設想一下這樣的問題

？這塊地的土壤養分情況如何？不僅需要知道一個總體情況而是要知道每個地方的不同含量方便為那些含量低的地方施肥該怎么辦呢？12/26/20231華中農業大學資源與環境學院方案一Step1:密集采樣Step2:把土樣運回實驗室Step3:曬干，磨碎，…..化學分析耗時，耗力，耗財得到的是點狀數據面狀連續分布呢？未采樣地的狀況如何呢？12/26/20232華中農業大學資源與環境學院方案二算法分析12/26/20233華中農業大學資源與環境學院實例：（a）有機質（b）全氮（c）有效磷12/26/20234華中農業大學資源與環境學院1.1地統計學的發展和概念一、地統計學發展簡史地統計學（Geostatistics）是20世紀50年代初在南非采礦業中為了計算礦石儲量而發展應用起來的，首先被采礦工程師Krige和統計學家Sichel應用于南非的采礦工作中。50年代后期，法國Matheron在此基礎上提出了區域化變量理論，形成了地統計學的基本框架。12/26/20235華中農業大學資源與環境學院地統計學發展簡史70年代，計算機的出現，這項技術被引入到地學領域。1975年在羅馬舉行了關于該學科的第一個國際性會議后，陸續有多個相關國際會議舉行。我國的地統計學研究和應用是1977年由侯景儒、黃競先等首先進行的?，F已廣泛運用于地質、土壤、農業、氣象、海洋、生態、森林和環境治理等方面12/26/20236華中農業大學資源與環境學院二、地統計學的概念定義：地統計學是以區域化變量理論為基礎，以變異函數為主要工具，研究那些在空間分布上既有隨機性又有結構性，或空間相關性和依賴性的自然現象的科學。（王政權，1999）12/26/20237華中農業大學資源與環境學院1.2地統計學的應用（土壤）土壤屬性的空間分布特征是土壤污染治理、土地管理和現代農業的重要依據之一。土壤是一個形態和過程都相當復雜的自然綜合體，成土過程中不同的物理、化學、生物等因素的影響，使得土壤性質具有高度的空間異質性。人類活動進一步加劇了土壤屬性的變異性和不確定性。同時，土壤本身處于一個時刻變化的動態過程，因此，對土壤空間性質進行描述和定律研究相當困難。12/26/20238華中農業大學資源與環境學院1.2地統計學的應用（土壤）自上世紀七八十年代地統計學引入土壤學研究中以來，隨著學科發展和應用方向的擴展，地統計學方法已經成為土壤學特別是大尺度土壤學研究的一個重要工具。地統計學在土壤物理性質空間變異中的應用地統計學在土壤化學性質空間變異中的應用地統計學在土壤重金屬污染空間變異中的應用地統計學在采樣策略中的應用地統計學在其他特性中的應用12/26/20239華中農業大學資源與環境學院地統計學在土壤物理性質空間變異中的應用湖北咸寧據：羅勇，陳家宙，2008土壤容重空間變異土壤飽和導水率空間變異12/26/202310華中農業大學資源與環境學院地統計學在土壤化學性質空間變異中的應用（a）有機質（b）全氮（c）有效磷（d）速效鉀湖北沙洋據：楊勇，賀立源，201012/26/202311華中農業大學資源與環境學院地統計學在土壤重金屬污染空間變異中的應用武漢市東湖高新技術開發區據：張貝，楊勇，201012/26/202312華中農業大學資源與環境學院1.3地統計學在土壤科學中的應用展望地統計學和土壤多源數據的處理利用多源的相關數據預測目標屬性的分布地統計學和土壤過程的空間建模利用多源數據模擬土壤發生發展的過程

地統計學和土壤特性的不確定性模擬土壤屬性超過某一閾值的概率地統計學和土壤過程的時空變異地統計學與精確農業土壤綜合特性的空間變異性研究……12/26/202313華中農業大學資源與環境學院樣本數據的統計分析和預處理描述性統計頻數分布：直方圖集中趨勢的度量：平均數、中位數、眾數…離散型度量：極差、方差…偏度和峰度數據檢驗和分布分析異常值的識別和處理：平均值加標準差法、四倍法…正態分布的檢驗方法：直方圖法、PP、QQ、…數據轉換處理：對數轉換、平方根轉換、反正弦轉換…相關分析和回歸分析回歸分析相關分析12/26/202314華中農業大學資源與環境學院區域化變量當一個變量呈空間分布時，稱之為“區域化”。這種變量常常反映某種空間現象的特征，用區域化變量描述的現象稱之為區域化現象。