2023-2024學年重慶實驗中學等七校九年級第一學期期中數學試卷一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑.1．計算6a2×a3的結果是（）A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a52．如圖所示圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，將△ABC繞點A旋轉一定角度得到△ADE，∠B＝90°，∠C＝30°，AD＝1，則DE的長度是（）A．1 B． C．2 D．24．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠B＝92°，則∠D的度數是（）A．92° B．88° C．98° D．108°5．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+3先沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向下平移4個單位長度，則平移后得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x﹣3）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣16．估計的結果應該在（）A．6和7之間 B．5和6之間 C．4和5之間 D．3和4之間7．用黑點按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有4個黑點，第②個圖案中有8個黑點，第③個圖案中有13個黑點，第④個圖案中有19個黑點，?，按此規律排列下去，則第⑧個圖案中黑點的個數為（）A．43 B．44 C．53 D．548．提倡綠色出行，新能源汽車越來越受大家青睞．某品牌新能源汽車4S店經銷商統計了1月份到3月份的銷量，該品牌新能源汽車1月份銷售25輛，3月份銷售36輛，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同，該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為（）A．15% B．20% C．25% D．30%9．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，頂點（1，n），其中說法正確的是（）A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．點（x1，y1）和（x2，y2）都在該二次函數圖象上，若x1＜﹣1，且2＜x2＜3，則y1＞y2 D．方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有實數根10．乙是一個求和符號，英文名稱：sigma，漢語名稱西格瑪．例如：i＝1+2+3+?+n，當n＝5時i＝1+2+3+4+5＝15；ix＝x+2x+3x+?+nx，當n＝5時ix＝x+2x+3x+4x+5x＝15x；ix1＝x1+x2+x3+?+xn，當n＝5時xi＝x1+x2+x3+x4+x5；下列說法正確的個數是（）①當n＝5時，；②當n＝3時，若ix2＝54，則x＝±3；③如果＝2022，（xi﹣）＝2024，那么xi?＝﹣2023．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題：（本大題共8小題，每小題4分，共32分）將每小題的答案直接11．計算：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝．12．若x＝2是方程x2﹣bx+c＝0的其中一根，則4b﹣2c+1的值為．13．在同一平面內，等邊△ABC和正五邊形BCDEF如圖所示，則∠ABF的度數為．14．已知三角形的兩邊長為3和5，第三邊的長為方程x2﹣5x+4＝0的根，則該三角形的周長為．15．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點E，F．若AB＝4，BC＝3，∠AOB＝108°，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）16．若關于x的分式方程＝3有非負整數解；且數a使關于m的二次函數y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，當m＜﹣2時，y隨m的增大而增大，則所有滿足條件的整數a的值之和是．17．如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F為CD上一點，連接BF，交AC于點G，連接DG，若DF＝CE，則∠DGF＝．18．對于一個四位自然數A，若它的千位數字比十位數字多5，百位數字比個位數字多3，則稱A為“五三數”．如：四位數6714，∵6﹣1＝5，7﹣4＝3，∴6714是“五三數”；四位數8821，∵8﹣2≠5，∴8421不是“五三數”，則最大的“五三數”和最小的“五三數”之差為；一個“五三數”A的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記M（A）＝a+c+2（b+d），N（A）＝b﹣3，若能被5整除，則滿足條件的A的值為．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上.19．計算：（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；（2）．20．在學習了平行四邊形的相關知識后，小明對它的面積進行了研究，他發現，平行四邊形的面積＝底×高，可以通過三角形全等轉換成矩形計算．請根據他的思路完成以下作圖和填空：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE垂直BC，垂足為E．用直尺和圓規作圖，過點D作DF垂直BC，交BC的延長線于點F．