重慶三峽學院畢業設計〔論文〕大數定律與中心極限定理及其應用分院數學與統計學院專業數學與應用數學〔師范〕班級10數本1班學號202306034109姓名張永東指導教師陳飛翔(講師)2014年5月10日目錄摘要.IAbstract.II１大數定律的應用11.1引言11.2預備知識1相關定義1切比雪夫不等式及其應用11.3幾類重要的大數定律的應用2切比雪夫大數定律及其在測繪方面的應用2伯努利大數定律及其在重復事件方面的應用3辛欽大數定律及其在數學分析方面的應用31.4大數定律的意義42中心極限定理的應用52.1前言52.2幾類重要的中心極限定理的應用5林德伯格定理及其在保險方面的應用5列維定理及其在極限求解方面的應用6棣莫弗-拉普拉斯定理及其在實際生活方面的應用62.2.4李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應用93大數定律和中心極限定理的比擬應用93.1大數定律和中心極限定理的比擬應用9結論10致謝11參考文獻12大數定律與中心極限定理及其應用張永東〔重慶三峽學院數學與統計學院數學與應用數學專業2023級一班重慶萬州404000〕摘要：大數定律和中心極限定理是概率論中很重要的定理，也是概率論與數理統計聯系的關鍵所在，更是生活中不可缺少的一局部.較多文獻給出了不同條件下存在的大數定律和中心極限定理，并利用大數定律和中心極限定理得到較多模型的收斂性.但對于它們的適用范圍及在實際生活中的應用涉及較少.本文介紹了幾種較為常見的大數定律和中心極限定理，并列舉了它們在經濟生活、數學分析、信息論等各個不同領域的應用.將理論具體化、將可行的結論用于具體的數學模型中，以使得枯燥的數學理論與實際相結合，使大家對大數定律與中心極限定理在實際生活中的應用價值有了更深的認識.關鍵詞：大數定律;中心極限定理;期望;方差;應用ApplicationofthelawoflargenumbersandthecentrallimittheoremZHANGyong-dong(Grade2023,MathematicsandAppliedMathematics,SchoolofMathematicsandStatistics,ChongqingThreeGorgesUniversityAbstract:Thelawoflargenumbersandcentrallimittheoremisveryimportantinprobabilitytheorytheorem,anditisnotonlythecontactkeyofProbabilitytheoryandmathematicalstatistics,butalsoanindispensablepartoflife.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbersandcentrallimittheorem.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbers,andhaveobtainedtheastringentusingthelawoflargenumbersandcentrallimitingtheorems.Butherehasnomanyresultsinpracticallifeandapplicablescope.HereIintroduceseveralkindsoflawsoflargenumbersandcentrallimittheorems,thenthispaperenumeratessomedifferentapplicantsineconomiclife,mathematicsandinformationtheoryandsoon.Itmakestheoryconcretely,andconsiderssomeconcretemathematicalmodel,andsomakesmathematicaltheoryreality,thuswecanhavedeeperunderstandingonthelawoflargenumbersandthecentrallimitingtheorem.Keywords:Thelawoflargenumbers,Centrallimittheorem,Expectation,Variance,Application１大數定律的應用1.1引言生產、生活及科學實驗中的風險事故都具有不確定性，或者稱為隨機性.