2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題解答

問題1:如圖1,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),(x>0,y>0),共用管道的費(fèi)用為非共用管道的左倍,

模型可歸結(jié)為

只需考慮14%<2的情形(不妨假設(shè)”4人)。對上述二元費(fèi)用函數(shù)求偏導(dǎo)，令

xlx

fx(x,y)==--,~=o

y]x2+(a-y)2Jl-xF+(匕-，)2(*)

y)=~…-1了,=0

結(jié)合圖1，將(*)式改寫為fosa-cos"。,

易知:

sina+sin(3=k

cosa

2

所以tana=tan夕故經(jīng)過AP和BP的直線方程分別為:

y-a=—rL=x?

y-b=-r^=^^-l)@

yl4-k2

1-J4-k2/、

聯(lián)立①、②解方程組得交點(diǎn)x=LI-(b-a)y=-(q+力

2k''

因?yàn)橛萅O,y>0,所以/應(yīng)滿足:

-JA-k2..

(a)當(dāng)/4X_匚伯―〃)時，此時交點(diǎn)在y軸上，將x=0代入①式，可得p=(0,a),即交

k

點(diǎn)P與A點(diǎn)重合(如圖2)。

■\14—k~、/4一12

(b)當(dāng)J一(h-a)<l<------S+a)時，交點(diǎn)在梯形內(nèi)(如圖1)。

kk

P=

Y]_xI2/

因?yàn)锳P+BP=——+—^-=——=-二,所以模型簡化為:

cosacos/?cosaJ4一女2

21

mmf(x,y)=ky+-==

y]4-k2

J"12

(c)當(dāng)IN”"S+a)時,此時交點(diǎn)在x軸上，即無共用管線的情形(如圖3)。

k

22

P=S，O)，/min=^a+b)+lo

對于共用管道費(fèi)用與非共用管道費(fèi)用相同的情形，只需在上式中令％=1。

問題2：對于出現(xiàn)城鄉(xiāng)差異的復(fù)雜情況，模型將做以下變更：

(a)首先考慮城區(qū)拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用。根據(jù)三家評估公司的資質(zhì)，用加權(quán)平均的方法得

出費(fèi)用的估計值。附加費(fèi)用采用了三家工程咨詢公司(其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三

具有乙級資質(zhì))進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如表1所示。

表1三家工程咨詢公司估計的附加費(fèi)用

工程咨詢公司公司一公司二公司三

附加費(fèi)用(萬元/千米)212420

為合理估計附加費(fèi)用，我們采用對三家公司進(jìn)行加權(quán)求和的方法進(jìn)行估計。權(quán)重的估計采用層

次分析法確定。

由于公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)。不同資質(zhì)的公司信譽(yù)會不同，如甲

級注冊資本不少于600萬元人民幣；乙級注冊資本不少于300萬元人民幣。那么這三家公司的權(quán)重

會不同，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可設(shè)甲級資質(zhì)公司的重要程度為乙級資質(zhì)公司重要程度的2倍，而兩家乙級資質(zhì)

公司重要程度相同。那么構(gòu)成的成比照擬矩陣為：

該矩陣最大特征值為4=3,為一致矩陣，其一致性指標(biāo)0=0。那么該矩陣任意列向量都可以

作為最大特征值對應(yīng)的特征向量，將任意列向量歸一化后作為權(quán)重。

因此權(quán)重向量為W=(0.5,0.25,0.25)。附加費(fèi)用估計為：

頃=0.5x21+0.25x24+0.25x20=21.5(萬元)。

用MATLAB求最大特征值、權(quán)向量和附加費(fèi)用值，程序如下：

A=[1,2,2;1/2,1,1;1/2,1,1J;

[V,DJ=eig(A);

[p,k]=max(eig(A));

v=V(:,k);

w=v/sum(v);

CI=(p-3)/2;

RI=0.58;

CR=CI/RI;