如生態學、土壤學和地質學中許多研究的變量都具有空間分布的特點，實質上都是區域化變量。在研究區域內所有點處的樣品數據的實測值就是一個區域化值，其相應的函數z(x)就是一個區域化變量，也是該區域隨機模型（函數）Z(x)的一個實現。12/26/202315華中農業大學資源與環境學院平穩假設1、平穩性：表示當將既定的n個點的點集從研究區域某一處移向另一處時，隨機函數的性質保持不變，也稱為平移不變性。即隨機函數分布的規律性不因位移而改變，是嚴格平穩的，具有平穩性。12/26/202316華中農業大學資源與環境學院二階平穩性假設2、二階平穩性假設（弱平穩性假設）：隨機函數的均值為一常數，且任何兩個隨機變量之間的協方差依賴于它們之間的距離和方向，而不是它們的確切位置：條件1：數學期望：反映隨機變量取值的集中特征，是隨機變量取得數字的代表數。該條件表示：在整個研究區內，區域化變量的數學期望對任意x存在，且等于常數12/26/202317華中農業大學資源與環境學院二階平穩性假設條件2：在整個研究區內，區域化變量的協方差函數對任意x和h存在，且平穩，即：協方差：兩個不同參數之間的方差就是協方差，用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變量是相同的情況。期望值分別為E(X)=μ與E(Y)=ν的兩個實數隨機變量X與Y之間的協方差定義為：COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，若兩個隨機變量X和Y相互獨立，則他們的協方差為0。12/26/202318華中農業大學資源與環境學院本征假設條件1：條件2：r(h)稱為半方差函數，也叫變異函數本征假設是地統計學中對隨機函數的基本假設事實上，當作用于大區域時，本征假設的第一個條件很難滿足，空間變異的漂移或趨勢面可能存在，由于這種漂移，第二個條件也不能滿足，但地統計學理論的基礎是本征假設，因此，有必要去認識一個隨機過程是否是平穩性的在研究區域內，區域化變量Z(x)的增量的數學期望對任意x和h存在且等于0在研究區域內，區域化變量的增量[Z(x)-Z(x+h)]的方差對任意x和h存在且平穩12/26/202319華中農業大學資源與環境學院平穩假設就嚴格性而言：平穩性假設>二階平穩性假設>本征假設本征假設是地統計學中對隨機函數的基本假設12/26/202320華中農業大學資源與環境學院變異函數和協方差函數變異函數和協方差函數存在以下關系：12/26/202321華中農業大學資源與環境學院協方差具體計算方法設Z(x)為區域化隨機變量，并滿足二階平穩條件，h為兩樣本點空間分割距離，Z(xi)和Z(xi+h)分別是Z(x)在空間位置xi和xi+h上的觀測值，則協方差函數的計算公式為：N(h)是分隔距離為h時的樣本對數總數12/26/202322華中農業大學資源與環境學院變異函數具體計算方法公式：值分別是：4，3，4，5，7，9，7，8，7，7，則：12/26/202323華中農業大學資源與環境學院12/26/202324華中農業大學資源與環境學院12/26/202325華中農業大學資源與環境學院變異函數散點圖12/26/202326華中農業大學資源與環境學院變異函數的理論擬合模型理論變異函數用來擬合一些列經驗變異函數值，供后續進行插值估計時使用。選用理論變異函數模型是，要根據經驗半方差圖的性狀來選取合適的模型12/26/202327華中農業大學資源與環境學院變異函數的理論擬合模型變異函數的理論模型：有基臺值模型無基臺值模型12/26/202328華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—球狀模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高a：變程應用最廣的模型12/26/202329華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—指數模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高3a：變程當