但是，任何事情的發生、開展都具有一定的客觀規律.如果各種條件都能預知,那么事物發生的結果也能予以正確地測定，此時雖然風險事故仍然存在，損失仍然會發生，但是，隨機性將因此消失.如果有大量的事例可供考察研究，那么這些未知的、不確定的力量將有趨于平衡的自然傾向，那些在個別事例中存在的隨機風險將在大數中消失，這種結論就是概率論中的大數定律.它的結論也可表達為：大量的隨機現象由于偶然性相互抵消而呈現出某種必然的數量規律.1.2預備知識1.2.1相關定義在介紹大數定律之前,先介紹幾個相關定義：定義1設為概率空間上定義的隨機變量序列〔簡稱隨即序列〕,假設存在隨即變數使對任意，恒有：或,那么稱隨即序列｛｝依概率收斂于隨機變量〔也可以是一個常數〕，并用下面的符號表示：或定義2設為一隨即序列,數學期望存在,令,假設，那么稱隨機序列服從大數定律，或者說大數法那么成立.定義3設是分布函數序列，假設存在一個非降函數,對于它的每一連續點,都有,，那么稱分布函數序列弱收斂于.定義4設,分別是隨機變量及的分布函數,假設,那么稱依分布收斂于亦記為且有：(1)假設那么；(2)設c為常數,那么的充要條件是.1.2.2切比雪夫不等式及其應用切比雪夫不等式：設隨機變量具有有限數學期望和方差,那么對于任意正數,如下不等式成立，或有這個不等式可解釋為：對任意給定的正常數,可以作出兩個區間和，不等式表示,在一次試驗中,隨機變量的取值落在的概率小于等于.切比雪夫〔Chebyshev〕不等式的應用：〔1〕期望和方差,我們就可以利用切比雪夫不等式估計在期望的鄰域的概率.〔2〕期望和方差,對確定的概率,利用切比雪夫不等式求出,從而得到所需估計區間的長度.〔3〕對n重伯努利試驗,利用切比雪夫不等式可以確定試驗次數.〔4〕它是推導大數定律和其他定理的依據.例1：正常男性成人血液中,每毫升白細胞數的平均值是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數在5200～9400之間的概率.解：設X表示每毫升血液中含白細胞個數,那么,那么而所以1.3幾類重要的大數定律的應用1.3.1切比雪夫大數定律：設獨立隨機變量序列的數學期望與方差都存在,并且方差是一致有上界的,即存在某一常數,使得,那么對于任意的正數,有.推論1：設隨機變量相互獨立,且它們具有相同的分布及有限的數學期望和方差：,那么對任意給定的正數,有.【1】此推論說明：n個相互獨立的具有相同數學期望和方差的隨機變量,當n很大時,它們的算術平均值幾乎是一常數,這個常數就是它們的數學期望.例2：使用某儀器測量量,設n次獨立得到的測量值為.如果儀器無系統誤差,問n充分大時,是否可以用作為儀器誤差的方差近似值？分析：用表示儀器誤差的方差真值.如果,恒有,那么n充分大時就可以看作是的近似值.解：依題意,可以將觀察結果看作是相互獨立具有相同分布的隨機變量.那么,儀器第次測量誤差的數學期望設亦是相互獨立的具有相同分布隨機變量,在儀器無系統誤差時有,即由切比雪夫大數定律,,有,即,有從而確定當時,隨機變量依概率收斂于,即當充分大時,可以用作為儀器誤差的方差近似值.1.3.2伯努利大數定律及其在重復事件方面的應用伯努利大數定律〔頻率的穩定性〕：設是次獨立試驗中事件A發生的次數,p是事件A在每次試驗中發生的概率,那么對于任意正數ε,恒有或【2】說明：隨著n的增大,事件A發生的頻率與其概率p的偏差大于預先給定的精度的可能性愈來愈小,小到可以忽略不計.這就是頻率穩定于概率的含義,或者說頻率依概率收斂于概率.這個定理以嚴格的數學形式刻畫了頻率的穩定性,因此,在實際應用中,當試驗次數很大時,便可以用時間發生的頻率來代替事件的概率.伯努利大數定律提供了用頻率來確定概率的理論依據.我們可通過屢次重復一個試驗,確定事件A在每次試驗中出現的概率為.譬如,拋一枚硬幣出現正面的概率p=0.5.假設把這枚硬幣連拋10次,那么因為n較小,發生大偏差的可能性有時會大一些,有時會小一些.