高考

數(shù)學(xué)數(shù)列數(shù)列求和、數(shù)列的綜合基礎(chǔ)篇考點一數(shù)列求和考向一分組、并項求和1.(2023屆湖北黃岡調(diào)研,8)已知數(shù)列{an}滿足an·(-1)n+an+2=2n-1,S20=650,則a23

=

(

)A.231

B.234

C.279

D.276答案

B

2.(多選)(2022廣東北江實驗學(xué)校模擬,9)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=

則

(

)A.a6=19

B.a7>a6C.S5=22

D.S6>S8答案

BC

3.(2023屆江蘇百校聯(lián)考,17)從①(3n-1)·an+1=(3n+2)an,②a2=5,2an+1=an+an+2這

兩個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中并作答.已知數(shù)列{an}滿足a1=

2,

.(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=

,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn.注:若選兩個條件分別作答,則按第一個解答計分.解析

(1)選①,由(3n-1)an+1=(3n+2)an及a1=2,可知an≠0,所以

=

,當(dāng)n≥2時,有an=

×

×…×

×

×

×a1=

×

×…×

×

×

×2=3n-1.當(dāng)n=1時,a1=2適合上式,故an=3n-1(n∈N*).選②,由2an+1=an+an+2,得an+2-an+1=an+1-an,所以{an}為等差數(shù)列,由a1=2,a2=5,得該數(shù)列的公差d=a2-a1=5-2=3,所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.(2)由(1)知bn=

,∴an+bn=3n-1+

,則Tn=[2+5+8+…+(3n-1)]+

=

+

=

+

.4.(2022長沙雅禮中學(xué)月考,17)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,其前n項和Sn滿

足Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n≥2,n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=an+

,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解析

(1)由題意得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2(n≥2),即an+1-an=2(n≥2),又a2-a1=3-1=2,

所以an+1-an=2(n∈N*).所以數(shù)列{an}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,所

以an=2n-1(n∈N*).(2)bn=an+

=2n-1+22n-1=2n-1+

·4n,所以Tn=[1+3+5+…+(2n-1)]+

×(4+42+43+…+4n)=n2+

.5.(2022重慶市育才中學(xué)入學(xué)考,17)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈

N*),且

-

=

,S6=63.(1)求{an}的通項公式;(2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列{(-1)n

}的前2n項和.解析

(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由已知,有

-

=

,解得q=2或q=-1.又由S6=a1·

=63,知q≠-1,所以a1·

=63,得a1=1,所以an=2n-1.(2)由題意,得bn=

(log2an+log2an+1)=

(log22n-1+log22n)=n-

,即{bn}是首項為

,公差為1的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{(-1)n

}的前n項和為Tn,則T2n=(-

+

)+(-

+

)+…+(-

+

)=b1+b2+…+b2n=

=2n2.考向二倒序相加求和1.(2022遼寧阜新月考,7)已知函數(shù)f(x)=x+3sin

+

,數(shù)列{an}滿足an=

,則f(a1)+f(a2)+…+f(a2021)=

(

)A.2021

B.2022

C.4042

D.4040答案

A

2.(2022江蘇無錫檢測,6)德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一,有“數(shù)

學(xué)王子”之稱,在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)才

能,10歲時,他在進(jìn)行1+2+3+…+100的求和運算時,就提出了倒序相加法

的原理,該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成,因此,

此方法也稱為高斯算法.已知數(shù)列an=

,則a1+a2+…+a98=

(

)A.96

B.97

C.98

D.99答案

C

3.(2022山東東營一中月考,8)設(shè)f(x)=

,根據(jù)課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法可以求得f(1°)+f(2°)+…+f(59°)的值是

(

)A.

B.0

C.59

D.