C0=0,C=1時，稱為標準指數函數模型12/26/202330華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—高斯模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高：變程當C0=0,C=1時，稱為標準高斯函數模型12/26/202331華中農業大學資源與環境學院三種常用模型比較0.9512/26/202332華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—線性有基臺值模型C0：塊金常數C0+C：基臺值C：拱高A：常數，表示直線斜率當C0=0,C=1時，稱為標準指數函數模型12/26/202333華中農業大學資源與環境學院有基臺值模型—純塊金效應模型12/26/202334華中農業大學資源與環境學院無基臺值模型——線性無基臺值模型12/26/202335華中農業大學資源與環境學院無基臺值模型——冪函數值模型12/26/202336華中農業大學資源與環境學院無基臺值模型——對數值模型12/26/202337華中農業大學資源與環境學院套合模型在實際中，有時區域化隨機變量Z(x)的變化相當復雜，往往包含各種尺度及各種層次的變化，反映在變異函數r(h)上，就是單一的模型結構不能將其合理表達，而是多層次的結構相互疊加在一起，地統計學上稱為套合。所謂套合結構，就是把分別出現在不同距離h上或不同方向上同時起作用的變異性組合起來，對全部有效的結構信息，作定量化的概括，以表示區域化變量的主要特征。12/26/202338華中農業大學資源與環境學院套合模型土壤是一個不均與、具有高度空間異質性的復合體，它與土壤母質、氣候、水文、地形和生物等因素有關，分析土壤空間變異的因素，可將其變異分為系統變異（土壤形成因素相互作用造成）和隨機變異（可以觀測到的，但與土壤形成印務無關且不能直接分析的）兩大類。如由h分開的兩個點x和x+h的土壤某一性質Z(x)和Z(x+h)。當h趨近于0時，可以認為兩點間的差異完全是由取樣和測定誤差造成，當h逐步增大，如h<1m，差異可能還要加上諸如水分等因素，當h<100m時，在新的變異要考慮地形的作用。12/26/202339華中農業大學資源與環境學院套合模型當h一定時，變異函數r(h)應包含小于h的所有影響因素，因此，絕大多數變異函數都由下面兩個變異函數組成：

r(h)=r0(h)+r1(h)，即一個代表純塊金方差，一個代表空間相關的方差。一般情況下，套合模型可以用放映各種不同尺度變化的多個變異函數之和表示，即：ri(h)可以是相同的或不同的理論模型12/26/202340華中農業大學資源與環境學院套合模型如，區域化變量Z(x)的變異性由r0(h),r1(h)和r2(h)組成，其中12/26/202341華中農業大學資源與環境學院套合模型三者組成的套合模型為：12/26/202342華中農業大學資源與環境學院套合模型12/26/202343華中農業大學資源與環境學院最優擬合—參數最優估計變異函數的理論模型主要是曲線模型，將曲線模型經過適當的變換，化為線性模型，然后用最小二乘法原理求未知參數的估計。12/26/202344華中農業大學資源與環境學院基于優化搜索算法的參數擬合對于結構復雜的變異函數理論模型，特別是套合結構模型，參數復雜，難以用一般的通用方法求解出模型中的參數。但一些智能優化算法，如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法能夠使用統一的流程求解出接近最優的參數。12/26/202345華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計1、多尺度套合模型的規范表達12/26/202346華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計從上式可以看出，需求解的參數為2n+1個（因為第一個模型總是純塊金模型）。而在實際計算時，可以令，這樣方便從經驗半方差圖中識別ci取值區間。并有以下約束：12/26/202347華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計編碼策略及初始群體產生假設需要顧及m(m<=2n+1)個參數，每個參數的取值范圍和估值精度分別是Umin,Umax和Qi，則將m個參數分別以L1,L2,……,Lm為長度進行二進制編碼，其中則每條染色體長度為，染色體中每個參數編碼對應的解碼公式為：

