第一章數(shù)的整除單元復(fù)習(xí)提升（易錯與拓展）易錯點1數(shù)的范圍出錯【指點迷津】對于部分限定數(shù)的范圍“不大于”、“不小于”“超過”等應(yīng)該轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言“小于等于”、“大于等于”、“大于”．典例1不大于2的正整數(shù)是．錯解：1.錯因分析：不大于的意思是小于等于，所以小于等于2的正整數(shù)是1,2.正解：1,2.跟蹤訓(xùn)練1不超過100的正整數(shù)中，能被25整除的數(shù)有哪些？不超過1000的正整數(shù)中，能被125整除的數(shù)有哪些？【詳解】小于等于100的正整數(shù)中，25的倍數(shù)是25,50,75,100.小于等于1000的正整數(shù)中，125的倍數(shù)是125,250,375,500,625,750,875,1000.易錯點2倍數(shù)和因數(shù).【指點迷津】在求一個數(shù)既是一個數(shù)因數(shù)又是另一個數(shù)倍數(shù)的時候，可以先找出某數(shù)的因數(shù)，再在范圍內(nèi)找到某數(shù)的倍數(shù)．典例2如果6能整除a,a又能整除36,那么a=．錯解：6.錯因分析：正解：6,12,18,36.6能整除a說明要找6的倍數(shù)；a又能整除36，說明a是36的因數(shù)，那么36的因數(shù)又是6的倍數(shù)的是：6,12,18,36.跟蹤訓(xùn)練2一個數(shù)既是96的因數(shù)，又是6的倍數(shù)，它不能被8整除，那么這個數(shù)是多少？【詳解】,所以96的因數(shù)有：1，96,2,48,3,32,4,24,6,16,8,12.其中6的倍數(shù)：96,48,24,6,12，其中不是8的倍數(shù)的是：6,12.易錯點3因數(shù)的個數(shù).【指點迷津】找一個數(shù)的因數(shù)既可以通過枚舉法列出，也可以通過分解素因數(shù)，利用素因數(shù)的個數(shù)計算得到.典例32016的正因數(shù)有__________個.錯解：12.錯因分析：枚舉出現(xiàn)錯漏.正解：362016=2×2×2×2×2×3×3×7∴2016的正因數(shù)個數(shù)：6×3×2=36個跟蹤訓(xùn)練31080的正因數(shù)有__________.【答案】32【詳解】1080=2×2×2×3×5×3×3∴1080的正因數(shù)個數(shù)：4×4×2=32個易錯點4素因數(shù)、因數(shù)和公因數(shù).【指點迷津】公因數(shù)是最大公因數(shù)的因數(shù)，也是兩個數(shù)共有的素因數(shù)的積；公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)。這幾個概念比較容易搞混，需要進行梳理。典例424和36的公因數(shù)是__________；24和36的共有的素因數(shù)是__________；錯解：12；2、3.錯因分析：只找到最大公因數(shù)，沒有去找公因數(shù)；素因數(shù)要寫出所有的(包括重復(fù)的)正解：1，2，3，4，6，12；2、2、3.∵24和36的最大公因數(shù)是12，∴24和36的公因數(shù)是1，2，3，4，6，12.∴24和36的共有的素因數(shù)是2、2、3.跟蹤訓(xùn)練420和36的公因數(shù)是__________；20和36的共有的素因數(shù)是__________；【答案】1，2，4；2，2.【詳解】20=2×2×5；36=2×2×3×3∴20和36的公因數(shù)是1，2，4；∴20和36的共有的素因數(shù)是2、2.易錯點5求三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù).【指點迷津】在求三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時需要分兩個短除進行，最大公因數(shù)需除到三者互素，而最小公倍數(shù)需除到兩兩互素為止.典例556、36和84的最大公因數(shù)是____________，最小公倍數(shù)是____________.錯解：84；10584.錯因分析：所以56、36、84的最大公因數(shù)是4×7×3=84，最小公倍數(shù)是4×14×9×21=10584正解：所以56、36、84的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是4×7×3×3×2=504跟蹤訓(xùn)練5求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．(1)8、12和30．