電子測量技術誤差理論與數據處理2023/12/26電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1測量誤差的基本概念1.1.1測量誤差的定義

測量的目的:獲得被測量的真值。真值:在一定的時間和空間環境條件下，被測量本身所具有的真實數值。測量誤差:所有測量結果都帶有誤差。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.2測量誤差產生的原因（1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設計、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環境因素（溫度、濕度、振動、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應速度、視覺疲勞、固有習慣、缺乏責任心等原因，而在測量中使用操作不當、現象判斷出錯或數據讀取疏失等而引起的誤差。（5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化而使得測量值不準確，如引起動態誤差等。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.3測量誤差的分類1.按誤差表示方法分絕對誤差相對誤差 2.按誤差性質分系統誤差隨機誤差粗大誤差 電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.3測量誤差的分類（續）1.按誤差來源分儀器誤差使用誤差人身誤差方法誤差理論誤差影響誤差 電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.4測量誤差的表示方法測量誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。1.絕對誤差（1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差，稱為絕對誤差

有大小，又有符號和量綱實際應用中常用實際值A（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值）來代替真值。絕對誤差：電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.4測量誤差的示方法（續）（2）修正值與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號相反的量值，稱為修正值測量儀器的修正值可以通過上一級標準的檢定給出，修正值可以是數值表格、曲線或函數表達式等形式。被測量的實際值電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.4測量誤差的示方法（續）2.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關。例：測量足球場的長度和成都市到綿陽市的距離，若絕對誤差都為1米，測量的準確程度是否相同？相對誤差、引用誤差、分貝誤差相對誤差：亦被稱為相對真誤差，它指絕對誤差與被測真值的比。通常用百分數表示：相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.4測量誤差的示方法（續）引用誤差：滿度相對誤差（引用相對誤差）用測量儀器在一個量程范圍內出現的最大絕對誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用相對誤差）儀表各量程內絕對誤差的最大值電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.4測量誤差的示方法（續）分貝誤差——相對誤差的對數表示分貝誤差是用對數形式（分貝數）表示的一種相對誤差，單位為分貝（dB）。電壓增益的測得值為誤差為用對數表示為增益測得值的分貝值分貝誤差電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差1系統誤差定義：在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按一定規律變化的誤差叫系統誤差。系統誤差簡稱“系差”，用ε來表示。產生原因：測量儀器設備在設計和制作上有缺陷、測量時環境條件與儀器要求不一致、測量方法不完善、測量設備的安裝、放置和使用不當、測量人員的不良習慣及生理上的限制。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差（續）特點：恒差系：就是當測量條件一經確定，系統誤差就是一個客觀上恒定的值，多次測量取平均值并不能改變其大小。變系差：就是在測量條件改變時，一般來說系統誤差是變化的，其規律有累進性的，也有周期性的，還有復雜規律變化的。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差（續）2.隨機誤差定義：在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號均以不可預定方式變化的誤差。隨機誤差簡稱“隨差”，一般是絕對誤差形式。產生原因：主要是那些對測量影響微小而又互不相關的多種因素共同造成的，也就是隨機因素的影響。特點是:在多次測量中，隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限，即有界性；絕對值相等的正負誤差出現的機會相同，即對稱性；隨機誤差的算術平均值隨著測量次數的無限增加而趨于零，也就是說多次測量中隨機誤差有相互抵消的特性，即抵償性。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差（續）3粗大誤差定義：在一定測量條件下，測量示值明顯偏離被測實際值所形成的誤差。粗大誤差又叫疏失誤差。產生原因：有測量條件突然變化的客觀原因，如測量過程中供電電源的瞬時跳變；也有測量人員疏忽的原因，如測錯、讀錯、記錯等。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差（續）4誤差對測量結果的影響及測量結果評價測量誤差的系統誤差、隨機誤差和粗大誤差同時存在時，對測量結果的影響可用圖1-1來表示。圖1-1三種誤差同時存在的情況

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差（續）圖中表示真值，小黑點表示各次測量值，表示的平均值，表示隨機誤差，ε表示系統誤差（恒系差），表示壞值。由圖可知：壞值的存在，將嚴重影響平均值（圖中是未考慮值），使其失去意義，因此整理測量數據時必須先將壞值剔除；剔除壞值后，隨機誤差為測量值與平均值的差，根據抵償性通過多次測量取算術平均值的方法以消除隨差的影響；算術平均值與被測真值間存在一個恒定系差ε,ε越小則離真值越近，ε為零時將趨于。