以這種編碼方式隨機產生T組染色體12/26/202348華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計確定個體適應度評價函數12/26/202349華中農業大學資源與環境學院基于遺傳算法的變異函數理論模型參數估計遺傳操作遺傳算法主要包括3個基本算子，即選擇、交叉和變異，為此，需確定交叉概率Pc和變異概率Pm，3個過程執行以后，將產生新一代種群，并記錄適應度最高的染色體12/26/202350華中農業大學資源與環境學院主要空間插值法簡介分類：確定性方法：基于實測數據的相似性程度或平滑程度，利用數學函數進行插值（如逆距離加權法）地統計方法：利用實測數據的統計特性來量化其空間自相關程度，生產插值面并評價預測的不確定性12/26/202351華中農業大學資源與環境學院主要空間插值法簡介分類：整體插值法：利用整個實測數據集來預測局部插值法：在大面積的研究區域上選取較小的空間單元，利用預測點周圍的臨近樣點來進行預測12/26/202352華中農業大學資源與環境學院空間整體插值法1、全局多項式插值法（趨勢面分析法）：即用數學公式表達感興趣區域上的一種漸變的趨勢。平面：曲面：多項式中的參數系數往往用最小二乘法求解。但該方法是不精確的插值方法，很少有實測點剛好在生產的插值面上，而是或高或低于插值面，高低數值相加，之和近似為0。12/26/202353華中農業大學資源與環境學院空間整體插值法全局多項式插值法的插值結果往往呈條帶狀（左圖），適合于描述那些呈明顯趨勢分布的屬性，不適合描述那些空間分布波動較大（較破碎，右圖）的自然屬性12/26/202354華中農業大學資源與環境學院空間整體插值法2、變換函數插值法：根據一個或多個空間參量的經驗方程進行整體空間插值，這種經驗方程稱為變換函數。即用與被預測屬性相關的其他屬性建立回歸方程，進行空間預測：b0,b1,b2為回歸系數，p1，p2為獨立空間變量，z(x)為被預測屬性12/26/202355華中農業大學資源與環境學院空間局部插值法1、泰森多邊形插值：由一組連續多邊形組成，多邊形的邊界是由相鄰兩點直線的垂直平分線組成。特性：（1）每個多邊形內僅包含一個離散數據點。（2）在多邊形內的任一點k(x，y)同Pi(xi，yi)之間距離總小于它同其它離散點Pj(xj，yj)之間距離。（3）泰森多邊形的任意一個頂點必有三條邊與它連接，這些邊是相鄰三個泰森多邊形兩兩拼接的公共邊。（4）泰森多邊形的任意一個頂點周圍存在三個離散點，將其連成三角形后其外接圓的圓心即為該頂點，該三角形稱泰森三角形12/26/202356華中農業大學資源與環境學院空間局部插值法各泰森多邊形內的每一點屬性均由各多邊形內的已知點確定，若求數據域內任意一點數據屬性Z（xi，yi），則需首先判斷待求點所落入的多邊形，然后再由控制該多邊形的已知點Z（x，y）推算得到。12/26/202357華中農業大學資源與環境學院空間局部插值法2、三角測量插值法：將采樣點用直線與其相鄰點連接成三角形，三角形內部包括任何樣點，形成一個包括多個傾斜三角板的多面體（TIN）未測點只可能在三角形內或三角形邊線上，利用線性插值即可求得缺點是每個預測值只是根據三個實測值得到，且有時會產生突變現象12/26/202358華中農業大學資源與環境學院空間局部插值法3、逆距離加權法（IDW）：利用被預測區域點周圍的實測值來預測未采樣點的值，實測點離預測點越近，則對插值的結果影響越大。其中p為實測值對預測值的影響級，若p=0，則每一個權重是一樣的，預測值是所有實測值的平均值，當p增加時，相距較遠的點的權重迅速減小，2最為常用。由于IDW方法只考慮距離進行權重分配，所以臨近實測點的貢獻往往很大，而造成空間分布的多點中心現象。