假設把這枚硬幣連拋n次,當n很大時,由切比雪夫不等式知：證明出現的概率與0.5的偏差大于預先給定的精度〔假設取精度=0.01〕的可能性.當n=105時,大偏差放松的可能性小于.當n=106時,大偏差發生的可能性小于.可見試驗次數愈多,偏差發生的可能性愈小.1.3.3辛欽大數定律及其在數學分析方面的應用我們已經知道,一個隨機變量的方差存在,那么其數學期望必定存在；但反之不成立,即一個隨機變量的數學期望存在,那么其方差不一定存在.以上幾個大數定律均假設隨機變量序列的方差存在,以下的辛欽大數定律去掉了這一假設,僅設每個的數學期望存在,但同時要求為獨立同分布的隨機變量序列.伯努利大數定律仍然是辛欽大數定律的特例.辛欽大數定律：設為一獨立同分布的隨機變量序列,假設的數學期望存在,那么服從大數定律,即對任意的,有成立.辛欽大數定律提供了求隨機變量數學期望的近似值的方法.設想對隨機變量獨立重復地觀察次,第次觀察值為,那么應該是相互獨立的,且它們的分布應該與的分布相同.所以,在存在的條件下,按照辛欽大數定律,當足夠大時,可以把平均觀察值作為的近似值.這樣做法的一個優點是我們可以不必去管的分布究竟是怎樣的,我們的目的只是尋找數學期望.事實上,用觀察值的平均去作為隨機變量的均值在實際生活中是常用的方法.譬如,用觀察到的某地區5000個人的平均壽命作為該地區的人均壽命的近似值是適宜的,這樣做法的依據就是辛欽大數定律.概率論借助于數學分析,可以較好地描述、處理、解決隨即現象的有關理論和應用問題.反之,用概率方法來解決數學分析中的一些問題,也是概率論的重要研究方向之一[3].數學分析中的有些問題,用數學分析的方法很難解決,但如果巧用概率論的方法,那么變得比擬容易處理了.再比方,許多極限的運算運數學分析的方法會很麻煩,但是運用概率論中相關的知識或許會到達事半功倍的效果.例3：假設,求其極限.解：假設隨機變量在[0,1]上有均勻分布,而且相互獨立,有易見由獨立同分布,可見獨立同分布.根據辛欽大數定律知從而1.4大數定律的意義概率論與數理統計是研究隨即現象的統計規律的科學，而隨機現象的統計規律性只有在相同條件下進行大量重復試驗或觀察才呈現出來.大數定律是概率論中的重要內容,其目的是考察隨機序列的穩定性.從概率的統計定義中可以看出：一個事件發生的概率具有穩定性，即隨著試驗次數的增多，事件的頻率逐漸穩定在某個常數附近.人們在實踐中觀察其他一些隨機現象時，也常常會發現大量隨機個體的平均效果的穩定性.這就是說，無論個別隨機個體以及它們在隨機試驗過程中的個別特征如何，大量隨機個體的平均效果與每一個體的特征無關，且不再是隨機的.深入考慮后,大數定律就是要研究在什么條件下具有穩定性的問題，同時大數定律是保險財政穩定性重要的理論根底，大數定律在概率論的所有局部中都有著應用.除此之外,許多學者利用概率論思想研究了大數定律在其他相關領域的應用.例如統計方面的應用,在信息論中的應用,在分析,數論等方面的應用.2中心極限定理的應用2.1前言大數定律討論的是多個隨機變量的平均的漸近性質,但沒有涉及到隨機變量的分布的問題.而概率論與數理統計中,正態分布是一種最常見而又最重要的分布.在實際應用中,有很多隨機變量都服從正態分布.在實際應用中,有很多隨機變量都服從正態分布,即使原來并不服從正態分布的一些獨立的隨機變量,它們的和分布也近似服從正態分布,自然要提出這樣的問題：為什么正態分布如此廣泛地存在,從而在概率論中占有如此重要的地位？應如何解釋大量隨機現象的這一客觀規律性呢？事實上,這正是客觀實際的反映,中心極限定理就是概率論中論證隨機變量和的極限分布為正態分布的定理總稱.概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態分布的一系列定理稱為中心極限定理.2.2幾類重要的中心極限定理的應用2.2.林德伯格定理：設獨立隨機變量滿足林德伯格條件，對于任意的正數,有.其中是隨機變量的概率密度,那么當時,我們有即其中是任何實數.林德伯格定理可以解釋如下：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立隨機變量的和,其中每一個隨機變量對于總和只起微小的作用,那么可以認為這個隨機變量實際上是服從正態分布的.