(2)16，32和24【答案】(1)2,120;(2)8,96【詳解】(1)8、12和30∴8、12和30的最大公因數(shù)是：2，最小公倍數(shù)是：2×2×3×2×1×5=120．(2)8,96解：∵16=2×2×2×2，32=2×2×2×2×2，24=2×2×2×3，∴最大公因數(shù)是2×2×2=8，最小公倍數(shù)是2×2×2×2×2×3=96．易錯點6應(yīng)用——“種樹”或“插旗”問題.【指點迷津】對于“種樹”或“插旗”問題，可以先求這些數(shù)的最大公因數(shù)，再依據(jù)不同圖形：直線、折線、矩形等進行作圖或“掐頭去尾”.典例6一塊矩形地面，長90米，寬15米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵樹之間的距離相等，則最少要種______棵樹．錯解：12.錯因分析：正解：14每兩棵樹之間的距離要整除90和15，則為90和15的公因數(shù)，題目中問最少種多少棵樹，則是求90和15的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)為15．則每兩棵樹之間距離15米種一棵樹，一排種7棵樹，兩排共種14棵樹，故答案為：14．跟蹤訓(xùn)練6一條街道如圖所示，長米，長米，長米，要在這條街道的右側(cè)等距離地安裝路燈，且要求兩端和轉(zhuǎn)彎處都必須裝燈，那么這條街道最少要裝多少盞燈？【答案】20盞【分析】根據(jù)要求兩端和轉(zhuǎn)彎處都必須裝燈，求得與的最大公因數(shù)為，根據(jù)，，即可求得AB，BC，CD三條街道裝的燈的數(shù)量，即可求解．【詳解】解：因為，，與的最大公因數(shù)為，，，故這條街道最少要裝：盞燈．跟蹤訓(xùn)練7已知某學(xué)校六年級學(xué)生超過100人，而不足140人．將他們按每組12人分組，多3人；按每組8人分組，也多3人，那么學(xué)校六年級學(xué)生有________人．【答案】123【分析】根據(jù)他們按每組12人分組，多3人；按每組8人分組，也多3人，說明總?cè)藬?shù)減去3就是12和8的公倍數(shù)，找出超過100人，而不足140人之內(nèi)的公倍數(shù)即可．【詳解】解：12和8的最小公倍數(shù)是24，12和8的公倍數(shù)：24，48，72，96，120，120+3=123（人），所以學(xué)校六年級學(xué)生有123人．故答案為：1231、若，，則A和B的最小公倍數(shù)是___________．【答案】210【分析】兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)乘積是兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：A=2×3×5，B=3×5×7，A、B公有的質(zhì)因數(shù)是3和5，A、B的最小公倍數(shù)是：2×5×3×7=210，故答案為：210．2、填空：____________，____________，則M、N的最大公因數(shù)是____________，M、N的最小公倍數(shù)是____________.【答案】2418672【分析】根據(jù)短除法及最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)可直接進行求解．【詳解】解：由短除法可得：，，則M、N的最大公因數(shù)是，M、N的最小公倍數(shù)是；故答案為24；18；6；72．3、求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．(1)12和18

(2)24和36(3)12、15和20【答案】（1）18與12的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是36；（2）24與36的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72．(3)最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是60【分析】(1)(2)都可以用短除法即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)12和18的最大公約數(shù)：2×3=6，最小公倍數(shù)：2×3×2×3=36，(2)24與36的最大公約數(shù)是2×2×3=12，最小公倍數(shù)是2×2×3×2×3=72．(3)12=2×2×3，15=3×5，20=2×2×5，所以12、15和20的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是2×2×3×5=60．4、在下列說法中，正確的是（