12/26/202359華中農業大學資源與環境學院空間局部插值法4、局部多項式插值法（移動內插法）：多項式插值法將整個區域考慮成一個平面或曲面，而局部多項式插值法是在劃定的領域內（窗口內）用其中的實測數據來擬合不同次數的多項式。12/26/202360華中農業大學資源與環境學院空間局部插值法5、簡單移動平均法：6、樣條插值法：12/26/202361華中農業大學資源與環境學院空間局部插值法7、克里格方法：和IDW一樣，也是一種局部估計的加權平均，但是它對各實測點權重的確定是通過半方差分析獲取的，可分為線性克里格法和非線性克里格法。（1）普通克里格（6）概率克里格（2）簡單克里格（7）貝葉斯克里格（3）泛克里格（8）普通協同克里格（4）指示克里格（5）析取克里格12/26/202362華中農業大學資源與環境學院克里格法實質上是利用區域化變量的原始數據和變異函數的結構特點，對未采樣點的區域化變量的取值進行線性無偏最優估計的一種方法，從數學角度講就是一種對空間分布的數據求線性最優無偏內插估計量的一種方法。是根據待估樣點有限領域內若干已測定的樣點數據，在考慮樣點形狀、大小和空間相互位置關系，它們與待估樣點相互空間位置關系，以及變異函數提供的結構信息之后，對該待估樣點進行的一種線性無偏最優估計12/26/202363華中農業大學資源與環境學院普通克里格法假定Z(x)是滿足本證假設的一個隨機過程，該隨機過程有n個觀測值z(xi)，要預測未采樣點x0處的值，則線性預測值Z*(x0)可以表示如下：

Kriging是在使預測無偏并有最小方差的基礎上，去確定最優的權重值，滿足以下兩個條件：（1）無偏性條件（2）最優條件：12/26/202364華中農業大學資源與環境學院普通克里格法在本證假設條件下，上左邊的式子可以表示為：根據方差最小原則，借助拉格朗日乘子，普通克里格的預測方程組為：預測方差為：12/26/202365華中農業大學資源與環境學院普通克里格法克里格公式也可以用矩陣的形式表示，對點狀克里格，有：12/26/202366華中農業大學資源與環境學院普通克里格法實例12/26/202367華中農業大學資源與環境學院普通克里格法實例12/26/202368華中農業大學資源與環境學院12/26/202369華中農業大學資源與環境學院12/26/202370華中農業大學資源與環境學院12/26/202371華中農業大學資源與環境學院簡單克里格法如果我們知道區域隨機變量的平均值，那么我們可以利用這種先驗知識通過簡單克里格法來提高預測的精度，這種克里格預測方法仍然是線性加和，但將隨機過程的平均值包括了進去，這種隨機過程必須是二階平穩的，預測公式為：12/26/202372華中農業大學資源與環境學院簡單克里格法權重利用以下公式計算：用矩陣形式表示為：其中：則：預測方差為：12/26/202373華中農業大學資源與環境學院協同克里格協同克里格是利用兩個變量之間的互相關性，用其中易于觀測的變量對另一變量進行局部估計的方法。協同克里格法比普通克里格法能明顯改進估計精度及采樣效率。但在實際應用中，協同克里格法要求有一個已知的相關函數，這就需要在很多地點同時采樣，測定二個函數間的相互關系。與相關函數一樣，這種相互關系也受樣本數目多少的影響。12/26/202374華中農業大學資源與環境學院協同克里格協同克里格法是建立在協同區域化變量理論基礎上的，通過建立交叉協方差函數和交叉變異函數模型，然后用協同克里格法對未抽樣點的變量進行估值12/26/202375華中農業大學資源與環境學院協同區域化的概念在實際中，每一種區域化現象都與許多變量有關，同一個區域化現象可以用幾個相關變量表示。在地統計中，把某一點上某一性質的觀測值，與在統計分析上依賴于相鄰一點上的另一性質的觀測值，這兩種性質之間的相關性稱為協同區域化或橫相關。描述這種協同區域化現象的變量稱為協同區域化變量。12/26/202376華中農業大學資源與環境學院協同區域化的概念研究協同區域化變量具有許多優點，例如，在土壤空間變異性研究中，有些土壤性質的測定難度和費用較高，而另一些土壤性質的測定相對簡單易行。因而，可以用較容易測定的土壤某一性質之值去估計另一種測定難度大、費用高的土壤性質之值的變化。