【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）第50講排列與組合（精講）題型目錄一覽①兩個計數原理②排列問題③組合問題④排列組合綜合問題一、知識點梳理一、知識點梳理一、兩個計數原理分類加法計數原理分步乘法計數原理條件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝mn種不同的方法二、排列與排列數1.定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示．2.排列數的公式：．特例：當時，；規定：．3.排列數的性質：①；②；③．4.解排列應用題的基本思路：通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列數公式的兩種不同表達形式本質是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用．三、組合與組合數1.定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示．2.組合數公式及其推導求從個不同元素中取出個元素的排列數，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數；根據分步計數原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數公式．因為，所以組合數公式還可表示為：．特例：．注意：組合數公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．3.組合數的主要性質：①；②．【常用結論】①排列和組合的區別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數目問題，它們之間的主要區別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．②解決排列組合綜合問題的一般過程（1）認真審題，確定要做什么事；（2）確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數是多少及取出多少個元素；（4）解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．③數字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項解題原則：排列問題的本質是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優先”原則，即優先排特殊元素或優先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數時，應分類討論．④定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數，再減去不符合要求的排列數．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一兩個計數原理策略方法利用兩個基本計數原理解決問題的步驟【典例1】在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【分析】解法一二：利用分類加法計數原理即可得解.解法三：考慮兩位數的個位數字與十位數字的大小關系，利用對應思想解決．【詳解】解法一：按十位上的數字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有個．解法二：按個位上的數字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有個．解法三：所有的兩位數共有90個，其中個位數字等于十位數字的兩位數為11，22，33，…，99，共9個；有10，20，30，…，90共9個兩位數的個位數字與十位數字不能調換位置，則剩余的兩位數有個．在這72個兩位數中，每一個個位數字（a）小于十位數字（b）的兩位數都有一個十位數字（a）小于個位數字（b）的兩位數與之對應，故滿足條件的兩位數的個數是.故選：B.【典例2】甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，每個人都有三種選擇，利用分步乘法計數原理可得結果.【詳解】甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，每個人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數為種.故選：B.【題型訓練】一、單選題1．中國人民解放軍東部戰區領導和指揮江蘇?浙江?上海?安徽?福建?江西的武裝力量.某日東部戰區下達命令，要求從江西或福建派出一架偵察機對臺?？沼蜻M行偵查，已知江西有架偵察機，福建有架偵察機，則不同的分派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】根據題意，結合分類計數原理，即可求解.【詳解】根據題意，由分類加法計數原理，不同的分派方案共有種.故選：A.2．某商店共有，，三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種【答案】C【分析】根據分步乘法計數原理即可求解.【詳解】由分步乘法計數原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．故選：C3．用1，2，3，4可以組成無重復數字的三位數的個數為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】根據分步乘法計數原理進行計算即可.【詳解】先從4個數中選1個排在百位，有4種；然后從剩下的3個數中選1個排在十位，有3種；最后從剩下的2個數中選1個排在個位，有2種；根據分步乘法計數原理可得組成無重復數字的三位數的個數為.故選：B.4．高二1、2、3班各有升旗班同學人數分別為：1、3、3人，現從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數為（

）A．12 B．15 C．20 D．21【答案】B【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理、分步乘法計數原理列式計算作答.【詳解】依題意，選中高二1班的同學有種方法，高二1班的同學沒選中有，所以2人來自不同班的選法種數為.故選：B5．如圖，小黑圓表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相連．連線上標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量．現從結點A向結點B傳遞信息（

）A．26 B．24 C．20 D．19【答案】D【分析】根據題意，結合圖形得出從A到B傳播路徑有4條，寫出每條途徑傳播的最大信息量，再求和，即得答案．【詳解】解：根據題意，結合圖形知，從A到B傳播路徑有4條，如圖所示；途徑①傳播的最大信息量為3，途徑②傳播的最大信息量為4；途徑③傳播的最大信息量為6，途徑④傳播的最大信息量為6；所以從A向B傳遞信息，單位時間內傳遞的最大信息量為，故選：D．6．若3名學生報名參加天文?計算機?文學?美術這4個興趣小組，每人選1組，則不同的報名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【分析】由題意可得每個人都有4種選法，然后利用分步乘法原理求解即可【詳解】由題意可得每個人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報名方式有種，故選：C7．三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數為（

）A．18 B．21 C．24 D．27【答案】B【分析】平面是向四周無限延展的.可分兩步進行空間直觀想象，先由三個側面分空間，再由棱柱的兩平行底面分空間，即可解決問題.【詳解】三棱柱的三個側面將空間分成7部分，三棱柱的兩個底面將空間分成3部分．故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數為．故選：B．8．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理列式計算作答.【詳解】正方體的兩個頂點確定的直線有棱、面對角線、體對角線，對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有（個）；對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個，不存在四個頂點確定的平面與體對角線垂直，所以正方體中“正交線面對”共有（個）.故選：D9．360的不同正因數的個數為（

）A．24 B．36 C．48 D．42【答案】A【分析】根據質因數分解，結合分步計數原理進行求解即可.【詳解】因為，所以360有個不同的正因數．故選：A10．集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分為集合提供橫坐標，集合提供縱坐標和集合提供縱坐標，集合提供橫坐標兩種情形討論即可.【詳解】第二象限的橫坐標是負數，縱坐標是正數．若集合提供橫坐標，集合提供縱坐標，則有，若集合提供縱坐標，集合提供橫坐標，則有，合計，即這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是6個，故選：D.題型二排列問題策略方法求解排列應用問題的六種常用方法【典例1】計算：(1)；(2)．【答案】(1)348；(2)64.【分析】（1）（2）利用排列數公式直接計算作答.【詳解】（1）.（2）.【典例2】電影《長津湖》講述了在極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長津湖戰役勝利做出重要貢獻的故事，現有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？【答案】(1)720種(2)1440種(3)960種．【分析】（1）根據題意，由捆綁法，即可得到結果；（2）根據題意，由插空法，即可得到結果；（3）根據題意，結合捆綁法，插空法，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）根據題意，先將3個女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，與4個男生進行排列，共有種排法，由分步乘法計數原理，共有種排法；（2）根據題意，先將4個男生排好，有種排法，再在這4個男生之間及兩頭的5個空位中插入3個女生有種方法，故符合條件的排法共有種；（3）根據題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空擋中有種排法，故符合條件的排法共有種．【題型訓練】一、單選題1．計算：（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【分析】根據排列數公式計算可得結果.【詳解】.故選：D2．A，B，C，D，E，F六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數為（