（只保留作圖痕跡）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥①．∴∠ABE＝②．∵AE垂直BC，DF垂直BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠AEB＝∠DFC，∴DA∥BC，AE∥DF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵∠DFC＝90°．∴四邊形AEFD是③．∴S平行四邊形ABCD＝S△ABE+S四邊形AECD＝S△DCF+S四邊形AECD＝S矩形AEFD＝AD×AE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴④．∴S平行四邊形ABCD＝BC×AE．即平行四邊形的面積＝底×高．21．某校對七、八年級進行了普法知識問答測試，現從七、八年級各抽取了20人的成績進行整理，描述和分析，成績用x表示，共分為四個等級：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D．x＜70．下面給出了部分信息．抽取的七年級20人的成績：68，70，73，75，79，80，82，82，85，86，86，86，88，88，90，91，93，94，96，98；抽取的八年級B等級包含的所有數據為：89，85，87，83，84，88，81，82抽取的七、八年級學生成績統計表學生平均數中位數眾數七年級84.586b八年級84.5a79根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級的普法知識問答測試，哪個年級成績更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．（3）若該校七、八年級共有1800人參加普法知識問答測試，請估計兩個年級成績合格（大于或等于80分）的有多少人．22．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，動點E和F分別以每秒3和4個單位長度的速度同時從點A出發，點E沿A→B方向運動，到達點B即停止運動，點F沿A→C方向運動，到達點C即停止運動．設運動時間為t秒，S1＝FC，S2＝S△EFC．（1）請直接寫出S1和S2關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數S1和S2的圖象，并寫出函數S2的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出S1＝S2時t的值，保留1位小數，誤差小于0.2．23．杭州亞運會期間，某旗艦店以相同的價格購進了兩批亞運會吉祥物毛絨玩具玩偶套裝，第一批100套，售價108元；第二批150套，售價98元，兩批全部售出，該旗艦店共獲利10500元．（1）求玩偶套裝的進價是多少元？（2）該店以相同的價格購進第三批玩偶套裝200套，當每套售價為90元時，第一天賣出50套，第二天賣出40套，隨著亞運會結束，該玩偶開始滯銷，店家決定降價促銷，每下降5元，在第二天的銷量上增加10套，到第三天結束時，這批玩偶已賣出的部分獲利3900元，為了在第四天內全部賣出，應降價多少元？24．某海域上，碼頭A處的海警同時接到B處和C處的求救信號，海警一組前往B處，海警二組前往C處，B在A的北偏東45°方向，C在A的南偏東30°方向，C在B的正南方向，AC＝10海里．（1）求AB的距離（結果精確到0.1）；（2）B處的人員得到解救后，C處還未完成解救任務，海警一組決定前往C處協助二組完成任務，若海警一組的快艇速度為每小時65海里，問海警一組能否在15分鐘內到達C處？請說明理由．（參考數據：≈1.414，25．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（0，3），B（3，0）．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點C是直線AB上方拋物線上的一個動點．過點C作CD∥x軸，交AB于點D，過點C作CE∥y軸，交AB于點E，當△DCE的周長取得最大值時，求點C的坐標和△DCE周長的最大值；（3）在（2）中△DCE的周長取得最大值時，把拋物線y＝﹣x2+bx+c向右平移個單位得到新的拋物線，點M是點C的對應點，新拋物線交y軸于點N，G為新拋物線對稱軸上一點，H在新拋物線上，使得以M，N，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的點H的坐標．26．在△ABC中，BA＝BC，D是邊AC上一動點，連接BD，將BD繞點B順時針旋轉至BE的位置，使得∠ABC+∠DBE＝180°，連接AE，交BC于點F，連接CE．（1）如圖1，當∠DBE＝90°時，若AE平分∠BAC，求證：CF＝CE；（2）如圖2，取AE的中點M，連接BM．猜想BM與CD存在的數量關系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DM．若∠DBE＝60°，當AD＞CD，∠BEC＝150°時，請直接寫出的值．

參考答案一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑.1．計算6a2×a3的結果是（）A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5【分析】根據單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，進而得出答案．解：6a2×a3＝3a5．故選：D．【點評】此題主要考查了單項式乘單項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．2．如圖所示圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．