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差（續）在（a）、（b）二圖中，系差ε的大小是一樣的，但（a）圖比（b）圖的測量值集中，也就是分散性要小，對應隨機誤差也小。為了正確說明測量結果，分析測量誤差情況，通常用正確度、精密度和準確度來評價。正確度，指測量值與被測量真值的接近程度，也就是系統誤差大小的程度。在圖1-1中，系統誤差ε越小，測量平均值就離真值接近，正確度就越高。精密度，指測量值重復一致的程度。相同條件下多次測量同一量，每次測量的值越接近，則測量的精密度就越高。因此，精密度表示測量結果中隨機誤差的分散程度。在圖1-1中，（a）的測量值比（b）的測量值集中，則（a）的隨機誤差分散小，精密度也就高。準確度，反映系統誤差和隨機誤差綜合影響的程度，也就是包括了正確度和精密度。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.1.5系統誤差與隨機誤差（續）圖1-2是射擊時靶牌的彈著點情況，它形象直觀地說明了正確度、精密度和準確度三個概念。(a)圖表明正確度高而精密度低，（b）圖表明精密度高而正確度低，（c）圖表明正確度和精密度都高，即準確度高。圖1-2射擊靶牌彈著點情況電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2隨機誤差的統計特性及處理

1.2.1隨機誤差的性質及特點概率論中心極限定理指出：構成隨機變量總和的各獨立隨機變量足夠多，且每個隨機變量對總和的影響足夠小，則隨機變量總和的分布規律服從正態分布。多數情況下，測量中的隨機誤差正是由對測量值影響微小而又互相獨立的多個隨機因素造成的，也就是說測量中的隨機誤差一般是多個因素造成的許多微小誤差的總和。因此，按概率密度函數描述測量數據及隨機誤差的分布有：電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．1隨機誤差的性質及特點（續）電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．1隨機誤差的性質及特點（續）

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．1隨機誤差的性質及特點（續）式中為各測量值，為隨機誤差，及為測量值及隨機誤差分布的標準差，M（）是的數學期望值。

上兩式的幾何曲線如圖1-3所示。圖1-3測量數據和隨機誤差的正態分布電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．1隨機誤差的性質及特點（續）測量值與隨機誤差的分布形狀相同，分散程度完全一樣，因而標準差與相等，只是唯一的不同就是橫坐標差一個常數M()。因此，我們只需討論其中的一種，而對另一種只需把橫坐標移動一個位置即可。

由圖1-3（b）可見，因隨機誤差影響使測量數據呈正態分布，而且是對稱地分布在數學期望值兩側。由圖(1-3)（a）可見，絕對值小的隨機誤差出現的概率大，絕對值大的隨機誤差出現的概率小；絕對值相等的正、負隨機誤差出現的概率相等；絕對值很大的隨機誤差出現的概率趨于零。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．2數學期望值及標準差

1.數學期望值M()

我們將測量值分為離散和連續兩種情況。若測量值在所在區間內連續，則測量值有無窮多個，每個值的概率趨于零。根據概率論的知識，測量值的數學期望值為：而測量值為離散時，每次測量值為，測量次數為n，當n→∞時，測量值的數學期望值為：

（n→∞）

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．2數學期望值及標準差（續）在實際測量中，不但測量值大都是離散的，而且測量次數n也為有限次，則只能得到算術平均值：

算術平均值的數學期望值為：

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．2數學期望值及標準差（續）2.標準差測量的數學期望值反映了測量值平均的情況，在實際測量中還需要知道測量值的離散程度，通常用測量值的標準差來反映測量值的離散程度。標準差的平方叫方差。測量值連續時方差為：電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．2數學期望值及標準差（續）而當測量值離散時方差為：

==

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．2數學期望值及標準差（續）n次測量平均值的方差為：

有限次測量能得到而不能得M（），這時的誤差也只能叫殘差或剩余誤差，并用υ表示：

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．2數學期望值及標準差（續）貝塞爾（Bessel）公式

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．3測量結果的置信問題（1）置信概率與置信區間：置信區間內包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．3測量結果的置信問題（續）（2）正態分布的置信概率當分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區間越寬，置信概率越大電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．3測量結果的置信問題（續）（3）t分布的置信限

t分布與測量次數有關。當n>20以后，t分布趨于正態分布。正態分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態分布有更大的置信區間。給定置信概率和測量次數n，查表得置信因子kt。

自由度：v=n-1電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．3測量結果的置信問題（續）（4）非正態分布的置信因子

由于常見的非正態分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區間為置信概率為100％。例：均勻分布

