高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省部分高中2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求）1.已知，則（）A.2 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】由得，所以.故選：B2.已知五個數成等差數列，則（）A.15 B.20 C.30 D.35【答案】C【解析】設數列的公差為，依題意，，則，故.故選：C.3.已知數列的通項公式為，當它為遞增數列時，的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為是單調遞增數列，所以對于任意的，都有，即，化簡得，所以對于任意的都成立，因為，所以.故選：A4.已知數列，則由這兩個數列公共項從小到大排列得到的數列為，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因數列是首項為1，公差為2的等差數列，而數列是首項為1，公差為3的等差數列，則這兩個數列的公共項從小到大排列構成的新數列是首項為1，公差為6的等差數列，故.故選：D.5.函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，在上恒成立，即在上恒成立，不妨設，，因在上恒成立，故在上單調遞減，則，故.故選：D.6.已知數列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由①知，當時，；當時，②，由①②：，即得，當時，符合題意，故故選：A.7.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，令，解得或；令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以的兩個極值點為，故排除選項A和選項D，當時，，所以恒為正，排除選項C，即只有選項B符合要求.故選：B．8.已知定義在上的函數的導函數為，若，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數在定義域上為增函數，因為，則，即，其中，所以，令，則，所以在上遞增，所以，即，又，所以，，，.故選：D二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.已知等比數列的公比為，前項和為，若，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】依題，，解得故A錯誤，B正確；則，，故C錯誤，D正確.故選：BD.10.下列不等式正確的是（）A.當時， B.當時，C.當時， D.當時，【答案】ACD【解析】對選項A，設，，，當時，，減函數，當時，，為增函數，所以，即，故A正確.對選項B，當時，，不滿足，故B錯誤.對選項C，設，，，當時，，為增函數，當時，，為減函數，所以，即，故C正確.對選項D，設，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；則在時求得最小值，即，故D正確.故選：ACD11.已知數列滿足為數列的前項和，則（）A. B.數列是等比數列C. D.【答案】ACD【解析】由題意，，，則，，故A正確；由題意，所以，不是常數，故數列不是等比數列，故選項B錯誤；因為，即，首項，故是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，故C正確；因為，即，首項，故是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.曲線在處的切線方程為______.【答案】【解析】由得，，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：13.數列的通項公式為是其前項和，則__________.【答案】【解析】由則.故答案為：14.已知函數有三個不同的零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】根據有三個不同的零點，則具有三個不同的解，可得與的共有三個解，構造函數，則，故，則，當，，當，，所以，當時，，當時，，所以或，解得或，故的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.己知數列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和.解：（1），有，當時，有，兩式相減得，當時，由，得，檢驗：當時也滿足，所以（2）由（1）知，，所以，所以.16.已知函數（為常數），曲線在點處的切線平行于軸.（1）求的值；（2）求函數的單調減區間和極值.解：（1）函數的定義域為，在點處的切線平行于軸，，.（2）由（1）可得，令得或，列表如下：2+0-0+極大值極小值由表格知單調減區間為，極大值為，極小值為.17.已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若，求取值范圍.解：（1）函數的定義域是，因，①若，則在上單調遞增；②若，則當時，單調遞減；當時，單調遞增；綜上，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞增（2）法（一）：恒成立，即對（*）①若則，由（1）知，在上單調遞增，而，故（*）式不成立；②若由（1）知，在上單調遞減，上單調遞增，則由，可得設，因在上恒成立，則在為增函數，又，故需使，即的取值范圍是.法（二）：因為函數的定義域是即為，可化為.設，依題意需使.因，令，因在上恒成立，則在上是減函數，又因為，所以當時，，則在上是增函數；當時，，，則在上是減函數.所以在處取得極大值，也是最大值，即，所以.故的取值范圍是.18.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳析九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個球，第五層有15個球..依照這個規律，設各層球數構成一個數列.（1）寫出與的遞推關系，并求數列的通項公式；（2）設的前項和為；①求；②對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）從圖中可以發現每一層球的數量比上一層多的個數等于層數，所以，所以，所以，當時，也符合上式，故.（2）①因為，則，，，兩式相減得，，所以，；②對任意的恒成立，，則對任意的恒成立，令，，為遞減數列，則當時，，.所以實數的取值范圍為.19.已知函數.（1）求函數的最小值；（2）若，且，求證：.解：（1）由且定義域為，得，令且定義域為，則