解：選項A、B、D中的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項C中的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：C．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．3．如圖，將△ABC繞點A旋轉一定角度得到△ADE，∠B＝90°，∠C＝30°，AD＝1，則DE的長度是（）A．1 B． C．2 D．2【分析】由旋轉的性質可得BC＝DE，AD＝AB＝1，由直角三角形的性質可求BC的長，即可求解．解：∵將△ABC繞點A旋轉一定角度得到△ADE，∴BC＝DE，AD＝AB＝1，又∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴BC＝，∴DE＝BC＝，故選：B．【點評】本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．4．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠B＝92°，則∠D的度數是（）A．92° B．88° C．98° D．108°【分析】根據圓內接四邊形的對角互補列式計算即可．解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝92°，∴∠D＝180°﹣92°＝88°，故選：B．【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．5．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+3先沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向下平移4個單位長度，則平移后得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x﹣3）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣1【分析】根據“上加下減，左加右減”的法則解答即可．解：將拋物線y＝x2+3先沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向下平移4個單位長度，則平移后得到的拋物線是y＝（x+3）2﹣1．故選：D．【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解題的關鍵．6．估計的結果應該在（）A．6和7之間 B．5和6之間 C．4和5之間 D．3和4之間【分析】先計算出結果，再估算的大小，即可得到結果．解：＝＝，∵，即，∴，∴，即的結果應該在6和7之間，故選：A．【點評】本題考查了估算無理數的大小，得出的取值范圍是解題的關鍵．7．用黑點按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有4個黑點，第②個圖案中有8個黑點，第③個圖案中有13個黑點，第④個圖案中有19個黑點，?，按此規律排列下去，則第⑧個圖案中黑點的個數為（）A．43 B．44 C．53 D．54【分析】根據所給圖形，依次求出黑點的個數，發現規律即可解決問題．解：由所給圖形可知，第①個圖案中黑點的個數為：4＝1+2+3﹣2；第②個圖案中黑點的個數為：8＝1+2+3+4﹣2；第③個圖案中黑點的個數為：13＝1+2+3+4+5﹣2；…，所以第n個圖案中黑點的個數為：1+2+3+…+n+2﹣2＝；當n＝8時，（個），即第⑧個圖案中黑點的個數為53個．故選：C．【點評】本題考查圖形變化的規律，能根據所給圖形用含n的代數式表示出第n個圖案中黑點的個數是解題的關鍵．8．提倡綠色出行，新能源汽車越來越受大家青睞．某品牌新能源汽車4S店經銷商統計了1月份到3月份的銷量，該品牌新能源汽車1月份銷售25輛，3月份銷售36輛，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同，該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為（）A．15% B．20% C．25% D．30%【分析】設新能源汽車銷量的月平均增長率為x，根據1月份及3月份4S店新能源汽車的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．解：設新能源汽車銷量的月平均增長率為x，依題意，得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌新能源汽車銷售量的月增長率為20%，故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．如圖是二次函數y＝ax2+bx+c圖象的一部分，頂點（1，n），其中說法正確的是（）A．abc＞0 B．2a﹣b＝0 C．點（x1，y1）和（x2，y2）都在該二次函數圖象上，若x1＜﹣1，且2＜x2＜3，則y1＞y2 D．方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有實數根【分析】依據題意，根據二次函數的圖象與性質，結合所給圖象逐個進行判斷可以得解．解：由題意，拋物線對稱軸是直線x＝﹣＝1，a＜0，c＞0，∴b＞0．∴abc＜0，故A錯誤．∵﹣＝1，∴b＝﹣2a．∴2a﹣b＝2a+2a＝4a＜0，故B錯誤．∵拋物線對稱軸是直線x＝1，∴x1＜﹣1對應的函數值與x＞3時對應的函數相對應．∵在對稱軸直線x＝1的右側，開口向下，∴y隨x的增大而減小．又2＜x2＜3，∴y1＜y2，故C錯誤．∵拋物線y＝ax2+bx+c圖象的一部分，頂點（1，n），∴當令y＝n﹣10時，必存在兩個自變量與之對應．∴方程ax2+bx+c＝n﹣10一定有實數根．∴方程ax2+bx+c+8＝n﹣2一定有實數根．故選：D．【點評】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征，解決本題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質．