答案

A

4.(2022湖北重點高中聯(lián)考,15)設(shè)函數(shù)f(x)=log3

,定義Sn=f

+f

+…+f

,其中n∈N*,n≥2,則Sn=

.答案

0考向三公式法求和1.(2021山東菏澤期末,7)已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且Sn=2an-1,若an∈(0,

2021),則稱項an為“和諧項”,則數(shù)列{an}的所有“和諧項”的和為

(

)A.1022

B.1023

C.2046

D.2047答案

D

2.(2022湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟第一次聯(lián)考,5)如圖,連接△ABC的各邊

中點得到一個新的△A1B1C1,又連接△A1B1C1各邊中點得到一個新的△A2B2C2,如此無限繼續(xù)下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,

這一系列所有三角形的面積和趨向于一個常數(shù).已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),

則這個常數(shù)是

(

)A.

B.5

C.10

D.15答案

C

3.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=

(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)求{an}的前20項和.解析

(1)由題意得a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2,所以數(shù)列{bn}是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列,所以b1=2,b2=5,bn=2+(n-1)×3=3n-1.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,an=an+1-1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S20=a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=[(a2-1)+(a4-1)+…+(a20-1)]+(a2+a4+…+a20)=2(a2+a4+…+a20)-10,由(1)可知a2+a4+…+a20=b1+b2+…+b10=10×2+

×3=155,故S20=2×155-10=300,即{an}的前20項和為300.4.(2023屆長沙雅禮中學(xué)月考,18)設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知2Sn=

+an.(1)求{an}的通項公式;(2)記bn=

cos

,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求T3n.解析

(1)當(dāng)n=1時,2S1=

+a1,所以

=a1,又a1>0,故a1=1;當(dāng)n≥2時,2Sn-1=

+an-1,而2Sn=

+an,兩式相減得2an=

-

+an-an-1,整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,因為an+an-1>0,所以an-an-1=1,故{an}是以1為公差的等差

數(shù)列,從而an=a1+(n-1)×1=n.(2)設(shè)ck=b3k-2+b3k-1+b3k=(3k-2)2cos

+(3k-1)2cos

+(3k)2cos2kπ=-

(3k-2)2-

(3k-1)2+9k2=9k-

,其中k∈N*,所以T3n=c1+c2+…+cn=

=

.考點二數(shù)列的綜合考向一數(shù)列與函數(shù)綜合1.(多選)(2022江蘇泰州模考,9)若正整數(shù)m,n只有1為公約數(shù),則稱m,n互質(zhì),

對于正整數(shù)k,φ(k)是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個數(shù),函數(shù)φ(k)以

其首名研究者歐拉命名,稱為歐拉函數(shù).例如:φ(2)=1,φ(3)=2,φ(6)=2,φ(8)=

4.已知歐拉函數(shù)是積性函數(shù),即如果m,n互質(zhì),那么φ(mn)=φ(m)φ(n),例如:φ(6)=φ(2)φ(3),則

(

)A.φ(5)=φ(8)B.數(shù)列{φ(2n)}是等比數(shù)列C.數(shù)列{φ(6n)}不是遞增數(shù)列D.數(shù)列

的前n項和小于

答案

ABD

2.(2023屆山東濰坊五縣聯(lián)考,15)視力表是根據(jù)視角原理設(shè)計的,所謂視角

就是由外界物體邊緣上的兩點在眼結(jié)點處所形成的夾角,用α表示,其單

位為分.視力表以一分視角(1')為單位進(jìn)行設(shè)計.我國視力的記錄采用“五

分記錄法”,視力表由14行開口方向各異的正方形“E”形視標(biāo)所組成,

從上到下分別對應(yīng)視力4.0,4.1,…,5.2,5.3,從上面的第一行開始往下,每一

行“E”形視標(biāo)邊長都是下一行“E”形視標(biāo)邊長的

倍,且視力L與視角α的關(guān)系式為L=5-lgα.若某同學(xué)的視力是4.0,則其視角α=

分;

若視力4.0的視標(biāo)邊長為1,則視力5.0的視標(biāo)邊長為

.答案10

或0.1考向二數(shù)列與不等式綜合1.(2021浙江,10,4分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=

(n∈N*).記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則

(

)A.