有故:電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1．2．3異常數據的剔除（續）對誤差絕對值較大的測量值視為可疑數據，它對測量平均值及標準差估計值都有較大影響。在遇到可疑異常數據時，最好能根據觀察分析到的物理原因或技術原因決定其取舍。當這樣做有困難時，就常以統計學的方法來處理可疑異常數據。

用統計學方法處理異常數據，就是給定一個置信概率，找出相應的置信區間，只要在此區間外的數據就視為異常數據，并予以剔除。

對應為異常數據，應剔除。

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.3系統誤差的判斷及處理

1.3.1系統誤差的特征：在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規律變化。

多次測量求平均不能減少系差。系統誤差的特征電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.3.2系統誤差的發現方法

（1）不變的系統誤差：校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統誤差①

殘差觀察法，適用于系統誤差比隨機誤差大的情況 將所測數據及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數據的殘差值的大小和符號的變化。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.3.2系統誤差的發現方法

（續）②馬利科夫判據：若有累進性系統誤差，D值應明顯異于零。 當n為偶數時，

當n為奇數時，③阿卑－赫梅特判據：檢驗周期性系差的存在。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.3.2系統誤差的削弱或消除方法（1）從產生系統誤差根源上采取措施減小系統誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。②

測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。③注意周圍環境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統誤差。應提高測量人員業務技術水平和工作責任心，改進設備。（2）用修正方法減少系統誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值） 實際值＝測量值＋修正值電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.3.2系統誤差的削弱或消除方法（續）（3）采用一些專門的測量方法①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統誤差的半周期法系統誤差可忽略不計的準則是： 系統誤差或殘余系統誤差代數和的絕對值不超過測量結果擴展不確定度的最后一位有效數字的一半。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4誤差的合成與分配1.4.1誤差傳遞公式

絕對誤差的傳遞公式Δ=

+

+……+=電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.1誤差傳遞公式（續）相對誤差的傳遞公式

==

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.2誤差的合成

1.系統誤差的合成

(1).恒系差的合成

=

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.2誤差的合成（續）(2).變系差的合成

a.絕對值合成

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.2誤差的合成（續）b.均方根合成

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.2誤差的合成（續）2．隨機誤差的合成總和的隨機誤差：

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.2誤差的合成（續）方差

標準差

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.2誤差的合成（續）3.含不同性質誤差時不確定度的合成

若誤差中同時含有系統誤差和隨機誤差，首先應將誤差中確定性系差（恒系差）、不確定性系數（變系差）和隨機誤差進行分離，先將確定性系差按式（1-35）進行總合，然后對不確定性系差和隨機誤差計算總合的不確定度。

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.3誤差的分配1.等準確度分配原則等準確度分配是指分配給各分項的誤差彼此相同。可分配給各分項的系統誤差和隨機誤差分別為：

等準確度分配通常用于各分項性質相同（量綱相同），大小相近的情況。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.4.3誤差的分配（續）2.等作用分配原則等作用分配是指各分項誤差對誤差總合的作用是相同的，而分配的各分項誤差在數值上不一定相同。可分配給各分項的系統誤差和隨機誤差分別為

電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.5測量數據處理1.5.1有效數字及數字舍入規則

1.數字修約規則由于測量數據和測量結果均是近似數，其位數各不相同。為了使測量結果的表示準確唯一，計算簡便，在數據處理時，需對測量數據和所用常數進行修約處理。數據修約規則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數——當末位是偶數，末位不變；末位是奇數，在末位增1（將末位湊為偶數）。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.5.1有效數字及數字舍入規則

（續）例：將下列數據舍入到小數第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結果為0.69，錯誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數規則，是為了在比較多的數據舍入處理中，使產生正負誤差的概率近似相等。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.5.1有效數字及數字舍入規則

（續）2.有效數字若截取得到的近似數其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數末位的半個單位，則該近似數從左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字，稱之為有效數字。例如：3.142 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數字，極限誤差≤0.005電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.5.1有效數字及數字舍入規則

（續）中間的0和末尾的0都是有效數字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數字。測量數據的絕對值比較大（或比較小），而有效數字又比較少的測量數據，應采用科學計數法，即a×10n，a的位數由有效數字的位數所決定。測量結果（或讀數）的有效位數應由該測量的不確定度來確定，即測量結果的最末一位應與不確定度的位數對齊。例如，某物理量的測量結果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結果表示為63.4±0.4。電子測量技術誤差理論與數據處理[1]1.5.1有效數字及數字舍入規則

（續）3.近似運算法則 保留的位數原則上取決于各數中準確度最差的那一項。（1）加法運算 以小數點后位數最少的為準（各項無小數點則以有效位數最少者為準）