專題23：三角函數的定義及誘導公式（3知識點+3題型+3考法）三角函數的定義及誘導公式常考題型誘導公式三角函數的定義及誘導公式常考題型誘導公式三角函數值在各象限的符號三角函數的定義題型一：利用三角函數的定義求三角函數值題型二：三角函數值的符號判定題型三：誘導公式的應用考法一：給角求值、化簡求值考法二：給值(或式)求值考法三：利用誘導公式證明恒等式知識點一：三角函數的定義（1）任意角的三角函數定義：設α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么①點P的縱坐標叫角α的正弦函數，記作sinα＝y；②點P的橫坐標叫角α的余弦函數，記作cosα＝x；③點P的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數．將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：正弦函數y＝sinx，x∈R；余弦函數y＝cosx，x∈R；正切函數y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論．知識點二：三角函數值在各象限的符號（1）設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過正弦、余弦和正切的計算公式可以確定符號口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).知識點三：誘導公式公式終邊關系圖示公式公式一終邊相同的角的同一三角函數的值相等.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝sinα，,cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tanα，))公式二角π＋α與角α的終邊關于原點對稱sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α與角α的終邊關于x軸對稱sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α與角α的終邊關于eq\a\vs4\al(y)軸對稱sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六記憶口訣：可概括為“奇變偶不變，符號看象限”：①“偶”當k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取偶數時（－π±α，π±α，±α），三角函數名不變，符號由原三角函數角所在象限決定；②“奇”當k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取奇數時（，±eq\f(π,2)±α），三角函數名改變，符號由原三角函數角所在象限決定；題型一：利用三角函數的定義求三角函數值解題思路：設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論．例1．已知是角的終邊上一點，，則（

）A． B． C． D．例2．如果角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．例3．已知角的頂點為原點，起始邊為軸非負半軸，若點是角終邊上一點，且，則（

）A． B． C． D．變式訓練4．若角的終邊經過點，則等于（

）A． B． C． D．5．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知角的終邊經過點，且，則．7．（多選題）已知角的終邊經過點，則的值可能為（

）A． B． C． D．題型二：三角函數值的符號判定解題思路：設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過正弦、余弦和正切的計算公式可以確定符號口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).主要考查兩類題：第一類通過角所在象限確定三角函數的符號；第二類：通過三角函數的符號來確定角所在象限。例1．已知，，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例2．“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例3．若，則（

）A． B．C． D．變式訓練4．已知，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知為第二象限角，則（

）A． B．C． D．6．（多選題）若，則可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型三：誘導公式的應用考法一：給角求值、化簡求值解題思路：利用誘導公式公式求任意角三角函數值的步驟(1)“負化正”：用公式一或三來轉化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數后求值.例1．（

）A． B． C． D．例2．化簡（

）A． B． C．1 D．例3．化簡下列各式：(1)；(2)．變式訓練：4．已知．(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求的值．5．平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．6．已知角的終邊經過點，則的值等于（

）A． B． C． D．7．已知.(1)化簡；(2)若，求.考法二：給值(或式)求值解題思路：（1）設α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論．利用誘導公式公式求任意角三角函數值的步驟(1)“負化正”：用公式一或三來轉化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數后求值.例1．已知，則的值為（

）A． B．C． D．例2．已知為第二象限角，若則（

）A． B． C． D．例3．已知，且，化簡并求的值.變式訓練4．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則(

)A． B． C． D．5．（多選題）在△ABC中，下列關系式恒成立的有（

）A． B．C． D．6．（多選題）已知，則下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．7．若、是關于的方程的兩個根，則.8．已知是第三象限角，，則.考法三：利用誘導公式證明恒等式解題思路：利用誘導公式化簡和證明恒等式例1．求證：當或3時，.例2．（1）求證：；（2）設，求證.變式訓練：3．求證：．4．若，求證：.一、單選題1．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點，且，則（

）A．1 B． C． D．22．在中，給出下列四個式子：①；②；③；④.其中為常數的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④3．已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．4．已知角的終邊過點，則的值是（

）A． B． C． D．5．已知，則函數的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．6．若角滿足，，則是（

）A．第二象限角 B．第三象限角C．第一或者第三象限角 D．第二或者第四象限角7．已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為（

）A． B． C． D．二、多選題8．若，則角的終邊