例如,進行觀測時,不可防止地有許多引起觀測誤差的隨機因素影響著我們的觀測結果,其中有些誤差是由測量儀器的情況引起的,這些情況可以在溫室、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于觀測站個人的誤差,這些誤差大多數是由于視覺或聽覺引起的等等.這些因素中的每一個都可能使觀測的結果產生很小的誤差,然而由于所有這些誤差共同影響著觀測結果,于是我們得到的是一個“總的誤差〞.所以,實際觀測的到的誤差可以看作是一個隨機變量,它是很多數值微小的獨立隨機變量的總和,按林德伯格定理,這個隨機變量應該服從正態分布.此外,還可以舉出很多類似的例子,這里具體舉出一個例子[4].例4：某保險公司有2500個人參加保險,每人每年付1200元保險費,在一年內一個人死亡的概率為0.002,死亡時某家屬可向保險公司領得20萬元.問：(1)保險公司虧本的概率多大？(2)保險公司一年的利潤不少于100萬元,200萬元的概率各位多大？解：〔1〕設X為一年內死亡的人數,那么X～B(2500,0.002),,P(虧本)=保險公司虧本的概率為0.00007,幾乎為零.〔2〕P(利潤)P(利潤)以上結果說明保險公司幾乎不可能虧本,不過要記住,關鍵之處是對死亡率估計必須正確,如果所估計死亡率比實際低,甚至低得多,那么情況就會不同.2.2.列維定理：設隨機變量相互獨立,服從同一分布,且有有限的數學期望和方差,那么隨機變量的分布函數滿足如下極限式,其中是任何實數.定理的應用：對于獨立的隨機變量序列,不管服從什么分布,只要他們是分布,且有有限的數學期望和方差,那么,當充分大時,這些隨機變量之和近似地服從正態分布.大數定律和中心極限定理是概率論中的重要理論,是分析中的極限理論在概率論中的綜合運用,同時極限定理中的一些結果也為分析中的許多極限問題提供了有力工具[5].例5：求極限解引入隨機變量〔參數為的泊松分布〕,,且相互獨立,由泊松分布的再生性知,,所以P｛｝=,而E〔〕=D｛｝=n,P｛n｝=P｛｝即：=P｛｝令n,由中心極限定理可知：=P｛｝==2.2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設在獨立試驗序列中,事件A在各次試驗中發生的概率為,隨機變量表示事件A在次試驗中發生的次數,那么有,其中是任何實數.棣莫弗-拉普拉斯定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理,它是專門針對二項分布的,因此稱為“二項分布的正態近似〞.在之前概率論的學習中有“二項分布的泊松近似〞，兩者相比,一般在較小的時候,用泊松分布近似較好,而在和時,用正態分布近似較好.二項分布的極限分布是正態分布，即如果那么一般地,如果,那么說明：這個公式給出了較大時二項分布的概率計算方法.在給出棣莫弗-拉普拉斯定理應用之前,先說明兩點：(1)因為二項分布是離散分布,而正態分布是連續分布,所以用正態分布作為二項分布的近似計算中,作為修正可以提高精度.假設均為整數,一般先作如下修正后再用正態近似.(2)假設記,那么由棣莫弗—拉普拉斯極限定理給出的近似式，可用來解決三類計算問題：〔1〕求；〔2〕求;〔3〕求.以下我們就分這三類情況給出一些具體的例子.給定，求.例6：一復雜系統由100個相互獨立工作的部件組成,每個不見正常工作的概率為0.9.一直真個系統中至少有85個不見正常工作,系統工作才正常.試求系統正常工作的概率.解：記=100,為100個部件中正常工作的部件數,那么～b(100,0.9)；；所求概率為②，求.例7：某車間有同型號的機床200臺,在一小時內每臺機床有70％的時間是工作.假定各機床工作是相互獨立的,工作時每臺機床要消耗電能15kW.問至少要多少電能,才可以有95％的可能性保證此車間正常生產.解：記=200,為200臺機床中同時工作的機床數,那么：～b(200,0.7),.因為臺機床同時工作需消耗15〔kW〕電能,所以設供電數為(kW),那么正常生產為,由題設,其中查正態分布表得從中解得〔kW〕,即此車間每小時至少需要2252〔kW〕電能,才有95％的可能性保證此車間正常生產.③，求.例8：某調查公司受委托,調查某電視節目在S市的收視率,調查公司將所有調查對象中收看此節目的頻率作為的估計.現在要保證有90％的把握,使得調查所得收視率與真實收視率之間的差異不大于5％.