）A．48 B．96 C．144 D．288【答案】C【分析】根據相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數計算求解.【詳解】由于A，B相鄰，所以先將A,B看作一個整體捆綁起來與E,F進行全排列，然后將C，D插入到已排好隊的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，故共有,故選：C3．下列計算結果為28的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據排列數以及組合數公式，一一計算各選項中的數值，即得答案.【詳解】，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確，故選：D4．某一天的課程要排語文、數學、英語、物理、政治、體育、生物共七門課各一節，若物理不排第一節，則排法總數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先考慮第一節課的排課，有六種選擇，剩余六節課隨便排，結合分步乘法計數原理可得結果.【詳解】若物理不排第一節，則第一節可以排語文、數學、英語、政治、體育、生物六門課中的一門，剩余六門課隨便排，所以，不同的排法種數為.故選：B.5．貴州省首屆“美麗鄉村”籃球聯賽總決賽在黔東南苗族侗族自治州臺江縣臺盤村開賽.該聯賽由臺盤村“六月六”吃新節籃球賽發展演變而來，被網友稱為“村BA”.村BA給全國人民展現的不僅是貴州人熱愛生活的精神，更展現了如今欣欣向榮的貴州山水人文，同時給貴州的旅游帶來巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大區賽總決賽落下帷幕，為慶祝比賽順利結束，主辦方設置一場扣籃表演，分別由重慶、貴州、四川、云南代表隊每隊各選出2名球員參加扣籃表演，貴州隊作為東道主，扣籃表演必須在第一位及最后一位，那么一共有（

）種表演順序.A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定貴州兩名球員的順序，再確定其余6人的表演順序即可.，在確定其余6人順序為，由分步乘法原理可得一共有種順序.故選：C.6．品牌電商服務商是指專門為品牌方提供包括運營、IT、營銷、倉儲物流、客戶服務等內容的綜合電子商務服務的商家．某品牌方準備與甲、乙、丙3家服務商進行合作，為此對這3家服務商的運營、IT、營銷、倉儲物流、客戶服務這5項內容進行考察，并根據考察結果對每項內容按照從優到劣分為A，B，C3個等級，則甲服務商的這5項內容等級均高于乙服務商和丙服務商的所有可能情況的種數為（

）A．3125 B．360 C．256 D．30【答案】A【分析】先根據排列組合列舉出一項符合題意的種數，再得出這5項所有可能情況的種數．【詳解】每項內容甲服務商的等級都高于乙服務商和丙服務商的所有可能情況（按照甲乙丙的順序排列）有ABB，ABC，ACB，ACC，BCC，共5種．所以甲服務商的這5項內容等級均高于乙服務商和丙服務商的所有可能情況的種數為.故選：A．7．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數是（

）A．36 B．72 C．81 D．144【答案】D【分析】先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，根據分步乘法計數原理，即可求得答案.【詳解】由題意先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，故共有種不同的排法，故選：D8．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】A【分析】根據排列數公式，化簡計算，結合x的范圍，即可得答案.【詳解】由題意得，化簡可得，解得或6，因為，所以且，故.故選：A.9．用數字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的四位數，若將組成的不重復的四位數按從小到大的順序排成一個數列，則第85個數字為（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個數，然后可得答案.【詳解】首位為1的有個，前兩位為20的有個，前兩位為21的有個，所以第85個數字是前兩位為23的最小數，即為2301.故選：A.10．不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據排列數公式計算即可.【詳解】由，得，解得，所以不等式的解集是.故選：D.11．用數字1，2，3，4組成沒有重復數字的四位數，其中奇數和偶數互不相鄰的個數為（

）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】B【分析】利用插空法結合加法原理即可求解.【詳解】先排，形成三個空位，然后將排入前兩個空位或者后兩個空位，所以符合題意的四位數的個數為.故選：B.12．六名同學暑期相約去都江堰采風觀景，結束后六名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種【答案】D【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的兩人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：D.13．“繽紛藝術節”是西大附中的一個特色，學生們可以盡情地發揮自己的才能，某班的五個節目（甲?乙?丙?丁?戊）進入了初試環節，現對這五個節目的出場順序進行排序，其中甲不能第一個出場，乙不能第三個出場，則一共有（

）種不同的出場順序.A．72 B．78 C．96 D．120【答案】B【分析】討論甲在第三出場、不在第一、三出場，結合排列和計數原理求解即可.【詳解】當甲在第三出場時，乙?丙?丁?戊全排列，共有種；當甲不在第一、三出場時，共有種；故共有種不同的出場順序.故選：B14．用數字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的四位數，若將組成的不重復的四位數按從小到大的順序排成一個數列則第85個數字為（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個數，然后可得答案.【詳解】首位為1的有個，前兩位為20的有個，前兩位為21的有個，所以第85個數字是前兩位為23的最小數，即為2301.故選：A15．今年8月份貴州村籃球總決賽期間，在某場比賽的三個地點需要志愿者服務，現有甲、乙、丙、丁四人報名參加，每個地點僅需1名志愿者，每人至多在一個地點服務，若甲不能到第一個地點服務，則不同的安排方法共有（

）A．18 B．24 C．32 D．64【答案】A【分析】根據安排的人中有沒有甲進行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】若安排的人中沒有甲，安排方法有種，若安排的人中有甲，則先安排甲，然后再選兩人來安排，則安排的方法有種，所以總的方法數有種.故選：A16．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰勝韓國隊，實現蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【分析】分別計算丙站在左端時和丙不站在左端時的情況，即可得到答案.【詳解】當丙站在左端時，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選：C17．回文聯是我國對聯中的一種，用回文形式寫成的對聯，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家酒樓叫“天然居”，一次乾隆路過這家酒樓，稱贊樓名的高雅，遂以樓名為題作對聯，上聯是：“客上天然居，居然天上客”.紀曉嵐對曰：“人過大佛寺，寺佛大過人”，乾隆微笑頷首，后“天然居”以此為門聯，遂聲名大噪.在數學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數的自然數，稱之為：“回文數”.如66，787，4334等，那么用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成4位“回文數”的個數為（

