2022年高考數學一輪復習講練測（新高考?浙江）

專題5.6《平面向量、復數》單元測試卷

時間：120分鐘滿分：150分

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷選擇題部分（共40分）

一'選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（2021?浙江高一期末）已知A（O,T）,5（-1,3）,則|福=（）

A.yfnB.17C.5D.V10

【答案】A

【解析】

首先求出通的坐標，再根據向量模的坐標公式計算可得；

【詳解】

解：因為A（0,-1）,3（—1,3）,所以通=（一1,3）-（0,-1）=（一1,4）,所以西=J（_iy+42=Ji7

故選：A

2.（2021?浙江高一期末）復數二一（i是虛數單位尸（）

1-1

A.l+iB.1-iC.2+2iD.l-2i

【答案】A

【解析】

直接利用復數的除法運算法則計算即可

【詳解】

22(1+i),.

1-i(l-i)(l+i)

故選：A

3.(2021.浙江高一期末)已知向量萬=(2,-6),b=(-\jn),若出區，則"?=()

A.5B.3C.-3D.-5

【答案】B

【解析】

直接利用向量平行的坐標表示得到〃?的方程，解方程即得心的值.

【詳解】

因為M/區，

所以2根=(-6)x(-1)=6

解得"2=3

故選：B.

4.(2021?浙江高一期末)已知礪=(—1,2),礪=(3,加)，若礪_!.礪，則加的值為()

3

A.1B.-C.2D.4

2

【答案】B

【解析】

依題意可得OAOB=0，列方程解出.

【詳解】

____3

解：OALOB-OA-Oli=-3+2m=Q.m=2'

故選：B.

5.(2021?廣東深圳中學高一期中)已知通=(l,cosa),BC=(2,-sina),若A,B,C三點共線，則tana

的值為()

11

A.-2B.——C.—D.2

22

【答案】A

【解析】

由向量共線的坐標表示列式即可得解.

【詳解】

因AB,C三點共線，于是得麗//豆心，而而=(l,cosa),及=(2,-sina),

”.八sina

則右-sma=2cosa,即untana=-----=-2,

cosa

所以tana的值為一2.

故選：A

6.(2022浙江高二期末)已知平面直角坐標系內兩向量￡=(-2,2)石=(1,2),則“義>1”是“向量￡與未夾

角為銳角”的什么條件()

A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必安

【答案】A

【解析】

根據兩向量夾角為銳角，可得￡/〉0且排除2,5同向共線情況，計算得到4,然后根據從分條件、必要條

件判斷即可.

【詳解】

若”,坂夾角為銳角，則a?很〉0=>22—2>0n丸>1

當2,B同向共線時，a=kb{k>0),則%不存在，故4>1

所以“幾>1”是“向量7HB夾角為銳角”的充要條件

故選：A

7.(2021?安徽高二期末(理))在平行四邊形ABC。中，設麗=Z，CD=h，E為AO的靠近。的三等

分點，CE與BD交于F,則再()

3-1-3-1-1-3-1-3-

A.--a--bB.~-a+-bC.--a--bD.-a--b

44444444

【答案】A

【解析】

3

利用平面幾何的知識可得出BF=-BD,然后利用平面向量的加法與減法法則可得出行關丁iB的關

系式.

【詳解】

JT,1iQ

如下圖所示，因為AD〃BC,則——=—故。F=-50,BF=」BD,

BFBC344

QQQIQI

故,尸=4?+8尸=4月+士8方=-。方+±(05—。月)=-±已月一±。方=一±￡-±3,

44、>4444

故選：A.

8.(2021?浙江高三其他模擬)已知辦出為單位向量,向量2滿足|2"+￡|=|￡石|,則尸一目的最大值為()

A.72B.2C.73D.3

【答案】B

【解析】

~?d1—*/*7_____|—?