<S100<3

B.3<S100<4

C.4<S100<

D.

<S100<5答案

A

2.(2022福州三中質(zhì)檢,8)已知在等差數(shù)列{an}中,a2=3,a6=11,數(shù)列{bn}的通

項公式為bn=loga

(a>1),Sn是數(shù)列{bn}的前n項和,若Tn=loga

,則Sn與Tn的大小關(guān)系是

(

)A.Sn≥Tn

B.Sn>TnC.Sn<Tn

D.Sn≤Tn答案

B

3.(2022長沙長郡中學(xué)月考,18)已知數(shù)列{an}滿足an+1-2an=0,a3=8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=

,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.若2Tn>m-2021對n∈N*恒成立,求正整數(shù)m的最大值.解析

(1)由an+1-2an=0得an+1=2an,則{an}是以2為公比的等比數(shù)列,又a3=8,即4a1=8,解得a1=2,所以an=2n.(2)由(1)可得bn=

=

,則Tn=

+

+

+…+

,

Tn=

+

+

+…+

,兩式相減可得

Tn=

+

+

+…+

-

=

-

,化簡可得Tn=2-

(n∈N*),因為Tn+1-Tn=2-

-2+

=

>0,所以{Tn}逐項遞增,T1最小,為

,所以2×

>m-2021,解得m<2022,又m∈N*,所以m的最大值為2021.4.(2023屆山東青島調(diào)研檢測,19)記關(guān)于x的不等式x2-4nx+3n2≤0(n∈N*)

的整數(shù)解的個數(shù)為an,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,滿足4Tn=3n+1-an-2.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)設(shè)cn=2bn-λ

,若對任意n∈N*,都有cn<cn+1成立,試求實數(shù)λ的取值范圍.解析

(1)由不等式x2-4nx+3n2≤0可得n≤x≤3n,∴an=2n+1,Tn=

×3n+1-

n-

,當(dāng)n=1時,b1=T1=1,當(dāng)n≥2時,bn=Tn-Tn-1=

×3n-

,∵b1=1適合上式,∴bn=

×3n-

,n∈N*.(2)由(1)可得cn=3n-1+(-1)n-1λ

,∴cn+1=3n+1-1+(-1)nλ

,∵cn<cn+1,∴cn+1-cn=2×3n+

(-1)nλ

>0,∴(-1)nλ>-

×2n,當(dāng)n為奇數(shù)時,λ<

×2n,∵

×2n隨著n的增大而增大,∴當(dāng)n=1時,

×2n的值最小,為

,∴λ<

,當(dāng)n為偶數(shù)時,λ>-

×2n,∵-

×2n隨著n的增大而減小,∴當(dāng)n=2時,-

×2n的值最大,為-

,∴λ>-

.綜上,可知-

<λ<-

.綜合篇考法一錯位相減法求和1.(2021新高考Ⅰ,16,5分)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時,發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)

常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙,對折1

次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之

和S1=240dm2,對折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm

三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推.則對折4次共可以

得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

;如果對折n次,那么

Sk=

dm2.答案

5

240×

2.(2022重慶八中調(diào)研,18)已知數(shù)列{an-1}是遞增的等比數(shù)列,a2=5且a3+a4=

26.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Sn.解析

(1)設(shè)數(shù)列{an-1}的公比為q,bn=an-1,則an=bn+1.由a2=5得b2=4,由a3+a4=26得b3+b4=24,所以4(q+q2)=24,解得q=2或q=-3(舍去),所以bn=b2qn-2=4×2n-2=2n.所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1.(2)由(1)知nan=n·2n+n,設(shè)An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,則2An=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,將以上兩式相減得-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(2n-1)-n×2n+1=(1-n)2n+1-2,所