）A．56個 B．64個 C．81個 D．90個【答案】C【分析】根據回文數的性質，結合排列的定義分類討論進行求解即可.【詳解】根據題意，分2種情況討論：①4位“回文數”中數字全部相同，有9種情況，即此時有9個4位“回文數”；②4位“回文數”中有2個不同的數字，有種情況，即此時有72個4位“回文數”，則一共有個4位“回文數”，故選：C二、多選題18．(多選)用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的不同的所有四位數．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．－【答案】CD【分析】可用直接法先排第一位數字，再排后三位；也可用間接法先進行全排列，再排除首位是的情況.【詳解】(直接法)先排第一位，有種方法，再排后三位有種方法，所以共有種排法；(間接法)先進行全排列共有種排法，首位是的排法為,所以共有－排法，故選：19．5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數可以是（

）A． B． C．84 D．【答案】AB【分析】利用不相鄰問題插空法，或用全排列減去甲乙相鄰的排法.【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共種不同的排法，再將甲、乙兩人從產生的4個空中選2個插入共種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，不同的排法種數是；5人并排站成一行有種不同的排法，若甲、乙兩個人相鄰，利用捆綁法，有種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數是.故選：AB．20．某學校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進行安排，則下列說法正確的是（

）A．若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序D．若學生的節目順序已確定，再增加兩個教師節目，共有72種不同的出場順序【答案】BCD【分析】選項A采用“插空法”，先排4名男生，形成5個空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項B由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結合4男3女的全排列求解即可；選項C先將4位男生捆綁作為一個整體進行全排列，然后3位女生和這個整體全排列可得；選項D采用“插空法”，分兩次插入老師節目即可.【詳解】若3個女生不相鄰，則有種不同的出場順序，A錯誤；若女生甲在女生乙的前面，則有種不同的出場順序，B正確；若4位男生相鄰，則有種不同的出場順序，C正確；若學生的節目順序確定，再增加兩個教師節目，可分為兩步，第一步，原7個學生節目形成8個空，插入1個教師節目，有8種情況；第二步，原7個學生節目和剛插入的1個教師節目形成9個空，再插入1個教師節目，有9種情況，所以這兩位教師共有種不同的出場順序，D正確.故選：BCD.21．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種【答案】BD【分析】A選項，定序問題采用倍縮法進行求解；B選項，采用插空法進行求解；C選項，分兩種情況，若最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項，使用捆綁法進行求解；【詳解】對于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，故A錯誤；對于B，先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空，則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數為種情況，故B正確；對于C，若最左端排乙，此時其余四人可進行全排列，故有種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有種情況，則共有種站法，故C錯誤；對于D，將甲與乙捆綁，看做一個整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有種，故D正確；故選：BD三、填空題22．品牌電商服務商是指專門為品牌方提供電子商務服務的商家，其中包括運營、IT、營銷、倉儲物流、客戶服務等內容．某品牌方準備與甲、乙、丙3家服務商進行合作，為此對這3家服務商的運營、IT、營銷、倉儲物流、客戶服務進行考察，并根據考察結果對每項內容按照從優到劣分為3個等級，則甲服務商的5項內容等級均高于乙和丙服務商的所有可能情況的種數為．【答案】3125【分析】先列出每項內容甲服務商的等級都高于乙和丙服務商的所有可能情況，再計算即可.【詳解】每項內容甲服務商的等級都高于乙和丙服務商的所有可能情況（按照甲乙丙的順序排列）有:，共5種．所以甲服務商的這5項內容等級均高于乙和丙服務商的所有可能情況的種數為:．故答案為：23．一排6個座位坐了2個三口之家，若同一家人座位相鄰，則不同的坐法種數為.（用數字作答）【答案】72【分析】根據題意可將6個座位分成兩組，再將同一個家庭的3個成員相鄰排列即可求得答案.【詳解】由題可知，同一家人座位相鄰，將6個座位分成兩組，每組3個座位，同一家人相鄰的不同坐法種數為.故答案為：7224．夏老師要進行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測量等五個項目，為了體檢數據的準確性，抽血必須作為第一個項目完成，而夏老師決定腹部彩超和胸部CT兩項不連在一起檢查，則不同的檢查方案一共有種.【答案】12【分析】先將心電圖、血壓測量兩項全排列，再將腹部彩超和胸部CT兩項排在其空位中，最后將抽血放在第一位即可.【詳解】解：由題意得：將心電圖、血壓測量兩項全排列，有種情況，再將腹部彩超和胸部CT兩項排在其空位中，有種情況最后將抽血放在第一位，有1種情況，所以共有種情況，故答案為：1225．某同學將英文單詞“million”中字母的順序記錯了，那么他在書寫該單詞時，寫錯的情況有種（用數字作答）．【答案】1259【分析】million有7個字母，進行全排列，因為有兩個i，兩個l重復，總數要除以，則可能出現的錯誤再減去1種正確的，因此得解．【詳解】英文單詞“million”中字母的順序記錯了，因為有兩個i，兩個l重復，那么他在書寫該單詞時，共有種可能，而正確的拼寫只有1種，故寫錯的情況有1259種.故答案為：125926．從甲?乙等5人中任選3人參加三個不同項目的比賽，要求每個項目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.【答案】54【分析】根據排列數利用間接法，在總體中排除沒有甲、乙的參賽方案.【詳解】若甲?乙等5人中任選3人參加三個不同項目的比賽，共有種不同參賽方案，若沒有甲?乙入選的不同參賽方案共有種，所以甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.故答案為：54.27．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數是．【答案】84【分析】先考慮所有情況，再減去不滿足的情況即可.【詳解】先考慮五個音階任意排列，有種情況，再減去宮、角、羽三音階都相鄰的情況，把宮、角、羽三音階看做一個一個整體，則一共變成3個元素，有種情況，而宮、角、羽三音階又可以任意排列，有種情況，所以一共的音序有種，故答案為：84題型三組合問題策略方法組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解．【典例1】計算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)455(2)21(3)19900【分析】由組合數計算公式可得答案.【詳解】（1）；（2）；（3）【典例2】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.現選派5人外出參加比賽.(1)隊長中至少有1人參加，有多少種選派方法?(2)參賽的運動員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)，有多少種安排方式?【答案】(1)196(2)7560【分析】（1）求出隨機選擇和沒有隊長的情況，即可求出隊長中至少有1人參加時選派方法的數量；（2）求出隨機選擇人數，人隨機坐和人坐同一個車中的情況，即可求出運動員分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)時安排方式的數量.【詳解】（1）由題意，男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.選派5人，若沒有隊長，則有種選派方法，若隨機選擇，則有種選派方法，∴隊長中至少有1人參加，有種方法.（2）由題意，男運動員6名，女運動員4名，選派5人外出參加比賽，分坐在兩輛車，∴選擇的人是隨機的，有種情況，若人坐同一個車中，有種情況，若人隨機坐，有種情況，∴從人中選5人，且坐在輛不同的車中，有種情況.【題型訓練】一、單選題1．（