10．乙是一個求和符號，英文名稱：sigma，漢語名稱西格瑪．例如：i＝1+2+3+?+n，當n＝5時i＝1+2+3+4+5＝15；ix＝x+2x+3x+?+nx，當n＝5時ix＝x+2x+3x+4x+5x＝15x；ix1＝x1+x2+x3+?+xn，當n＝5時xi＝x1+x2+x3+x4+x5；下列說法正確的個數是（）①當n＝5時，；②當n＝3時，若ix2＝54，則x＝±3；③如果＝2022，（xi﹣）＝2024，那么xi?＝﹣2023．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】首先根據題目給出的定義列出展開式，①進行計算即可．②列出方程解之即可．③根據已知分別列出展開式，再用加減法得出xi，的值，就可以得出結果了．解：①當n＝5時，＝＝＝，故①正確；②∵當n＝3時，＝x2+2x2+3x2＝54，∴6x2＝54，∴x2＝9，∴x＝±3，故②正確；③∵＝2022，∴++……+＝2022①，∵（xi﹣）＝2024，∴＝2024②，∴①+②得：2x1+2x2+……+2xn＝4046，①﹣②得：＝﹣2，∴＝﹣1，x1+x2+……+xn＝2023，∴xi?＝（x1+x2+……+xn）（）＝x1（）+x2（）+……+xn（）＝﹣x1﹣x2﹣……﹣xn＝﹣2023．故③正確．故選：D．【點評】本題考查整式加減，分式化簡，規律探究，定義運算．解題關鍵是能夠根據已知的定義列出展開始．二、填空題：（本大題共8小題，每小題4分，共32分）將每小題的答案直接11．計算：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．解：2﹣1+|﹣1|﹣（2+π）0＝+1﹣1＝，故答案為：．【點評】本題考查了實數的運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．12．若x＝2是方程x2﹣bx+c＝0的其中一根，則4b﹣2c+1的值為9．【分析】先把x＝2代入一元二次方程得到2b﹣c＝4，再把4b﹣2c+1變形為2（2b﹣c）+1，然后利用整體代入的方法計算．解：把x＝2代入方程x2﹣bx+c＝0得4﹣2b+c＝0，∴2b﹣c＝4，∵4b﹣2c+1＝2（2b﹣c）+1＝2×4+1＝9．故答案為：9．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．13．在同一平面內，等邊△ABC和正五邊形BCDEF如圖所示，則∠ABF的度數為48°．【分析】n邊形的內角和＝（n﹣2）180°，正多邊形的各內角都相等．解：正三角形的每一個內角為60°，正五邊形的每一個內角為＝108°，∠ABF＝∠FBC﹣∠ABC＝108°﹣60°＝48°．故答案為：48°【點評】本題考查了多邊形的內角和，正多邊形的每一個內角都相等．關鍵是求出多邊形的內角的度數．14．已知三角形的兩邊長為3和5，第三邊的長為方程x2﹣5x+4＝0的根，則該三角形的周長為12．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝﹣1，再根據三角形三邊的關系可判斷三角形第三邊長為4，然后計算三角形的周長即可．解：x2﹣5x+4＝0，（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0或x+1＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，當三角形第三邊長為4時，3+4＞5，符合三角形三邊的關系，此時三角形的周長為3+4+5＝12；當三角形第三邊長為1時，3+1＜5，不符合三角形三邊的關系，舍去；綜上所述，該三角形的周長為12．故答案為：12．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關系．15．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點E，F．若AB＝4，BC＝3，∠AOB＝108°，則圖中陰影部分的面積為π．（結果保留π）【分析】先根據勾股定理求出AC的長，由矩形的性質得出OA的長，由等腰三角形的性質得出∠OAE的度數，利用扇形的面積公式即可得出結論．解：∵矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝，∵∠AOB＝108°，∴∠OAE＝＝36°，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE＝36°，∴S陰影＝S扇形OAE+S扇形OCF＝2S扇形OAE＝2×＝π．故答案為：π．【點評】本題考查的是扇形面積的計算及矩形的性質，熟記扇形的面積公式是解題的關鍵．16．若關于x的分式方程＝3有非負整數解；且數a使關于m的二次函數y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，當m＜﹣2時，y隨m的增大而增大，則所有滿足條件的整數a的值之和是0．【分析】解分式方程可先確定出a的取值范圍，再由二次函數的性質可確定出a的范圍，從而可確定出a的取值，可求得答案．解：由分式方程＝3解得x＝，∵關于x的分式方程＝3有非負整數解，∴a+4是3的非負整數倍，且≠2，∵關于m的二次函數y＝﹣m2+（1﹣a）m+8，∴拋物線開口向下，對稱軸為x＝，∴當x＜時，y隨x的增大而增大，∵當m＜﹣2時，y隨m的增大而增大，∴≥﹣2，解得a≤5，綜上可知滿足條件的a的值為﹣4，﹣1，5，∴所有滿足條件的整數a的值之和是﹣4﹣1+5＝0，故答案為：0．【點評】本題考查了二次函數的性質、分式方程的解以及解一元一次不等式，通過解分式方程以及二次函數的性質，找出a的值是解題的關鍵．17．如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F為CD上一點，連接BF，交AC于點G，連接DG，若DF＝CE，則∠DGF＝45°．