PAGEPAGE1廣西桂林、柳州、賀州、崇左四市2024屆高三上學期跨市聯(lián)合適應性檢測數(shù)學試題一、選擇題1.復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故復數(shù)的共軛復數(shù)為.故選：B.2.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，所以或，若，則，此時，不滿足集合的互異性；若，則，此時，符合題意；若，則，此時，不滿足集合的互異性.綜上，.故選：C.3.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則（）A. B. C.4 D.10【答案】A【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以.故選：A4.已知是拋物線上的兩點，且直線經過的焦點，若，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】.故選：C.5.已知是函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則的極大值點為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的圖象知，當時，，則，當時，，則，當時，，則，故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為和，故的極大值點為.故選：D6.在四面體中，，則四面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，，所以.又，所以，故.取的中點，則到四面體四個頂點的距離均為2，即四面體外接球的半徑為2，則四而體外接球的體積為.故選：D.7.某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過該設備過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過濾時間（單位：）的關系為（，是正常數(shù)）.若經過過濾后減少了的污染物，在此之后為了使得污染物減少到原來的還需要的時長大約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為經過過濾后減少了的污染物，所以，解得.當時，，解得.故還需要大約93h.故選：8.已知，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以.令，則，則在上為單調增函數(shù)，則，故在上單調遞增.因為，所以，.則，所以，即，則A正確，B錯誤，CD無法確定其與1的大小關系，故選：A.二、選擇題9.若點在圓的外部，則的取值可能為（）A. B.1 C.4 D.7【答案】BC【解析】由題設，在圓外，則，解得.故選：BC10.某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識競賽”活動，選取了人參與問卷調查，將他們的成績進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，且成績落在的人數(shù)為10，則（）A.B.C.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則問卷調查成績的平均數(shù)低于70D.問卷調查成績的80%分位數(shù)的估計值為85【答案】ABD【解析】由圖可知.，解得，則成績在的頻率為0.1，由，得，A，B正確；問卷調查成績的平均數(shù)為，C不正確.因為，所以問卷調查成績的分位數(shù)在內，設問卷調查成績的分位數(shù)為，則，解得，D正確.故選：ABD.11.若數(shù)列滿足，則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是“平方遞推數(shù)列” D.是“平方遞推數(shù)列”【答案】BC【解析】對A，因為是“平方遞推數(shù)列”，所以.又，所以，則，所以不是等差數(shù)列，A不正確.對B，因為，所以是等比數(shù)列，B正確.對C，因為，所以以是“平方遞推數(shù)列”，C正確.對D，因為，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：BC.12.某數(shù)學學習小組甲、乙、丙三人分別構建了如圖所示的正四棱臺①，②，③，從左往右.若上底面邊長、下底面邊長、高均依次遞增，記正四棱臺①，②，③的側棱與底面所成的角分別為，，，正四棱臺①，②，③的側面與底面所成的角分別為，，，則（）①②③A. B.C. D.【答案】BD【解析】作正四棱臺，連接，作點在平面內的射影，則在線段上，過作交于點，，如圖所示，由圖可知側棱與底面所成的角為，因為底面，平面，所以，又因為，且平面，平面，，所以平面，而平面，所以，所以為平面與平面的夾角，即為四棱臺側面與底面所成的角，令圖①四棱臺高為，上下底面邊長分別為，則，同理可得，所以，B正確；，同理可得，所以，D正確；對于A：，同理可得，所以，A錯誤；對于C：，同理可得，所以，C錯誤，故選：BD.三、填空題13.已知向量，，若，則______.【答案】【解析】因為，，所以，又因為，所以，即，解得.故答案為：.14.一排6個座位坐了2個三口之家，若同一家人座位相鄰，則不同的坐法種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】72【解析】由題可知，同一家人座位相鄰，將6個座位分成兩組，每組3個座位，同一家人相鄰的不同坐法種數(shù)為.故答案為：72.15.已知函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由，得，由，得.因為在上有且僅有2個零點，所以，解得.故答案為：.16.已知雙曲線的右焦點為，直線與相交于兩點，若（為坐標原點），則的離心率為___________.【答案】【解析】如圖，記的左焦點為，根拈對稱性可知四邊形為平行四邊形.因為，所以，所以四邊形為矩形.設，則，解得或（舍去），所以.由，得，則，則的離心率為：.故答案為：.四、解答題17.已知的內角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.解：（1）因為，由正弦定理可得.又，所以.又因為，所以.又，可得，故.（2）因為，所以，當且僅當時，等號成立.又可知，所以面積的最大值為.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點，且，，.（1）證明：平面平面，（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因為平面，平面，所以又，，平面，平面所以平面因為，分別為，的中點，所以，則平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由，，，得，則，，，，，，設平面的法向量為，則即令，得，.則.設平面的法向量為，則即令，得，.則.，即平面與平面夾角的余弦值為.19.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，由，得.當時，因為，所以，兩式相減得，即.故是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而.即的通項公式為（2）由（1）可知，則，即20.為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.（1）求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；（2）記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望解：（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，則取值可能為0，100，200，300，400，，，，，，則的分布列為0100200300400.21.已知橢圓：的焦距為，且.（1）求的方程；（2）A是的下頂點，過點的直線與相交于，兩點，直線的斜率小于0，的重心為，為坐標原點，求直線斜率的最大值.解：（1）由題可知，解得故的方程為；（2）設的方程為，，.聯(lián)立方程組整理得，則，得，.設，因為，所以，，所以，當，即（滿足）時，取得最大值，且最大值為.22.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線經過坐標原點，求a的值（2）若方程恰有2個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍.解：（1）因為，所以,由，，得曲線在處的切線方程為.因為該切線經過坐標原點，所以，解得.（2）令，則令，則.若，則恒成立，在上單調遞增.因為，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，即方程有且僅有1個實數(shù)根，不符合題意.若，則由，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則.令，，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，則.若，則恒成立，則在上單調遞增，不可能有兩個零點，即方程不