）A．35 B．56 C．70 D．84【答案】A【分析】根據組合數性質化簡，再應用組合數公式計算即可.【詳解】,,.故選：A.2．某地環保部門召集6家企業的負責人座談，其中甲企業有2人到會，其余5家企業各有1人到會，會上有3人發言，則發言的3人來自3家不同企業的可能情況的種數為（

）A．15 B．30 C．35 D．42【答案】B【分析】由甲有兩個人參加會議需要分兩類，含有甲的選法、不含有甲的選法，根據分類計數原理得到結果．【詳解】由于甲有兩個人參加會議需要分兩類：含有甲的選法有種，不含有甲的選法有種，共有種.故選：B3．若，則（

）A．90 B．42 C．12 D．10【答案】A【分析】根據組合數的性質求出即可.【詳解】根據，且，所以，﹒故選：A﹒4．現有紅色、黃色、藍色的小球各4個，每個小球上都標有不同的編號.從中任取3個小球，若這3個小球顏色不全相同，且至少有一個紅色小球，不同取法有（

）A．160種 B．220種 C．256種 D．472種【答案】A【分析】分取出的球中有1個紅球、取出的球中有2個紅球兩種情況計算即可.【詳解】若取出的球中有1個紅球，不同的取法有種；若取出的球中有2個紅球，不同的取法有種.故不同取法有種.故選：A.5．5名同學到甲、乙、丙、丁四個場館做志愿者，每名同學只去1個場館且所有同學都被安排完，每個場館至少安排1名同學，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】D【分析】先分組，再分配，根據分步計數原理和組合數的運算公式，即可求解.【詳解】第一步：將5個同學分為4組，即2,1,1,1，共有種分法，第二步：將4組分配給4個場館，共有種分法，所以共有種.故選：D.6．為了弘揚古詩文化，積累古詩詞，某小學舉行古詩詞背誦比賽，其中五年級有6個班，前3個班每個班有50名學生，后3個班每個班有55名學生．現從每個班隨機抽取3名學生參加比賽，則不同的抽取方法種數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，由組合數的計算，結合分步乘法計數原理，代入計算，即可得到結果.【詳解】從50名學生中抽取3人，有種不同的抽取方法，從55名學生中抽取3人，有種不同的抽取方法．因為前3個班每個班有50名學生，后3個班每個班有55名學生，所以參加比賽的學生的抽取方法種數是．故選:C．7．第33屆夏季奧運會預計在2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增電子競技和沖浪兩個競賽項目以及滑板等5個表演項目．現有三個場地，，分別承擔競賽項目與表演項目比賽，其中電子競技和沖浪兩個項目僅能，，，三個場地承辦，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（

）A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種【答案】B【分析】根據組合數與排列數的計數方法，結合分類分步兩個基本原理求解即可得的答案.【詳解】首先電子競技和沖浪兩個項目僅能兩地舉辦，且各自承辦其中一項有種安排；再次5個表演項目分別由三個場地承辦，且每個場地至少承辦其中一個項目則有種，故總數為種不同的安排方法.故選：B.8．編號分別為的10名運動員，要均分成兩個小組進行5人制足球訓練（小組沒有區別），其中1，2號運動員必須組合在一起，3，4號運動員也必須組合在一起，其余運動員可以隨意搭配，則不同的分組方式共有（

）A．20種 B．26種 C．46種 D．52種【答案】B【分析】根據1，2號運動員與3，4號運動員在同一組和不在同一組分類討論.【詳解】1，2號運動員與3，4號運動員在同一組，則還需選一人，有種分組情況；1，2號運動員與3，4號運動員不在同一組，只需1，2號運動員所在小組再選3人即可，有種分組情況，所以一共26中不同的分組方式.故選：B9．某研究機構采訪了“一帶一路”沿線20國的青年，讓他們用一個關鍵詞表達對中國的印象，使用頻率前12的關鍵詞為：高鐵、移動支付、網購、共享單車、一帶一路、無人機、大熊貓、廣場舞、中華美食、長城、京劇、美麗鄉村，其中使用頻率排前四的關鍵詞“高鐵、移動支付、網購、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發明．從這12個關鍵詞中選擇4個不同的關鍵詞，則至多包含2個“新四大發明”關鍵詞的選法種數為（

）A．491 B．462 C．392 D．270【答案】B【分析】分類求出不包含“新四大發明”關鍵詞的選法種數、包含1個“新四大發明”關鍵詞的選法種數、包含2個“新四大發明”關鍵詞的選法種數，根據分類加法計數原理即可得答案.【詳解】從這12個關鍵詞中選擇4個不同的關鍵詞，不包含“新四大發明”關鍵詞的選法種數有種；包含1個“新四大發明”關鍵詞的選法種數有種；包含2個“新四大發明”關鍵詞的選法種數有種；故至多包含2個“新四大發明”關鍵詞的選法種數為種.故選：B10．四面體的頂點和各棱的中點共10個點．在這10點中取4個不共面的點，則不同的取法種數為（

）A．141 B．144 C．150 D．155【答案】A【分析】求出從10個點中任取4個點的取法，減去不合題意的結果可得答案．【詳解】從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類．第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱所對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4頂點共面，有3種．以上三類情況不合要求應減掉，∴不同的取法共有種．故選：A．11．某高中安排6名同學（不同姓）到甲、乙、丙3個小區參加垃圾分類宣傳活動，若每名同學只去一個小區，每個小區至少安排1名同學，其中張同學不去乙小區，則不同的分配方案種數為（

）A．90 B．360 C．240 D．180【答案】B【分析】分張同學單獨一組和其他同學一組兩種情況，先排張同學，然后對其他5人進行分組分配即可.【詳解】（1）張同學單獨一組：由于張同學不去乙小區，所以先排張同學共有種，再將其余5人分成兩組共有中，分配到另外兩個小區共有，所以此類情況共有種；（2）張同學與其他同學一組：先安排張同學共有種，然后將其余5人分成三組共有種，再將三組分配到三個小區共種，所以此類情況共有種.綜上，不同的分配方案共有種.故選：B12．為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設三門勞動教育校本課程，現有甲、乙、丙、丁、戊五位同學報名參加該校勞動教育校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有（