以An=(n-1)2n+1+2.設(shè)Bn=1+2+3+…+n=

,則Sn=An+Bn=(n-1)2n+1+2+

=(n-1)2n+1+

+

+2.3.(2022山東德州夏津一中入學(xué)考試)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是

公比大于0的等比數(shù)列,已知a1=1,b1=3,b2=3a3,b3=12a2+3.(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=

求數(shù)列{ancn}的前n項和Tn.解析

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0),根據(jù)

題意得

解得

或

(舍),所以an=1+(n-1)×1=n,bn=3·3n-1=3n.(2)當(dāng)n≤5時,cn=1,所以Tn=a1+a2+…+an=1+2+…+n=

.當(dāng)n≥6時,cn=bn-5=3n-5,所以Tn=T5+a6b1+a7b2+…+anbn-5=15+6×31+7×32+…+n·3n-5.令M=6×31+7×

32+…+n·3n-5,則3M=6×32+7×33+…+(n-1)·3n-5+n·3n-4,兩式相減得-2M=6×31+(32+33+…+3n-5)-n·3n-4=18+

-n·3n-4,整理得M=-

+

·3n-4,所以Tn=

+

·3n-4.綜上,Tn=

4.(2021全國乙文,19,12分)設(shè){an}是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=

.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明:Tn<

.解析

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.∵a1,3a2,9a3成等差數(shù)列,∴6a2=a1+9a3,又∵{an}是首項為1的等比數(shù)列,∴6a1q=a1+9a1q2,∴9q2-6q+1=0,解得q1=q2=

,∴an=a1·qn-1=

,∵bn=

,∴bn=n·

.(2)證明:∵Sn為{an}的前n項和,∴Sn=

=

.∵Tn為{bn}的前n項和,∴Tn=b1+b2+…+bn=1×

+2×

+…+n

,①

Tn=1×

+2×

+…+n

.②①-②可得

Tn=

+

+…+

-n·

=

-n·

=-

·?+

,∴Tn=-

+

,∴Tn-

=-

n·

<0,∴Tn<

.5.(2020課標(biāo)Ⅲ理,17,12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.解析

(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],……a2-5=3(a1-3).因為a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.

①從而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.

②①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.6.(2017天津理,18,13分)已知{an}為等差數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),{bn}是

首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和(n∈N*).解析

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,因為b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因為q>0,所

以q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,

聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n.(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,得a2nb2n-1=(3n-1)×4n,

故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=

-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得Tn=

×4n+1+

.所以,數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和為

×4n+1+

.考法二裂項相消法求和1.(2022廣東四校聯(lián)考,6)已知數(shù)列{an}滿足an=

,則a1+

+

+…+

+

=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

2.(2023屆遼寧鞍山質(zhì)量監(jiān)測,17)已知等差數(shù)列{an}的首項為log315-log310

+

log34的值,且a3+a7=18.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=

,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解析

(1)根據(jù)題意得,a1=log315-log310+

log34=log3

+log3

=log3

+log32=log3

=1,設(shè){an}的公差為d,則由a3+a7=18,得a1+2d+a1+6d=18,解得d=2,所以an=1+(n-

1)×2=2n-1.(2)由(1)可得bn=

=

,所以Tn=

+

+…+

=

=

.3.(2022新高考Ⅰ,17,10分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=1,

是公差為

的等差數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;(2)證明:

+

+…+

<2.解析

(1)解法一:依題意得,S1=a1=1.∴

=

+(n-1)×

=

.∴3Sn=(n+2)an,則3Sn+1=(n+1+2)an+1=(n+3)an+1,∴3Sn+1-3Sn=(n+3)an+1-(n+2)an,即3an+1=(n+3)an+1-(n+2)an,∴nan+1=(n+2)an,即