此外，在空間變異分析中，如果能用一種變量的信息去彌補所遺漏或提供另一變量的信息，這無疑是非常有意義的。協同區域化變量的蒞臨和方法將提供解決兩個變量空間相關和估計的問題。12/26/202377華中農業大學資源與環境學院協同區域化變量理論設K個協同區域化變量Z1(x),Z2(x),…Zk(x)，組成一組K維區域化變量的向量{Z1(x),Z2(x),…Zk(x)}，在觀測前，它是一個K維區域化變量，觀測后，它可以看成K維向量的一個實現。在二階平穩假設條件下，協同區域化變量有：（1）每一個Zk(x)（K=1,2,…,K）的數學期望存在且平穩，即12/26/202378華中農業大學資源與環境學院協同區域化變量理論（2）對每對區域化隨機變量的交叉協方差函數為：（3）在滿足本征假設條件時，區域化變量的增量數學期望為0，則每對區域化協同變量的交叉變異函數存在，為：12/26/202379華中農業大學資源與環境學院交叉協方差函數和交叉變異函數的計算公式設在點x和點x+h處，分別測得兩個變量的觀測值Zk(x)，Zk’(x)，Zk(x+h)，Zk’(x+h)，則交叉協方差函數計算公式為：其中N(h)為樣本對數12/26/202380華中農業大學資源與環境學院交叉協方差函數和交叉變異函數的計算公式交叉變異函數的計算公式為：12/26/202381華中農業大學資源與環境學院協同克里格法Zvk0的估計量為Zvk0#,是K個協同區域化隨機變量全部有效數據（觀測值）的線性組合：以2個協同變量來說明克里格估計方程組和協同克里格估計方差12/26/202382華中農業大學資源與環境學院協同克里格線性方程組設在點x0處的某變量的平均值為u0，在x0附近有兩個已觀測的協同區域化隨機變量ui（i=1,2,…,n）和vj（j=1,2,…,m）。則平均值u0的估計值u0#構成的協同克里格線性估計量為：其中ai，bj為協同克里格權重系數，為使u0#為u0的最優無偏線性估計量，必須滿足：12/26/202383華中農業大學資源與環境學院協同克里格線性方程組1無偏性條件：只有當時，才能成立，因此，它就是無偏性條件12/26/202384華中農業大學資源與環境學院協同克里格線性方程組2最優性條件在滿足無偏性條件下，協同克里格估計方差為：12/26/202385華中農業大學資源與環境學院協同克里格線性方程組設12/26/202386華中農業大學資源與環境學院則為使協同克里格估計方差最小，令求上式的偏導數并令其為0，得到協同克里格線性方程組12/26/202387華中農業大學資源與環境學院12/26/202388華中農業大學資源與環境學院經整理得2個變量的協同克里格線性方程組的一般表達式：12/26/202389華中農業大學資源與環境學院這是一個n+m+2階線性方程組，解該方程組得到協同克里格權重系數ai和bj，然后代入中，得到協同克里格線性無偏最優估計量。此時，協同克里格估計方差為：12/26/202390華中農業大學資源與環境學院實例2個協同區域化隨機變量u和V，其中u0為待估樣點，在其周圍有u1,u2,V1,V2和V3已知樣本12/26/202391華中農業大學資源與環境學院實例根據已知的理論模型計算兩個變量的協方差函數Cu(h)和Cv(h)及交叉協方差函數Cuv(h)12/26/202392華中農業大學資源與環境學院則協同克里格線性方程組為解上述方程組得a1=0.512，a2=-0.216，b1=0.488，b2=-0.397，b3=0.666，u1=205963u2=13823，將這些協同克里格權重系數代入協同克里格線性估計量方程得u0的估計值為356，其協同克里格估計方差為681549。12/26/202393華中農業大學資源與環境學院泛克里格法漂移的概念在普通的克里格法中，要求區域化變量Z(x)是二階平穩的或本證的，至少是準平穩或準本證假設條件，在有限的估計領域內Z(x)的數學期望是一個常數，即E[Z(x)]=m存在。然而在許多情況下，區域化變量在研究區域內是非平穩的，其數學期望不是一個常數，即E[Z(x)]=m(x)，m(x)在地統計學上被定義為非平穩區域化變量的漂移，其表達式為m(x)=E[Z(x)]12/26/202394華中農業大學資源與環境學院泛克里格法在漂移存在的條件下就不能用普通克里格方法進行空間局部估計，而要采用泛克里格法進行估計。