）A．60種 B．150種 C．180種 D．300種【答案】B【分析】對五位同學分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數，采用加法原理求解即可．【詳解】根據題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數為1、1、3，此時有種；②三組人數為2、2、1，此時有種.所以不同的報名方法共有60＋90＝150種．故選：B．13．20個不加區別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小于它的編號數，則不同的放法種數共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．720種【答案】A【分析】應用“隔板法”即可求解.【詳解】先在編2號,3號的盒內分別放入1個球和2個球，還剩17個小球，三個盒內每個至少再放入1個，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊隔板分為三堆放入三個盒中即可，共有（種）方法．故選:A.14．將甲、乙等5位同學分別保送到北京大學、上海交通大學、浙江大學三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送方法有（

）A．240種 B．180種C．150種 D．540種【答案】C【分析】每所大學至少保送一人，可以分類來解，把5名學生分成2：2：1三組或3：1：1三組兩種情況，根據分類計數原理得到結果．【詳解】把5名學生分成2：2：1三組或3：1：1三組兩種情況，當5名學生分成2：2：1三組時，共有種結果，當5名學生分成3：1：1三組時，共有種結果，根據分類計數原理知共有種.故選：C．二、多選題15．某中學從4名男生和3名女生中推薦4個參加社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則（

）A．若選1男3女，有4種選法 B．若選2男2女，有18種選法C．若選3男1女，有12種選法 D．共有36種不同的選法【答案】ABC【分析】根據組合數的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若選1男3女，選法數有種選法，A選項正確.B選項，若選2男2女，選法數有種選法，B選項正確.C選項，若選3男1女，選法數有種選法，C選項正確.D選項，總的選法數有種，D選項錯誤.故選：ABC16．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用組合數公式及性質計算判斷判斷ABC；利用二項式定理判斷D作答.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，由，得，C正確；對于D，，D正確.故選：CD17．從七個組合數，，，，，，中任取三個組合數，則（

）A．三個組合數中含有最大的組合數的取法有種B．三個組合數中含有最小的組合數的取法有種C．三個組合數中同時含有最大與最小的組合數的取法有種D．三個組合數中有相等的組合數的取法有種【答案】ABD【分析】根據直接法結合組合數的運算判斷AD，根據間接法結合組合數的運算判斷B，根據加法原理和組合運算判斷C.【詳解】七個組合數，，，，，，即，，，，，，，最大的組合數為，最小的組合數為，相等的組合數有，，，對于A，從七個組合中任取三個組合數，含有最大的組合數的取法有種結果，正確；對于B，從七個組合中任取三個組合數，含有最小的組合數的取法有種結果，正確；對于C，從七個組合中任取三個組合數，同時含有最大與最小的組合數的取法有種結果，錯誤；對于D，從七個組合中任取三個組合數含有相等的組合數的取法有種結果，正確.故選：ABD.18．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，選法總數為B．若物理和化學至少選一門，選法總數為C．若物理和歷史不能同時選，選法總數為D．若政治必須選，選法總數為【答案】AC【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理、分類加法計數原理及排列組合，依次判斷各選項，即可得解．【詳解】對于A，任意選擇三門課程，選法總數為，A正確；對于B，物理和化學至少選一門，分兩類，第一類：物理和化學選一門，有種方法，其余兩門從剩余的五門中選兩門，有種方法，共有種選法；第二類：物理和化學都選有種方法，其余一門從剩余的五門中選一門，有種方法，共有種選法，由分類加法計數原理知，選法總數為，B錯誤；對于C，物理和歷史不能同時選，選法總數為，C正確；對于D，政治必須選，另兩門從余下六門中任選兩門，選法總數為，D錯誤．故選：AC19．某醫院派出甲、乙、丙、丁4名醫生到A，B，C三家企業開展“面對面”義診活動，每名醫生只能到一家企業工作，每家企業至少派1名醫生，則下列結論正確的是（