問至少要調查多少對象？解：設共調查n個對象,記=0,當第i個調查對象收看此電視節目；=1,當第i個調查對象不看此電視節目.那么獨立同分布,且(=1)=,(=0)=,又記個被調查對象中,收看此電視節目的人數為,那么有由大數定律,當很大時,頻率與概率很接近,即用頻率作為的估計是適宜的.根據題意有,所以,查正態分布表得,從中解得：np(1-p)=p(1-p)×1082.41又因為,所以,即至少調查271個對象.例9：某單位有200臺分機,每臺有5％的時間要使用外線通話,假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的,問該單位總機要安裝多少條外線,才能以90％以上的概率保證分機用外線時不等待？解：設有局部機同時使用外線,那么有,其中,,,設有條外線.由題意有由棣莫弗-拉普拉斯定理有查表得,故應滿足條件.即,取,即至少要安裝14條外線.李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應用設為獨立隨即變量序列,假設存在,滿足那么對任意的,有其中,,例10：一份考卷由99個題目組成,并按由易到難順序排列.某學生答對第1題的概率為0.99；答對第2題的概率為0.98；一般地,他答對第題的概率為1－,.假設該學生答復各題目是相互獨立的,并且要正確答復其中60個題目以上〔包括60個〕才算通過考試.試計算該學生通過考試的可能性多大？解：設假設學生答對第題,那么；假設學生答錯第題,那么.于是Xi相互獨立,且服從不同的二點分布：,,.而我們要求的是，為使用中心極限定理,我們可以設想從開始的隨機變量都與同分布,且相互獨立.下面我們用來驗證隨機變量序列滿足李雅普諾夫條件,因為,于是〔n〕,即滿足李雅普諾夫條件,所以可以使用中心極限定理.又因為,所以該學生通過考試的可能性為由此看出：此學生通過考試的可能性很小,大約只有千分之五.3大數定律和中心極限定理的比擬應用3.1大數定律和中心極限定理的比擬應用例11：現有一大批種子,其中良種占,今在其中任選6000粒,試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子良種所占的比例與之差小于1％的概率是多少？解：〔1〕設取出的種子中的良種粒數為,那么于是要估計的規律為,相當于在切比雪夫不等式中取,于是由題意得即用切比雪夫不等式估計此概率不小于0.7685.〔2〕由拉普拉斯中心極限定理,對于二項分布可用正態分布近似,于是所求概率為即用中心極限定理估計此概率不小于0.9625.從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于0.7685,而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于0.9625.從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是較低的.但由于它的要求比擬低,只要知道X的期望和方差,因而在理論上有許多運用.當然，兩者的比擬還有在許多方面的應用，這里就不做詳細的介紹了，只起到一個引導的作用.結論隨著社會的飛速開展,市場競爭日趨劇烈,決策者必須綜合考察以往的信息及現狀從而作出綜合判斷,決策概率分析這門學科越來越顯示其重要性.利用數學方法,定量地對醫學問題進行相關分析,使其結論具有可信度,更有利于促進對病人的對癥施治等.本文詳細介紹了大數定律和中心極限定理及其在生活各方面的應用.通過這些詳細的講述,可以看到這兩個概率公式的應用是多方面的.靈活使用這兩個概率公式會給我們的解題帶來很大方便,而這兩個概率定理的應用范圍十分廣泛,成為我們解決更復雜問題的有效工具.本次畢業論文的撰寫,使我擴大了知識范圍,鍛煉了觀察和思維能力,進一步提高了動手和實踐能力.理論聯系實際,使畢業論文中所應用的理論知識有了更可靠的依據.但由于研究周期較短,本研究還有很多缺乏之處,本文只是舉了幾個例子來說明它們的應用,事實上它們的應用遠不止于此,還可以用來解決投資、保險、工程等一系列不確定的問題.另外還有什么樣的問題應該用大數定律解決呢？什么樣的問題應該用中心極限定理？什么樣的問題要綜合兩個定理才能夠解決？本文都沒有得