積公式：3、三角函數：；；；4、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）5、同角三角函數的基本關系式：6、誘導公式：7、兩角和與差公式二倍角公式是：sin2=cos2===2=。輔助角公式asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。9、特殊角的三角函數值：0sin010cos100tan01不存在0不存在cot不存在10不存在010、正弦定理（R為外接圓半徑）．余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．面積公式：11.或（）的周期.12.的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.第五章-平面向量(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的長度：即向量的大小，記作｜｜.(3)特殊的向量：零向量＝O｜｜＝O.單位向量為單位向量｜｜＝1.(4)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）(5)相反向量：=-=-+=(6)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作∥.平行向量也稱為共線向量.（7）.向量的運算運算類型幾何方法坐標方法運算性質向量的加法平行四邊形法則2.三角形法則向量的減法三角形法則,數乘向量1.是一個向量,滿足:2.>0時,同向;<0時,異向;=0時,.向量的數量積是一個數1.時，(8)兩個向量平行的充要條件∥()(9)兩個向量垂直的充要條件⊥·=0x1·x2+y1·y2=0(10)兩向量的夾角公式：cosθ==0≤θ≤180°,附：三角形的四個“心”；1、內心：內切圓的圓心，角平分線的交點2、外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點3、重心：中線的交點4、垂心：高的交點(11)△ABC的判定：△ABC為直角△∠A+∠B=＜△ABC為鈍角△∠A+∠B＜＞△ABC為銳角△∠A+∠B＞(11)平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.第六章-不等式1.幾個重要不等式（1）當且僅當，(a－b)2≥0(a、b∈R)（2）（3），則；（4）；⑸若a、b∈R+，，則；2、解不等式（1）一元一次不等式①②（2）一元二次不等式第七章-直線和圓的方程一、解析幾何中的基本公式1.兩點間距離：若，則2.平行線間距離：若則：注意：x，y對應項系數應相等。3.點到直線的距離：則P到l的距離為：4.直線與圓錐曲線相交的弦長公式：消y：，務必注意若l與曲線交于A則：5.若A，P（x，y）,P為AB中點，則6.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:7.過兩點.8.直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2k1=k2②l1l2k1k2=－1（2）若若A1、A2、B1、B2都不為零l1//l2；l1l2A1A2+B1B2=0；9.直線方程的五種形式名稱方程斜截式：y=kx+b點斜式：兩點式：（x1≠x2）截距式：一般式：（其中A、B不同時為零）圓的方程（1）標準方程：，。（2）一般方程：，（半徑特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：.注：圓的參數方程：（為參數）.特別地，以(0，0)為圓心，以r為半徑的圓的參數方程為（3）點和圓的位置關系：給定點及圓.①在圓內②在圓上③在圓外（4）直線和圓的位置關系：設圓圓：；直線：；圓心到直線的距離.①時，與相切；②時，與相交；③時，與相離.第八章-圓錐曲線方程一、橢圓1.定義Ⅰ：若F1，F2是兩定點，P為動點，且（為常數）則P點的軌跡是橢圓。2.標準方程：長軸長=，短軸長=2b焦距：2c準線方程：，離心率：焦點：或.二、雙曲線1、定義：若F1，F2是兩定點，（為常數），則動點P的軌跡是雙曲線。2.性質（1）方程：實軸長=，虛軸長=2b焦距：2c準線方程：離心率.準線距（兩準線的距離）；通徑.參數關系.若雙曲線方程為漸近線方程：⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.三、拋物線1.定義：到定點F與定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線。即：到定點F的距離與到定直線l的距離之比是常數e（e=1）。2.圖形：3.性質：方程：（焦點到準線的距離）；焦點：，通徑；準線：；離心率第九章-立體幾何一、判定兩線平行的方法平行于同一直線的兩條直線互相平行垂直于同一平面的兩條直線互相平行如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行判定線面平行的方法據定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行兩面平行，則其中一個平面內的直線必平行于另一個平面平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面平面外的一條直線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另一個平面三、判定面面平行的方法⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。⑶兩個平面平行的性質定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”。⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。⑹經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。四、面面平行的性質1、兩平行平面沒有公共點2、兩平面平行，則一個平面上的任一直線平行于另一平面3、兩平行平面被第三個平面所截，則兩交線平行垂直于兩平行平面中一個平面的直線，必垂直于另一個平面五、判定線面垂直的方法1、定義：如果一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，則線面垂直2、如果一條直線和一個平面內的兩條相交線垂直，則線面垂直3、如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面4、一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面5、如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直它們交線的直線垂直于另一個平面六、判定兩線垂直的方法定義：成角直線和平面垂直，則該線與平面內任一直線垂直一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方法定義：兩面成直二面角,則兩面垂直一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這個平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質二面角的平面角為在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面相交平面同垂直于第三個平面，則交線垂直于第三個平面九、各種角的范圍1、異面直線所成的角的取值范圍是：2、直線與平面所成的角的取值范圍是：3、斜線與平面所成的角的取值范圍是：4、二面角的大小用它的平面角來度量；取值范圍是：十、面積和體積1.2、3、球的表面積公式：.球的體積公式：.4、圓柱體積：（為半徑，為高）圓錐體積：（為半徑，為高）錐體體積：（為底面積，為高）5、面積比是相似比的平方，體積比是相似比的立方第十章-概率與統計1.必然