）A．所有不同分派方案共種B．所有不同分派方案共36種C．若甲必須到A企業，則所有不同分派方案共12種D．若甲，乙不能安排到同一家企業，則所有不同分派方案共30種【答案】BCD【分析】先將四人分成三組，然后分配到三個企業即可判斷AB；分企業有兩人和企業只有一人，兩種情況討論即可判斷C；先求出甲，乙安排到同一家企業的種數，再利用排除法求解即可.【詳解】由題意，所有不同分派方案共種，故A錯誤，B正確；對于C，若甲必須到A企業，若企業有兩人，則將其余三人安排到三家企業，每家企業一人，則不同分派方案有種，若企業只有一人，則不同分派方案有種，所以所有不同分派方案共種，故正確；對于D，若甲，乙安排到同一家企業，則將剩下的兩人安排到另外兩家企業，每家企業一人，則有種不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企業，則所有不同分派方案共種，故D正確.故選：BCD.三、填空題20．把10個相同的小球放入編號為1，2，3的三個不同盒子中，使盒子里的球的個數不小于它的編號數，則不同的放法種數是（用數字作答）【答案】15【分析】利用隔板法計算即可.【詳解】先在編號為2，3的盒子中分別放入1，2個小球，編號為1的盒子不放球，再每個盒子至少放入一個小球，用隔板法將余下7個小球排一排有6個空，插入2個隔板，有種方法.故答案為：1521．某校擬從2名教師和4名學生共6名黨史知識學習優秀者中隨機選取3名，組成代表隊，參加市黨史知識競賽，則要求代表隊中既有教師又有學生的選法共有種．【答案】16【分析】既有教師又有學生的選法分為有1名教師和2名學生和有2名教師和1名學生，根據分類加法計數原理即可求得答案.【詳解】由題意得從6名黨史知識學習優秀者中隨機選取3名，其中有1名教師和2名學生的選法有種，有2名教師和1名學生的選法有種，故代表隊中既有教師又有學生的選法共有（種），故答案為：1622．算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，在電子計算機發明以前，算盤是廣為使用的計算工具.圖（1）展示的是一把算盤的初始狀態，自右向左每一檔分別表示個位、十位、百位、千位……上面的一粒珠子表示5，下面的一粒珠子表示1.例如圖（2）中個位上撥動一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動一粒下珠靠梁，表示數字17.現將初始狀態的算盤上個位、十位、百位、千位、萬位、十萬位分別隨機撥動一粒珠子靠梁，則可以表示能被3整除的六位數的個數為.【答案】22【分析】分類討論，結合計數原理與組合數的計算可得結果.【詳解】由題意知，得到的六位數的各個數位上均為數字1或5，要使這個六位數能被3整除，則有三種情況：①6個1，只有111111；②6個5，只有555555；③3個1和3個5，有個.故滿足條件的六位數有22個.故答案為：22．23．2023年暑假，5位老師去某風景區游玩，現有“垂云通天河”、“嚴子陵釣臺”這兩處風景供選擇，若每位老師只能選取其中的一處風景且每處風景最多被3位老師選擇，則不同的選擇方案共有種（用數字作答）．【答案】20【分析】根據題意，先分組再分配，結合排列數，組合數，代入計算，即可得到結果.【詳解】依題意得，5位教師中有3位選取其中的一處風景游玩，另兩位教師選擇另一處風景游玩．故可分兩步：第一步：將5位老師分為兩組，一組3人，一組2人，共有種不同的分法；第二步：將兩組分配到兩處風景，共有種不同的方法．根據分步乘法計數原理，得共有種不同的選擇方案．故答案為：24．某旅行社有導游人，其中有人會英語，有人會日語?，F在需要選名英語導游和名日語導游，完成一項導游任務，則不同的選擇方法為.【答案】【分析】分析出雙語導游的選擇人數，即可得出選名英語導游和名日語導游的方法個數.【詳解】由題意，有導游人，其中有人會英語，有人會日語，∴有人只會英語，人只會日語，人兩種語言都會，若1個會雙語的導游都不選，則有種選擇方法，若恰好選1個會雙語的導游，則有種選擇方法，若恰好選2個會雙浯的導游，則有種選擇方法,故不同的選擇方法有種.故答案為：.25．按下列要求分配6本不同的書.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有種不同的分配方式；（2）甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有種不同的分配方式；（3）平均分成三份，每份2本，有種不同的分配方式；（4）平均分配給甲?乙?丙三人，每人2本，有種不同的分配方式；（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有種不同的分配方式；（6）甲?乙?丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有種不同的分配方式；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有種不同的分配方式.【答案】603601590159030【分析】根據排列、組合的定義，結合分步計數原理對（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）逐一進行求解即可.【詳解】（1）先從6本書中選1本，有種分配方法，再從剩余5本書中選擇2本，有種分配方法，剩余的是3本書，有（種）分配方法.（2）在（1）的結論下，將這三份書分給甲?乙?丙三人，有（種）分配方法.（3）先從6本書中選2本，有種分配方法，再從剩余4本書中選擇2本，有種分配方法，剩余的就是2本書，有種分配方法，所以共有種分配方法.但是，該過程有重復，設6本書分別為A，B，C，D，E，F，若三個步驟分別選出的是，，，則所有情況為，，，，，，則需去除重復的情況.綜上，不同的分配方式共有（種）.（4）結合（3）可知，將這三份書分別分給甲?乙?丙三人，分配方法的種數為.（5）先從6本書中選4本，有種分配方法，再從剩余的2本書中選1本，有種分配方法，最后還剩1本書，因為在最后2本書的選擇中發生了重復，所以總共有（種）分配方法.（6）結合（5）可知，將這三份書分別分給甲?乙?丙三人，則分配方法共有（種）.（7）完成該事件，分三步，甲選1本，有種選法，乙從余下的5本書中選1本，有種選法，余下的4本書留給丙，有（種）選法.故答案為：60；360；15；90；15；90；30題型四排列組合綜合問題策略方法（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數，再減去不符合要求的排列數．【典例1】某醫療小組有4名男性，2名女性共6名醫護人員，醫護人員甲是其中一名．(1)若從中任選2人參加A，兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫護人員甲不參加項救護活動的選法種數；(2)這6名醫護人員將去3個不同的地方參與醫療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個地方，求不同的分配方案種數．【答案】(1)25(2)72【分析】（1）分類，按甲是否參加活動分兩類；（2）分步，第一步按排兩名女性，第二步按排與女性同去的男性，第三步剩余的兩名男性．【詳解】（1）分兩類：①甲參加項救護活動，再從其余5人中選一人參加A，選法數為，②甲不參加救護活動，則從其余5人中任選兩人參加救護活動，選法數為，所以共有選法種數為20+5=25；（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫護人員有：，第二步：安排兩名女醫護人員同去的男醫護人員有：，第三步：剩余兩名男性醫護人員去另外一地有：，所以共有不同的分配方案數為：．【題型訓練】一、單選題1．2023年杭州亞運會需招募志愿者，現從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負責語言服務、人員引導、應急救助工作，其中甲、乙2人不能負責語言服務工作，則不同的選法共有（

）A．248種 B．252種 C．256種 D．288種【答案】B【分析】先選能擔任語言服務的人員，再選能擔任人員引導、應急救助工作的人員，最后根據分步計算原理即可得答案.【詳解】先從甲、乙之外的6人中選取1人負責語言服務工作，再從剩下的7人中選取2人負責人員引導、應急救助工作，則不同的選法共有種.故選：B.2．在數學中，有一個被稱為自然常數（又叫歐拉數）的常數.小明在設置銀行卡的數字密碼時，打算將自然常數的前6位數字進行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個2不相鄰，兩個8相鄰，那么小明可以設置的不同的密碼個數為（

）A．36 B．48 C．72 D．120【答案】A【分析】根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解．【詳解】如果排列時要求兩個8相鄰，兩個2不相鄰，兩個8捆綁看作一個元素與7，1全排列，排好后有4個空位，兩個2插入其中的2個空位中，注意到兩個2，兩個8均為相同元素，那么小明可以設置的不同密碼共有.故選：A．3．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排1人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排2人，且甲、乙兩人被安排在同一個艙內，則共有（

）種方案．A．3 B．6 C．30 D．60【答案】B【分析】先考慮天和核心艙，然后再考慮剩下的兩個艙即可.【詳解】先除甲、乙外的3名航天員中挑1人到天和核心艙有種情況，然后剩下的2名航天員一組，甲乙一組分配到剩下的兩個艙有種情況，所以共有.故選：B.4．五一期間，小丁，小趙，小陳，小吳四人計劃到溧陽天目湖，金壇茅山，春秋樂園三地旅游，每人只去一個地方，每個地方至少有一人去，且小丁不去溧陽天目湖，則不同的旅游方案共有（