）．A．奇數(shù)都是素數(shù) B．2的倍數(shù)都是合數(shù)C．合數(shù)不都是偶數(shù) D．5的倍數(shù)都是奇數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、倍數(shù)、合數(shù)的定義分析，即可完成求解．【詳解】∵15是奇數(shù)，但不是素數(shù)故選項A錯誤；∵2是2的倍數(shù)，但2不是合數(shù)故選項B錯誤；∵15是合數(shù)，但不是偶數(shù)故選項C正確；∵，10是偶數(shù)故選項D錯誤；故選：C．5、先求出8和10的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，并把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相乘，再把8和10相乘，請你觀察其中的規(guī)律．并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解下面的問題．（1）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是30，已知甲數(shù)是6，則乙數(shù)是多少？（2）甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是90，已知甲數(shù)是18，則乙數(shù)是多少？【答案】（1）15；（2）15【分析】觀察比較第一個數(shù)與第二個數(shù)的乘積與最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)：兩個正整數(shù)的乘積=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：8×10=80，8=2×4，10=2×5，最大公約數(shù)是2，最小公倍數(shù)是2×4×5=40，2×40=80，我發(fā)現(xiàn)了：兩個正整數(shù)的乘積=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)．(1)因為(3×30)÷6=15，所以乙數(shù)是15,，(2)因為(3×90)÷18=15．所以乙數(shù)是15，故答案為：15，15．6、有三根鐵絲，長分別為45米、36米、63米，要把它們都截成同樣長的小段，每段長都是整數(shù)且不許有剩余，共能截多少個小段？【答案】共能截144或48或16個小段【詳解】解：因為45、36和63的公因數(shù)是1、3和9，所以可將它們都截成1米長或3米長或9米長的小段，由于45=1×45=3×15=9×5，36=1×36=3×12=9×4，63=1×63=3×21=9×7，所以當(dāng)截成1米長的小段時，共能截45+36+63=144個小段；當(dāng)截成3米長的小段時，共能截15+12+21=48個小段；當(dāng)截成9米長的小段時，共能截5+4+7=16個小段，答：共能截144或48或16個小段．7、在1.8千米長的公路一側(cè)有一排電線桿，相鄰兩根之間距離都是60米．由于電纜的增多，負(fù)荷增大，需要把電線桿之間的距離改為45米，起點那根電線桿不動，那么從起點開始到第一根不必移動的電線桿之間的距離是多少？并計算不用移動的電線桿有多少根？【答案】180米，11根【分析】由題意可知：不必移動的電線桿距離起點的米數(shù)既是45的倍數(shù)，又是60的倍數(shù)，是45與60的公倍數(shù)．45與60的最小公倍數(shù)是180，所以至少再隔180米可以有一根電線桿不移動．用公路總長÷180再加1即可求出不用移動的電線桿的數(shù)量.【詳解】45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，因為45和60的最小公倍數(shù)是：2×2×3×3×5＝180，所以至少再隔180米又有一根不必移動；1.8千米=1800米，1800÷180+1=11（根）答：從起點開始到第一根不必移動的電線桿之間的距離是180米，不用移動的電線桿有11根．8、一些貝殼，4個4個地數(shù)，最后多1個；5個5個地數(shù)，最后多2個；6個6個地數(shù)，最后多3個．這些貝殼至少有多少個？【答案】這些貝殼至少有57個【分析】根據(jù)題意先求出4、5、6的最小公倍數(shù)，然后進行求解即可．【詳解】解：，所以4，5，6的最小公倍數(shù)是：，這些貝殼至少有：（個）．答：這些貝殼至少有57個．9、已知甲乙丙三個數(shù)，甲和乙的最大公約數(shù)是12，甲和丙的最大公約數(shù)是15，而三個數(shù)的最小公倍數(shù)是120，則甲、乙、丙三個數(shù)分別是__________