由12-+d\=\d，b|得|c—(——)|=■—|a?b|,說明乙的終點的軌跡是以——的終點為圓心，—|萬?b|為半徑的圓，

2222

11-的最大值是圓心與5的終點之間的距離加上半徑，即為|5-(-|)1+自1石1,再將其化成］,行的模

和夾角可解得.

【詳解】

解：由I23+2R酸|得丁’?=；|制，說明*的終點的軌跡是以-g的終點為圓心，“臼為半徑的

圓，

憶-b|的最大值是圓心與。的終點之間的距離加上半徑，即為咨b|,

-.\b+^\+~\a>b|=J(5+')2+g|@石|

=J+；+a石+婀

=Jl+；+cos<a,b>+-^|cos<dyb>|

42

2,（當且僅當cos<5,人>=1時取等號）.

故選：B.

9.（2021?浙江高二期末）已知a,b,c是A/WC的三邊，且a=2,0=3,c=4,點。是AABC外接圓的

圓心，則荷?麗=（）

55/

A.---B.-C.—D.—6

222

【答案】C

【解析】

取BC的中點般，然后將亞用麗?，麗表示，進一步用通而表示，在用麗，而表示，然后計算

即可.

【詳解】

取BC的中點”，然后連接OM,AM

如圖

A

B

所以標=次+初0，由。是AABC外接圓的圓心，所以。

所以而=（加+?0?而=麗7.而

又加顯”+碼=

故選：c

10.（2021?浙江高一期末）已知。為△ASC的外心，3礪+4麗+5玄=6,貝Ucos/A3c的值為（）

石

A.----DR.-V--i--o-\r-x?-V--5--Lnx.-V--i-o--

510105

【答案】A

【解析】

3

設AABC的外接圓的半徑為R,將3Q4+4OB+50c=6平方后求出cosNAOC=-《，找到

NA0C=2NABC,利用二倍角公式求出cosNABC

【詳解】

設AABC的外接圓的半徑為R,

3Q4+4OB+5OC=0-

■'-3OA+5OC=-4OB＜且圓心在三角形內部，

（3醞+5的2=（-4礪丫

9（O4）2+25（OC）2+30函-0C=16（礪丫，

二9H2+25H②+30H2cosZAOC=16R2

3

cos/AOC=—

5

根據圓心角等于同弧對應的圓周角的兩倍得：ZAOC=2ZABC

3

2cos29ZABC-1=cosZAOC=—二

5

解得cosZABC=亞

5

故選：A

第II卷非選擇題部分（共110分）

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.

11.（2021?浙江高一單元測試）已知向量。=弓，'§，石=＞則￡4=;卜一q=

【答案】-16

【解析】

rr

利用向量數量積運算可求出￡力，向量減法運算求出￡-石的坐標，即可計算出a-b.

【詳解】

-門⑺-（1檸

解：因為向量"=—-＞b=—,一-—,

I22）I22）

、

11J__U

所以a%=—x—+------X-----------

2,229222224_4__2'

71JJ

a-B=（0,6）,

.-q=Vo2+32=A/3.

故答案為：一萬；A/3?

12.（2021?浙江高三其他模擬）己知—2。=—3+初，a,beR,i是虛數單位，則a+b=

若復數z=a+hi,則z在復平面內對應的點位于第象限.

【答案】0二

【解析】

根據乘法法則，可得（。一，）（1-2。=。-2—（1+加）晨根據復數相等的條件，可得a,b,分析即可得答案.

【詳解】

山（〃一，）（1一2，）=一3+初，得〃一2—（1+2〃），=一3+4，

a—2=—3

由復數相等的充要條件得j_0+2a）=b，解得。=一1，b=l，

所以4+。=0，

所以Z=T+i,復數Z在復平面內對應的點為（-1,1）,位于第二象限.

故答案為：0；

13.（2021?浙江高一期末）在△ABC中，點。是邊上的動點，若而=xAB+y印不，則x+y=

【答案】I

【解析】

___1___；___12

山前與反共線可得AD=LTAB+LTAC，（A^-l）,于是x=「,進而可得

1+/11+21+21+2

x+y=1.