）A．18種 B．12種 C．36種 D．24種【答案】D【分析】利用分類加法計數原理，分小丁單獨旅游與小丁與他人一起旅游兩種情況，根據分組分配的解題思路，可得答案.【詳解】第一種情況：當小丁獨自去旅游，從金壇茅山、春秋樂山中選一個，其方法數為；小趙、小陳、小吳三人去另外兩個地方旅游，利用分組分配的思路，可得方法數為；則該情況下，總的方法數為.第二種情況：當小丁與他人組隊去旅游，再從金壇茅山、春秋樂山中選一個，其方法數為，其他兩人去另外兩個地方，其方法數為，則該情況下，總的方法數為.故不同的旅游方法共有種.故選：D.5．第19屆亞運會將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項目的志愿者工作，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目．若甲不能參加“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】C【分析】先從除甲外的3人中選1人參加“蓮花”場館的項目，再安排另外兩個項目，利用排列、組合知識計算求解．【詳解】先從除甲外的3人中選1人參加“蓮花”場館的項目，再安排另外兩個項目，若甲不能參加“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有種．故選：C.?復旦大學?武漢大學?共5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，每所學校至少有一位同學選擇，則同學選擇浙江大學的不同方法共有（

）A．24種 B．60種 C．96種 D．240種【答案】B【分析】依題意，有兩位同學選擇了同一所學校，分有兩位同學選擇了浙江大學和只有A同學選擇了浙江大學這兩種情況討論，結合排列組合的原理計算.【詳解】5位同學選擇4所學校，每所學校至少有一位同學選擇，則有兩位同學選擇了同一所學校，已知同學選擇浙江大學，當有兩位同學選擇了浙江大學時，則這4位同學在4所大學中分別選了一所，共種選法；當只有A同學選擇了浙江大學時，則這4位同學在其余3所大學中選擇，每所學校至少有一位同學選擇，則有兩位同學選擇了同一所學校，共種選法；所以同學選擇浙江大學的不同方法共有種.故選：B7．端午節三天假期中每天需安排一人值班，現由甲?乙?丙三人值班，且每人至多值班兩天，則不同的安排方法有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．42種【答案】B【分析】根據分類加法計數原理可求出結果.【詳解】若甲乙丙三人每人值班一天，則不同安排方法有種.若三人中選兩個人值班，則有種，因此一共有種.故選：B.8．用這6個數字可以組成個無重復數字的六位數，其中偶數有個，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據排列組合知識求出，代入可得結果.【詳解】從中任選一個數字排在首位，其余5個數字全排可得，排在個位的無重復數字的六位偶數有個，不排在個位的無重復數字的六位偶數有個，故.所以．故選：B9．2023年5月18日至19日，首屆中國—中亞峰會在陜西西安成功舉行.峰會期間，甲、乙、丙、丁、戊5名同學承擔A，B，C，D共4項翻譯工作，每名同學需承擔1項翻譯工作，每項翻譯工作至少需要1名同學，則不同的安排方法有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．4種【答案】B【分析】先用捆綁法分組，再排列求解即可；【詳解】首先把5名同學轉化成4組，然后分給4項翻譯工作，第一步：從5名同學中任意取出2名捆綁成1組，有種方法；第二步：再把4組分給4項翻譯工作，有種方法，由乘法原理，共有(種)方法；故選：B.10．杭州亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目，共設杭州賽區、寧波賽區、溫州賽區、金華賽區、紹興賽區、湖州賽區，現需從6名管理者中選取4人分別到溫州，金華、紹興、湖州四個賽區負責志愿者工作，要求四個賽區各有一名管理者，且6人中甲不去溫州賽區，乙不去金華賽區，則不同的選擇方案共有（

）A．108種 B．216種 C．240種 D．252種【答案】D【分析】根據題意，分為：甲乙都未選中、甲選中且乙未選中、甲未選中且乙選中和甲乙都選中，四類情況討論，結合分類計數原理，即可求解.【詳解】根據題意，可分為四類：①當甲乙都未選中，則不同的選擇方案有種；②當甲選中，乙未選中，則不同的選擇方案有種；③當甲未選中，乙選中，則不同的選擇方案有種；④當甲乙都選中，則由中選法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金華賽區，則有；若甲未去金華賽區，則有，則不同的安排方案有種，由分類計數原理，可得共有種不同的安排方案.故選：D.11．某班團支部換屆選舉，從已產生的甲、乙、丙、丁四名候選人中選出三人分別擔任書記、副書記和組織委員，并且規定：上屆任職的甲、乙、丙三人不能連任原職，則不同的任職結果有（

）.A．15 B．11 C．14 D．23【答案】B【分析】利用正難則反的方法，求出總的方法數，利用分類討論的方法，分一、二、三個職位連任，可得答案.【詳解】四人中選出三人分別任職三個不同的崗位，其方法數為，三個職位中有一位連任，假設上屆任職的甲、乙、丙三人分別擔任書記、副書記和組織委員，假設甲連任書記，副書記可選的人選分別為丙和丁，當丁擔任了副書記，則組織委員只能選乙；當丙擔任了副書記，則組織委員只能選乙和丁，故其方法數為；三個職位中有兩位連任，其方法數為；三個職位中三位都連任，其方法數為1.故符合題意的方法數為.故選：B.12．教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到A、B、C三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數有（

）種A．25 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】按照分類分步計數原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個學校去，即可計算出結果.【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，第一類：各組人數分別為1，1，3，共有種分法；第二類：各組人數分別為1，2，2，共有種分法，再將三組人員分配到A、B、C三個鄉村學校去，共有種，所以不同的選派方法共有種.故選：D13．廈門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀念館、廈門經濟特區紀念館、廈門市文化遺產保護中心、破獄斗爭陳列館、陳化成紀念館、陳勝元故居七個館區組成.甲、乙兩名同學各自選取一個館區參觀且所選館區互不相同，若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有（

）A．22種 B．20種 C．12種 D．10種【答案】A【分析】分為鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選一個和兩個，兩種情況分開求解即可得出答案.【詳解】若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選一個：種，若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選二個：種，故若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有種方案.故選：A.14．由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的六位數，其中奇數不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數個數為（

）A．120種 B．108種 C．96種 D．72種【答案】B【分析】利用全部不相鄰的奇數中去掉2在第二位的情況，即可利用不相鄰問題插空法求解.【詳解】1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的六位數，其中奇數不相鄰，先排3個偶數，然后把3個奇數插入即可，共有個，若2在第二位，則第一位一定為奇數，則從3個奇數中選擇一個放在第一位上，此時還剩下2個偶數和2個奇數安排在后四位上，則先排2個偶數，然后把剩下2個奇數插空即可，此時共有個，因此符合條件的六位數有個，故選：B15．如圖，某單位計劃在辦公樓前的一個花壇的A、B、C、D四個區域重新種花.現有紅、藍、黃、白四種顏色的花可選擇，一個區域只種一種顏色的花，且相鄰的兩個區域不能種同一種顏色的花，則共有（