CR,p,w

CR=

0

p=

3

0.5000

0.2500

0.2500

a=[21,24,20];

wO=a*w

wO=

21.5000

(b)假設(shè)管線布置在城鄉(xiāng)結(jié)合處的點(diǎn)為Q,Q到鐵路線的距離為z(參見圖4)。

圖4

模型一：一般情況下，連接煉油廠A和點(diǎn)Q到鐵路線的輸油管最優(yōu)布置應(yīng)取上述問題1(b)的結(jié)

果，因此管道總費(fèi)用最省的數(shù)學(xué)模型一為

215+72

其中f表示城鄉(xiāng)建設(shè)費(fèi)用的比值(t=k

7.2

求導(dǎo)，令gQ)」―/-)==0,得駐點(diǎn)z*=6—"c

2Jd)2+(/_c)2"產(chǎn)-1

當(dāng)z*=b—J(，時,g(z)取得最小值

V4r2-1

或?qū)δＰ陀肕ATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值求解。程序如下：

g=inline('0.5*(5+z+3A0.5*15)+(21.5+7.2)/7.2*(5A2+(8-z)A2)A0.5','z');

[z,g]=fminbnd(g,0,15);

x=0.5*(15-3八0.5*(z-5));

y=0.5*(5+z-15/(3八0.5));

f=7.2*g;

x,y,z,f

x=5.4494

y=1.8538

z=7.3678

f=282.6973

結(jié)果為尸(5.4494,1.8538),2(7.3678,0),/inin=282.6973。

用LINGO程序求解，程序如下：

model:

a=5;b=8;c=15;1=20;

t=(7.2+21.5)/7.2;

u=0.5*(a+z+3A0.5*c);

v=t*@sqrt((b-z)A2+(1-c)A2);

g=u+v;

min=g;

x=0.5*(c-(z-a)*3A0.5);

y=0.5*(a+z-c/(3A0.5));

f=7.2*g;

end

運(yùn)行結(jié)果：

Z7.3678290.000000

X5.4494000.000000

Y1.8537880.1692933E-07

F282.69730.000000

模型二：如圖4,設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),。點(diǎn)坐標(biāo)為(z,0),f表示城鄉(xiāng)建設(shè)費(fèi)用的比值，因此管道

總費(fèi)用最省的數(shù)學(xué)模型二為

廿,28.7

其中/=——o

7.2

用LINGO程序求解，程序如下：

model:

a=5;b=8;c=15;1=20;

t=28.7/7.2;

fl=@sqrt(xA2+(a-y)A2);

f2=@sqrt((c-x)人2+(z-y)人2);

f3=y;

f4=t*@sqrt((b-z)人2+(1-c)人2);

f=fl+f2+f3+f4;

M=7.2*f;

min=M;

end

運(yùn)行結(jié)果：

X5.4494000.1246698E-08

Y1.8537880.1116410E-08

Z7.367829-0.1861630E-08

F39.263520.000000

M282.6973

兩種極端情形：當(dāng)權(quán)重取為1:1:1時,尸點(diǎn)坐標(biāo)為(5.4462,1.8556),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(15.0000,7.3715),

最小費(fèi)用為283.5373萬元。當(dāng)權(quán)重取為1:0:0時，P點(diǎn)坐標(biāo)為(5.4593,1.8481),Q點(diǎn)坐標(biāo)為

(15.0000,7.3564),最小費(fèi)用為280.1771萬元。

最終的答案依賴于權(quán)重的不同取值，但最小費(fèi)用應(yīng)介于280.1771萬元和283.5373萬元之間。

問題3：考慮各局部管道費(fèi)率不等的情況。

分別用匕,七,左3，3記AP、P。、PH、8。段管道的費(fèi)率，并設(shè)P和。點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X,)，)、(c,z)

(如圖5),那么總費(fèi)用的表達(dá)式為

其中占=5.6,k2—6.0,攵3=72&=6.0+21.5=27.5。

圖5

用LINGO程序求解，程序如下：

model:

a=5;b=8;c=15;1=20;

kl=5.6;k2=6.0;k3=7.2;k4=27.5;

fl=kl*@sqrt(xA2+(a-y)A2);

f2=k2*@sqrt((c-x)A2+(z-y)A2);

f3=k3*y;

f4=k4*@sqrt((b