【詳解】

因為三點共線，則而與反共線，所以，存在實數;1（片一1）,使得麗=%反,

即加一通=九（恁一而5）,所以（1+4）亞=通+大記，

故而=工荏+工/，又荏與衣不共線，

1+21+2

1a11

所以，%=-；―pyn'i—7，從而x+y="j-r+y—7=1.

1+A1+41+41+A

故答案為：L

14.（2021?浙江高一期末）已知扇形AOB半徑為1,NAOB=60°,弧AB上的點尸滿足

OP=WA+eR）,則九+〃的最大值是.

【答案】巫

3

【解析】

先建立坐標系，從而得到點的坐標，再根據而=4況+〃礪得到九〃的值，最后求幾+〃的最大值即可.

【詳解】

以為0原點，以。8為X軸，過。且垂直于08為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

OBX

設NBOP=8，則尸(cos0,sin6),5(1,0),A(g,

因為麗=/l麗+〃麗,

八1,26sin。

cos6)=—X+//A------------

3

所以《2廠，解得，

.A一右7

sin0=—A〃=cos〃Q-《-s-in”n

2

所以;l+〃=^1^+cose—*sine=^sin(6+。)

TT

由圖可知owe〈上,

3

當時，最得最大值2回.

63

故答案為：2叵

3

15.（2021?浙江高一期末）己知向量滿足忖=3,￡4=6若對任意實數都有卜一詞2卜一則

|?+^|（2eR）的最小值為.

【答案】V3

【解析】

對,一詞游-囚兩邊平方化簡，結合已知條件可得引邛―12x+12—同

N0恒成立，從而可得

△=144一4問2（12-［司］=4忖「—48|5『+14440,可求得忖=指，而

\a+義,=J@+2泥4+/12|邛對其化簡可求出其最小值

【詳解】

解：因為卜_“4之卜_目，所以卜（—2xa-5+x2聞2之,（_24%+忸（，

因為同=3,7B=6,所以％2忖2-128+12-忸120,

所以△=144-4|司2（12—|同］=4忖『-48|司2+144<0,

所以學『一6）2?0,所以|彳=6,所以呵=指，

所以忖+尚=+2/1無5+才問＞

=的+12幾+6/12

=V3-72A2+4A+3

=G、2(/l+l)2+lNg,

當且僅當A=-l時，取到最小值6，

故答案為：6

16.(2021?浙江高二期末)已知兩個單位向量￡、B的夾角為120°,c=ta+(l-t)b,若向量"與￡、石的

夾角均為銳角，則￡/=；，的取值范圍為.

4[rf]

【解析】

利用平面向量數量積的定義可求得￡4的值，求出實數f的取值范圍，利用平面向量的數量積可求得向的取

值范圍.

【詳解】

由平面向量數量積的定義可得75=|a|-|h|cosl20°=一;，

因為向量"與￡、B的夾角均內銳角，

---2,\-1,X311

則a?c=fa+(l-Z)6r-/7=r-—(l-/)=-/-->0,可得

,1___2132

b-c=ta-b+(\-t^b=-—Z+(l-Z)=l-^-?>0,可得

且向量c與a、人均不共線，則〈八，可得且twl，

1-/^0

所以，一</<一.

33

c=[fa+(l-r)可=產。~+2/(1—=2產-2/+1=3/一3r+l

故水立.

2??3

故答案為：—《；-

2|_23J

17.(2021?浙江高一期末)如圖，在-45c中，ZBAC=p而=2而，P為CO上一點，且滿足

AP=mAC+^AB,m=；若△ABC的面積為26,則|Q|的最小值為.

【解析】

__2______i____

設麗=力麗，可得出Q通+(1-4)恁=—互+機恁，可得出關于；I、m的方程組，即可解

得實數”的值；利用二角形的面積公式得出網網=8,利用平面向量數量積的運算性質結合基本不等

式可求得B耳的最小值.