=

,由累乘法得

=

,又a1=1,∴an+1=

,∴an=

(n≥2),又a1=1滿足上式,∴an=

(n∈N*).解法二:同解法一求得nan+1=(n+2)an,∴

=

,即

=

,∴數(shù)列

是常數(shù)列,首項為

,∴

=

,∴an=

.(2)證明:由(1)知

=

=2

,∴

+

+…+

=2

+2

+…+2

=2

=2-

<2.4.(2023屆湖北名校聯(lián)盟聯(lián)合測評,17)已知數(shù)列{an}滿足

a1+

a2+

a3+…+

an=n(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=log3an,求數(shù)列

的前n項和Tn.解析

(1)當(dāng)n=1時,a1=3,當(dāng)n≥2時,由

a1+

a2+

a3+…+

an=n①,得

a1+

a2+

a3+…+

an-1=n-1②,由①-②得

an=n-(n-1)=1,即an=3n(n≥2).當(dāng)n=1時也成立,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n(n∈N*).(2)因為bn=log3an=log33n=n,所以

=

=

,所以Tn=

×

-

+

-

+…+

-

=

.5.(2022河北邢臺入學(xué)考試)在①a3+a6=18,②{an}的前n項和Sn=n2+pn,③a3+

a4=a7這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中并解答.問題:在等差數(shù)列{an}中,a1=2,且

.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=

,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.注:若選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.解析

(1)選①.設(shè){an}的公差為d.由題意可得a1+2d+a1+5d=2a1+7d=18.因為a1=2,所以d=2,則an=a1+(n-1)d=2n.選②.設(shè){an}的公差為d.因為Sn=n2+pn,所以Sn-1=(n-1)2+p(n-1)=n2+pn-2n-p+1(n≥2),兩式相減得an=2n+p-1(n≥2),又因為a1=S1=p+1滿足上式,所以an=2n+p-1(n∈N*).由a1=2得p+1=2,所以p=

1,所以an=2n.選③.設(shè){an}的公差為d.因為a3+a4=a7,所以a1+2d+a1+3d=a1+6d,即a1=d.因為a1=2,所以d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)由(1)可得an+1=2(n+1),則bn=

=

.故Tn=

=

=

.6.(2020浙江,20,15分)已知數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=

cn,n∈N*.(1)若{bn}為等比數(shù)列,公比q>0,且b1+b2=6b3,求q的值及數(shù)列{an}的通項公

式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,公差d>0,證明:c1+c2+c3+…+cn<1+

,n∈N*.解析

(1)由b1+b2=6b3得1+q=6q2,解得q=

.由cn+1=4cn得cn=4n-1.由an+1-an=4n-1得an=a1+1+4+…+4n-2=

.(2)由cn+1=

cn得cn=

=

,所以c1+c2+c3+…+cn=

.由b1=1,d>0得bn+1>0,因此c1+c2+c3+…+cn<1+

,n∈N*.一、單項選擇題專題綜合檢測1.(2022江蘇南通如皋調(diào)研一,4)在等比數(shù)列{an}中,公比為

,前6項的和為

,則a6=(

)A.

B.

C.

D.24答案

B

2.(2022重慶七中期中,6)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若

=2,則

=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

3.(2022沈陽三十一中月考,7)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(2-x)=f(x),

數(shù)列{an}滿足a1=-1,且an+1=

an+

(n∈N*),則f(a22)=

(

)A.0

B.-1

C.21

D.22答案

A

4.(2022福建泉州模考,5)已知函數(shù)f(x)=

+1,則f

+f

+…+f

+f

的值為

(

)A.1

B.2

C.2020

D.2021答案

C

5.(2015浙江,3,5分)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn.若a3,a4,

a8成等比數(shù)列,則

(

)A.a1d>0,dS4>0

B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0

D.a1d<0,dS4>0答案

B

6.(2022河北部分重點中學(xué)期中,9)已知數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=2n,n∈N*,則

下列說法正確的是

(

)A.a4=4

B.{a2n}是等比數(shù)列C.a2n-a2n-1=2n-1

D.a2n-1+a2n=2n+1答案

ABC

二、多項選擇題7.(2022福建莆田華僑中學(xué)月考,12)設(shè)首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,