漂移一般采用多項式表示：其中fi(x)為一已知多項式函數，ai為未知系數。當漂移為線性時，一維和二維條件下漂移m(x)的形式為：12/26/202395華中農業大學資源與環境學院泛克里格法當漂移為二次（非線性）時，一維和二維條件下漂移m(x)的形式為由于漂移的存在，泛克里格法在估計某一點Z(x)的估計值Z#(x)時，首先要估計該點上漂移m(x)的估計值m#(x)，這就要求在某種假設條件下確定非平穩區域化變量的協方差函數和變異函數12/26/202396華中農業大學資源與環境學院泛克里格的基本假設設Z(x)是一個非平穩的區域化變量，可表示為：一般情況下，上述假設很難滿足，因此，考慮Z(x)的增量的情況。設Z(x)的增量具有非平穩數學期望和非平穩方差函數，并可表示為：12/26/202397華中農業大學資源與環境學院泛克里格的基本假設如果非平穩區域化變量Z(x)可以分解成兩部分，一部分是在較大尺度下可以觀察到現象變化m(x)，另一部分是在較小尺度下的變化R(x)，即在給定的尺度下，m(x)可以表示為一個多項式，即單項式函數fi(x)的線性組合：其中x為領域內任一點，ai為未知系數，如果包含x0點，則ai應有n+1個12/26/202398華中農業大學資源與環境學院非平穩條件下的協方差和變異函數當Z(x)=m(x)+R(x)時，Z(x)的協方差函數CZ(x,y)為而Z(x)的變異函數為12/26/202399華中農業大學資源與環境學院即Cz(x,y)=CR(x,y)，Z(x)的協方差等于R(x)的協方差rz(x,y)=rR(x,y)，Z(x)的變異函數等于R(x)的變異函數如y=x+h，則rz(h)=rR(h)。只要能求出R(x)的變異函數rR(h)，就可以求得Z(x)的變異函數rz(h)。但m(x)一般為未知多項式函數，無法用R(x)=Z(x)-m(x)來計算rR(h)。為解決這個問題，地統計學泛克里格法中先對R(x)的變異函數進行估計，也就是先估計R#(x)=Z(x)-m#(x)來，即對m#(x)進行估計，根據R#(x)的變異函數rR#(h)與理論的rR(h)進行比較，當rR#(h)=rR(h)時，就可以求Z(x)的變異函數rR(h)來，因此，泛克里格方法估計有兩個部分，一個是m(x)的估計，另一個是Z(x)的估計12/26/2023100華中農業大學資源與環境學院漂移m(x)的泛克里格法估計在研究區域內，設Z(x)是一個非平穩區域化隨機變量，并滿足以下條件：12/26/2023101華中農業大學資源與環境學院漂移m(x)的泛克里格法估計設在研究區內有n個已知樣點xa(a=1,2,…,n），其觀測值為Z(xa)=Za，目的是用這些已知樣點估計區域內任一固定點x處的漂移值m(x)。設m(x)的估計量為m#(x)，它可以表示這幾個已知樣點數據的線性組合，即12/26/2023102華中農業大學資源與環境學院漂移m(x)的泛克里格法估計為使m#(x)成為m(x)的無偏最優估計，則必須滿足：1無偏性，即只有當時，無偏性存在，此時L=0,1,2,…,n12/26/2023103華中農業大學資源與環境學院漂移m(x)的泛克里格法估計2最優性m#(x)估計m(x)的方差可表示為即，上式達到最小12/26/2023104華中農業大學資源與環境學院漂移m(x)泛克里格線性方程組在滿足無偏性條件下，用拉格朗日乘數法求方差的最小值得到漂移m(x)的克里格線性方程組可矩陣表達為12/26/2023105華中農業大學資源與環境學院其中12/26/2023106華中農業大學資源與環境學院這是一個具有n+K+1個未知數的n+K+1個方程組成的方程組，稱為漂移m(x)泛克里格線性方程組，泛克里格估計方差為：12/26/2023107華中農業大學資源與環境學院Z(x)的泛克里格法估計在研究區域內設Z(x)是一個非平穩區域化變量，并滿足以下條件：12/26/2023108華中農業大學資源與環境學院Z(x)的泛克里格法估計設在研究區內有n個已知樣點xa(a=1,2,…,n），其觀測值為Z(xa)=Za，目的是用這些已知樣點估計區域內任一固定點x