【詳解】

設~Qp_^00,則AP-AC+CP-AC+ACD-AC+A(AD-AC]

=^4C+/lf-AB-=^AAB+{\-^AC=-AB^mAC,

所以，〈34,解得I」

m=l-A

5“此毛網碎in/BAC=f網國=2百，;.網|狗=8,

2

|2(1——1—、

=-AB+-AC\

(32)4荏/就

司研+!國W網國。：osABAC>2.薩臼珂+婀網

毛阿國=4,

當且僅當3期=;國時，即當府K國時，等號成立.

所以，|Q|的最小值為2.

故答案為：；2.

2

三'解答題：本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.（2021?浙江高二期中）已知復數z=（〃?2一加一2）+（加+1?,（加6/?）,

（1）若z為純虛數，求實數機的值

（2）若z在復平面上所對應的點在第四象限，求實數”的取值范圍.

【答案】(1)m=2；(2)(fo,-l).

【解析】

（1）根據復數z為純虛數，列出方程，即可求解；

（2）根據復數z在復平面上所對應的點在第四象限，列出不等式組，即可求解.

【詳解】

（1）山題意，復數Z=（加2一加一2）+（m+1?,（根6穴）是純虛數,

nr-m-2=0

可得《解得m=2.

m+1w0

m~-m-2>0八,

（2）復數z在復平面匕所對應的點在第四象限，可得〈,解得〃2<-1,

m+1<0

即實數加的取值范圍（-8,—D.

19.（2021?浙江高一期末）平面內給定三個向量方=（3,2）石=（-1,2）忑=（4,1）,

（1）求附+2日-

（2）若向量6與乙一日的夾角為。，求cos。的值.

【答案】(1)病；(2)—注.

2

【解析】

(I)利用數乘向量和平面向量坐標運算法則能求出3&+26-2人進而求模即可;

(2)利用向量夾角公式即可得到結果.

【詳解】

(1)???平面內給定三個向量卜=(3,2),方=(-1,2),c=(4,l).

A3a+b-2c=3(3,2)+2(-1,2)-2(4,1)

=(9,6)+(-2,4)-(8,2)

=(T8),

二怩+2B-2c|=Vl+64=V65；

(2)Va=(3,2),1,2),c=(4,1),

b—ci=(-4,0),c-a=(l,-1),

伍-M).傳-嘰-4_72

/.cos0-

忸一萬上,一萬|4a2

??cos。=-----

2

20.(2021?浙江高一期末)已知萬=(1,6),卜卜3,(2萬—35)-(萬+26)=-43.

(1)求萬與B的夾角

(2)若5=夜+(1—且,.0=0,求實數.及同.

【答案】(1)-；(2)強.

32

【解析】

r

(1)求出。，由數量積的運算律求得7E可得向量夾角；

(2)計算尻"，山5^=0,求出人然后由數量積的運算求出忖.

【詳解】

（1）由已知同=2,

（25-3孫（汗+25）=2Q+a-b-6b=2x224-2x3cos-6x32=-43,

1JT

所以cos6=—，又夕€［0,乃］,所以。=—：

23

（2）由題意=B?［應+（1-。+—/歷2=0x2x3x；+（l-，）x3?=0,

3-3-1一

解.得/=-1c——a—b,

222

門2/3-1云、29-23-r1129“3°127

\c\=（—a——h）=—a——a-h+—b=—x4——x3+—xn9=——，

II224244244

所以，=孚.

21.（2021.浙江高二期末）己知A3是圓O的一條直徑，且|而|=2,點C、力是圓。上的兩個動點.

（1）若點C滿足,求方X.反的取值范圍：（在①灰.礪=0,②銳角△AOC面積為且，③

4

|AC|=V3|礪|這三個條件里任選一個補充在上面問題中，并作答）

UUIUUIRU

（2）求AC.8。的取值范圍?