已知Sn+1=2Sn+n-1,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.數(shù)列{an}為等比數(shù)列B.數(shù)列{Sn+n}為等比數(shù)列C.數(shù)列{an}中,a10=511D.數(shù)列{2Sn}的前n項和為2n+2-n2-n-4答案

BCD

8.(2022遼寧六校聯(lián)考,12)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問

題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,…,其中從第三項起,每個數(shù)等于它前面

兩個數(shù)的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)

列”,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.a6=8

B.S9=54C.a1+a3+a5+…+a2019=a2020

D.

=a2020答案

ACD

9.(2021新高考Ⅱ,12,5分)若正整數(shù)n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈

{0,1}(i=0,1,…,k),記ω(n)=a0+a1+…+ak,則

(

)A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n答案

ACD

10.(2022福建莆田華僑中學(xué)月考,14)等比數(shù)列{an}中,an>0且a2a4+2a3a5+a4a6

=25,則a3+a5=

.答案

5三、填空題11.(2022遼東南協(xié)作體期中,15)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,2Sn=

an+1+1,則Sn=

.答案

(3n-1+1)12.(2022河北衡水中學(xué)模擬一,16)等差數(shù)列{an}中,a1+a5+a14=a10+24,且a5=3a1,則a5=

;若集合{n∈N*|2nλ<a1+a2+…+an}中有2個元素,則實數(shù)λ

的取值范圍是

.答案

12

13.(2022重慶八中檢測,13)九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智

游戲,它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串,按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù),決定解開

圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)個圓環(huán)所需的最

少移動次數(shù),數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=

則解下n(n為奇數(shù))個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為

.(用含n的式子表示)答案

2n-1(1≤n≤9,n為奇數(shù))14.(2022江蘇無錫質(zhì)檢,16)“刺繡”是一門傳統(tǒng)手工藝術(shù),我國已有多種

刺繡被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.有一種刺繡的圖案由一筆畫構(gòu)成,

很像漢字“回”,稱為“回紋圖”(如圖).某刺繡工在方格形布料上用單

線針法繡回紋圖,共進(jìn)行了n次操作,每次操作在前一次基礎(chǔ)上向外多繡

一圈(前三次操作之后的圖案分別如下圖).若第k次操作之后圖案所占面

積為Sk(即最外圍不封口的矩形面積,如S1=2,S2=12,S3=30),則至少操作

次,Sk不少于90;若每橫向或縱向一個單位長度繡一針,稱為“走一

針”,圖①共走了5針,圖②共走了19針,圖③共走了41針,則其第n次操作

之后的回紋圖共走了

針(用含n的式子表示).

圖①

圖②

圖③答案

5

4n2+2n-115.(2022福建莆田華僑中學(xué)月考,18)已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前n項和為Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=

(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.四、解答題解析

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a3=7,a5+a7=26,所以有

解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+

×2=n2+2n.(2)由(1)知,an=2n+1,所以bn=

=

=

=

,所以Tn=

=

=

.16.(2022重慶云陽江口中學(xué)期末,17)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2(an-1),n∈N*.(1)求a1及數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列

的前n項和Tn;(3)求證:

+

+…+

<1.解析

(1)由Sn=2(an-1),n∈N*知:當(dāng)n=1時,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2①,又an=Sn-Sn-1=2(an-1)-2(an-1-1),n≥2,所以an=2an-1,n≥2②,所以{an}是首項、公比均為2的等比數(shù)列,故an=2n,n∈N*.(2)由(1)知

=

,所以Tn=

=1-

,n∈N*.(3)證明:由(1)(2)知:

=

=

=

=

-

,所以

+

+…+

=

+

+…+

=

-

=1-

<1,得證.17.(2022河北部分重點中學(xué)期中,19)已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前

n項和為Sn,S3=6,a2,a4,a8成等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=2bn+1.(1)求數(shù)列{a