）種不同的種植方案.A．36 B．48 C．72 D．84【答案】D【分析】考慮選用兩種顏色的花，三種顏色的花，四種顏色的花，利用排列組合知識求出答案后相加即可.【詳解】若選用兩種顏色的花，則有種選擇，選擇的兩種顏色的花種在對角位置，有兩種選擇，故共有種選擇，若選用三種顏色的花，則有種選擇，必有一個對角位置使用同種顏色的花，先選擇一個對角，再從三種顏色的花中選擇一種，有種選擇，另外的對角位置選擇不同位置的花，有種選擇，共有種選擇，若選用四種顏色的花，則有種選擇，綜上：共有種選擇.故選：D16．口袋里有紅黃藍綠的小球各四個，這些球除了顏色之外完全相同，現在從口袋里任意取出四個小球，則不同的方法有（

）種.A．48 B．77 C．35 D．39【答案】C【分析】根據題意可將取出的球分為有一種、二種、三種、四種顏色分類，然后再求出各種情況有多少種，分類相加即可求解.【詳解】根據條件，取出的四個球可以分為一種，兩種，三種，四種顏色，當取出的球只有一種顏色時：有種；當取出的球只有二種顏色時：有種；當取出的球只有三種顏色時：有種；當取出的球只有四種顏色時：有種；共有：種.故C項正確.故選：C.17．在數學中，自然常數.小明打算將自然常數的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.如果排列時要求2不排第一個，兩個8相鄰，那么小明可以設置的不同的密碼個數為（

）A．48 B．36 C．32 D．30【答案】B【分析】根據題意，分兩種情況討論：①排在第一位；②不排在第一位

.由加法計數原理計算即可.【詳解】根據題意，分兩種情況：①排在第一位，則第二位也是，再從剩下個位置選出個，安排兩個，最后安排和，此時有個不同的密碼；②不排成第一位，則第一位安排或，將兩個看成一個整體，與兩個和7或中剩下的數排列，此時有個不同的密碼；則一有個不同的密碼.故選：二、多選題18．從1，2，3，4，6中任取若干數字組成新的數字，下列說法正確的有（

）A．若數字可以重復，則可組成的三位數的個數為125B．若數字可以重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為375C．若數字不能重復，則可組成的三位數的個數為70D．若數字不能重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為72【答案】ABD【分析】AB選項利用分步乘法原理計算即可，CD選項利用排列組合和特殊優先的原則計算即可.【詳解】A選項：若數字可以重復，則可組成的三位數的個數為，故A正確；B選項：若數字可以重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為，故B正確；C選項：若數字不能重復，則可組成的三位數的個數為，故C錯；D選項：若數字不能重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為，故D正確.故選：ABD.19．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數”六門體驗課程，每周一門，連續開設六周，則()A．課程“射”“御”排在前兩周，共有24種排法B．某學生從中選5門，共有6種選法C．課程“禮”“書”“數”排在后三周，共有36種排法D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法【答案】BCD【分析】根據特殊元素優先法，判斷ACD；利用組合的應用判段；【詳解】先把課程“射”“御”排在前兩周共種，再排其他四門共，所以共種排法，故A錯誤；6門中選5門共有種，故B正確；課程“禮”“書”“數”排在后三周，共有種排法，故C正確；課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有種排法，故D正確.故選：BCD.20．現安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學參加運動會志愿者服務活動，有翻譯?導游?禮儀?司機四項工作可以安排，則以下說法正確的有（

）A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數為B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數為C．每項工作至少有1人參加，甲?乙不會開車但能從事其他三項工作，丙?丁?戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是D．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為【答案】ACD【分析】對于A，分步乘法計數原理即可判斷.對于B、C，利用排列組合的應用，即可判斷.對于D，利用分組分配知識即可判斷.【詳解】對于A，安排5人參加4項工作，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方式，則有種安排方法，故選項A正確.對于B，根據題意，分2步進行分析：先將5人分成4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有種安排方法，故選項B錯誤.對于C，根據題意，分2種情況需要討論：①從丙?丁?戊中選出2人開車，②從丙?丁?戊中選出1人開車，則有種安排方法，故選項C正確.對于D，分2步進行分析：先將5人分成3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導游?禮儀三項工作，有種安排方法，則這5名同學全部被安排的不同方法數為，故選項D正確.故選：ACD.21．某校計劃安排五位老師（包含甲、乙）擔任周一至周四的值班工作，每天都有老師值班，且每人最多值班一天，則下列說法正確的是（

）A．若周一必須安排兩位老師，則不同的安排方法共有60種B．若甲、乙均值班且必須排在同一天值班，則不同的安排方法共有48種C．若五位老師都值班一天，則不同的安排方法共有240種D．若每天恰有一位老師值班，且如果甲乙均值班，則甲必須在乙之前值班的不同的安排方法共有84種【答案】AC【分析】根據給定條件，利用排列、組合，結合分步乘法計數原理逐項列式求解作答.【詳解】對于A，周一必須安排兩位老師，從5位老師中取兩位周一值班，余下3位全排列，不同的安排方法有種，A正確；對于B，甲、乙均值班且在同一天，與余下3位一起的4個元素全排列，不同的安排方法共有種，B錯誤；對于C，五位老師都值班一天，則有兩位老師在同一天值班，不同的安排方法有種，C正確；對于D，顯然甲乙至少有一位值班，如果甲乙都值班，除甲乙外還有兩位老師各值班一天，甲必須在乙之前值班的不同安排方法有種，D錯誤.故選：AC22．現有4個編號為1，2，3，4的盒子和4個編號為1，2，3，4的小球，要求把4個小球全部放進盒子中，則下列結論正確的有（

）A．沒有空盒子的方法共有24種B．可以有空盒子的方法共有128種C．恰有1個盒子不放球的方法共有144種D．沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有8種【答案】ACD【分析】對于A：沒有空盒則全排列，求解即可；對于B：有4個球，每個球有4種放法，此時隨意放，盒子可以空也可以全用完，求解即可；對于C：恰有1個空盒，說明另外3個盒子都有球，而球共4個，必然有一個盒子中放了2個球，求解即可；對于D：沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒中，從4個盒4個球中選定一組標號相同的球和盒，另外3個球3個盒標號不能對應