【答案】（1）選①|^1—A/2,1+V2J選②j—+G選③-3］（2）~4，-

【解析】

（1）以圓心。為原點，以05為大軸，過。作直徑AB的垂直平分線為,建立平面直角坐標系，則

A（—1,0）,3（1,0）.設。（cosa,sina）若選①.不妨取C（0』），山向量的數量積的坐標表示可得房.況的

式子，結合三角恒等變形可得解；若選②.由5用改=!乂|0川*上/=乎，得|//=乎，不妨取

（15

c,山向量的數量積的坐標表示可得萬A.反的式子，結合二角恒等變形可得解：若選③.由

（22J

IAC\=>/3|OA|=,即點C在圓（x+lj+y2=3由<（：+1）2+，3,不妨取由向

x~+y~=1I，2J

量的數量積的坐標表示“得麗?覺的式子，結合二角恒等變形可得解:

(2)設。(85a5詁￡)(一不〈々〈")，C(cose,sin8)(一萬〈夕＜乃)，則由向量的數量積的坐標表示可

得衣.詼=cosa(cos6+1)+sin6sina-(cos夕+1),當sinOwO時，

可化為J(cos，+l)2+sin2esin(a+°)—(cos6+l)，由三角函數的最值結合二次函數的最值可解，再討

論sin。=0時的情況.

【詳解】

以圓心。為原點，以05為x軸，過O作直徑A5的垂直平分線為y建立如圖所示的平面直角坐標系.

山|而|=2,則圓。的方程為f+y2=l

則A(—1,0),3(1,0)

⑴若選①.詼.麗=0,即OCJ_AB,不妨取C(0,l),設。(cosa,sina)

則DA=(-l-cosa,-sina),DC=(-cosa,1-sina)

DA-DC=(-1-cosa)x(-cos?)+(-sina)(l-sina)

=cosa+cos?a—sina+sin2a=l+cosa-sine

=l+V^cos[a+(]

由cos[a+?)e[-l,l],則次.反e[l—&,1+0]

若選②.由Loc=3|。4卜|先|=；|先|=￥，得|九|=*，

由點。在圓。上，則|%|=g，

又△AOC為銳角三角形，則％=-,，不妨取。一!，

21227

/

16.1

則。4=(一1一?05%-$抽0,DC=-

22J

DA-DC=(-l-coscir)xf--^-cos^z^+,?"G?1

(-sina)------sina

七°sa-gina+3=GcJa+2

2

-l<cos(a+3)<l,所以￡)A-QCE-

---y[^h---F>]?>

22_

AV

?

r

若選③.由|次|=6|西|=6，即點c，在圓(x+lp+y2=3

(x+1)+)廣=3a,=r"士季不妨取4，T

由<:\,解得r

x2+V=1

flG?1

則ZM=(-l-cosa-siny),

(22J

DA-DC=(-l-cosa)x[；-Yz./.]

-cosaJ+(-sina)——---sina

y/3.11(吟1

二——sina+—cosa+—=SH

222I3j2

所以方?反e

(2)設。(cosa,sina)(一萬<a<%)，C(cos0.sin(-zr<^<zr)

tlUUlULBl

AC=(cos8+1,sin9),BD=(cosa-1,sin

nullUUUl

AC-BD=(cos，+1)(cosa—1)+sin8sina

=cosa(cos8+1)+sinsina-(cos9+1)

當sin9=0時，cos^=±l

UUIUUUUUUUUl*l

若cos8=l，則AC3Z)=2cosa-2，則ACBOe[TO]

若cos9=-l，則A/B方=0

當sin。w。時，

AC-BD=^(cos^+l)2+sin20sin(cr+^?)-(cos^+1)，其中tan>=丁

所以-J(COS6+1)2+sin26-(cos6+1)(AC-BD<^(cos0+l)2+sin20-(cos6+1)

又^(cos^+1)2+si