第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.2空間向量的數量積運算學習目標

素養要求1.能夠說出空間向量夾角和模的概念及表示方法數學抽象2.會靈活運用兩個向量的數量積的計算方法數學運算3.能利用兩個向量的數量積解決立體幾何中的一些簡單問題數學運算、直觀想象|自學導引|兩個向量的夾角〈a，b〉互相垂直a⊥b

〈a，b〉＝〈b，a〉嗎？〈a，b〉與〈－a，b〉有什么關系？【答案】提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．微思考【預習自測】兩個向量的數量積1．定義：已知兩個非零向量a，b，則________________叫做a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝________________．2．數量積的運算律：|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉數乘向量與數量積的結合律(λa)·b＝λa·b＝a·(______)交換律a·b＝______分配律a·(b＋c)＝____________λb

b·a

a·b＋a·c

3．空間兩向量的數量積的性質：|a||a|cos〈a，a〉【答案】(1)×

(2)×【解析】(1)不一定．可能是α，也可能是π－α.(2)a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，所以可能只是a與(b－c)垂直．【預習自測】2．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．已知向量a，b，對于|a·b|＝|a||b|成立嗎？【答案】提示：|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以當a與b共線時，|a·b|＝|a||b|，否則不成立．

微思考空間向量的投影1．向量a向向量b(直線l)的投影如圖1，先將向量a和向量b平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝________，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖2).平面β【預習自測】已知空間向量|a|＝6，e為單位向量，當空間向量a、e的夾角等于45°時，則空間向量a在向量e方向上的投影向量是________.空間向量a在b上的投影向量是一個模等于|acosθ|(θ是a與b的夾角)、方向與b相同或相反的一個向量嗎？【答案】提示：是．微思考|課堂互動|【答案】C

求數量積的方法已知向量的模和夾角，利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉并結合運算律進行計算．【答案】A

題型2用數量積證明空間垂直關系

如圖，在四面體OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC.(1)把幾何問題轉化為向量問題．(2)用已知向量表示所證向量．(3)結合數量積公式和運算律證明數量積為0.(4)將向量問題回歸到幾何問題．2．已知在四面體OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.題型3用數量積求角與距離探究1用數量積求角已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四邊形ABB1A1和BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求異面直線BA1與AC所成的角．探究2用數量積求距離如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時B，D間的距離．1．利用向量求異面直線夾角的步驟3．(1)如圖，在四面體OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則異面直線OA與BC的夾角的余弦值為________.規范解答利用空間向量數量積求向量的模和夾角如圖，在四棱錐M－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AM的長為b，且AM和AB，AD的夾角都等于60°，N是CM的中點．|素養達成|1．空間向量夾角定義的三個關注點(1)任意兩個空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣．(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起．(3)兩個空間向量的夾角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．3．對空間向量的數量積的兩點說明(1)運算結果：空間向量數量積的結果是個實數，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積．(2)運算符“·”：其中a·b中的圓點是數量積運算的符號，不能省略也不能用“×”代替．【答案】D

2．(題型3)若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，則 (

)A．m∥nB．m⊥nC．m既不平行于n，也不垂直于nD．以上三種情況都有可能【答案】B

【解析】由已知得m·a＝0，m·b＝0，所以m·n＝m·(λa＋μb)＝λma＋μmb＝0，故m⊥n.故選B.【答案】D

4．(題型2，3)設向量a與b互相垂直，向量c與它們構成的角都是60°，且|a|＝5