【分析】由正方形的性質得到BC＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°，由DF＝CE，得到BE＝CF，由SAS證明△ABE≌△BCF，得到∠CBF＝∠BAE，由角平分線定義得到∠CBF＝∠BAC＝22.5°，求出∠ABG＝90°﹣∠CBF＝67.5°，由三角形內角和定理得到∠AGB＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝67.5°，因此∠AGB＝∠ABG，推出AG＝AB，得到AG＝AD，因此∠AGD＝∠ADG，由等腰直角三角形的性質得到∠DAG＝45°，因此∠AGD＝×（180°﹣45°）＝67.5°，由平角定義得到∠DGF＝180°﹣∠AGB﹣∠AGD＝45°．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵DF＝CE，∴BE＝CF，∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠BAE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∴∠CBF＝22.5°，∴∠ABG＝90°﹣∠CBF＝67.5°，∵∠BAG＝45°，∴∠AGB＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝67.5°，∴∠AGB＝∠ABG，∴AG＝AB，∴AG＝AD，∴∠AGD＝∠ADG，∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAG＝45°，∴∠AGD＝×（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DGF＝180°﹣∠AGB﹣∠AGD＝45°．故答案為：45°．【點評】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定和性質，關鍵是證明△ABE≌△BCF（SAS），得到∠CBF＝∠BAE＝22.5°．18．對于一個四位自然數A，若它的千位數字比十位數字多5，百位數字比個位數字多3，則稱A為“五三數”．如：四位數6714，∵6﹣1＝5，7﹣4＝3，∴6714是“五三數”；四位數8821，∵8﹣2≠5，∴8421不是“五三數”，則最大的“五三數”和最小的“五三數”之差為4646；一個“五三數”A的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記M（A）＝a+c+2（b+d），N（A）＝b﹣3，若能被5整除，則滿足條件的A的值為5401．【分析】最大的“五三數”先確定千位數字最大為9，可得十位數字，確定百位數字最大為9，可得個位數字，最小的“五三數”同理可得，最大的“五三數”減去最小的“五三數”即為所求；先確定a與c、b與d的關系，化簡，能被5整除，所以其尾數是0或5，試得滿足的c、d的值，得到a、b的值，可得滿足條件的A的值．解：9﹣4＝5，9﹣6＝3，最大的“五三數”是9946，5﹣0＝5，3﹣0＝3，最小的“五三數”是5300，最大的“五三數”和最小的“五三數”之差＝9946﹣5300＝4646，a＝5+c，b＝3+d，能被5整除，則＝+4的尾數是0或5，∵A是“五三數”，∴0≤c≤4，0≤d≤6，∵d在分母上，∴d≠0，∴c＝0，d＝1滿足，則a＝5，b＝4，滿足條件的A的值為5401，故答案為：4646，5401．【點評】本題考查了整式的加減、代數式，關鍵是根據a與c、b與d的關系，化簡．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上.19．計算：（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；（2）．【分析】（1）先展開，再合并同類項；（2）先通分算括號內的，把除化為乘，再分解因式約分．解：（1）原式＝﹣2ab+b2+a2+2ab+b2＝a2+2b2；（2）原式＝?＝?＝．【點評】本題考查整式，分式的混合運算，解題的關鍵是掌握掌握整式，分式相關運算的法則．20．在學習了平行四邊形的相關知識后，小明對它的面積進行了研究，他發現，平行四邊形的面積＝底×高，可以通過三角形全等轉換成矩形計算．請根據他的思路完成以下作圖和填空：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE垂直BC，垂足為E．用直尺和圓規作圖，過點D作DF垂直BC，交BC的延長線于點F．（只保留作圖痕跡）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥①AB．∴∠ABE＝②∠DCF．∵AE垂直BC，DF垂直BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠AEB＝∠DFC，∴DA∥BC，AE∥DF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵∠DFC＝90°．∴四邊形AEFD是③矩形．∴S平行四邊形ABCD＝S△ABE+S四邊形AECD＝S△DCF+S四邊形AECD＝S矩形AEFD＝AD×AE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴④AD＝BC．∴S平行四邊形ABCD＝BC×AE．即平行四邊形的面積＝底×高．【分析】（1）根據垂線的作圖方法作圖即可．（2）由平行四邊形的判定與性質、平行線的性質、矩形的判定可得答案．解：如圖，DF即為所求．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠ABE＝∠DCF，∵AE垂直BC，DF垂直BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠AEB＝∠DFC，∴DA∥BC，AE∥DF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵∠DFC＝90°，∴四邊形AEFD是矩形．∴S平行四邊形ABCD＝S△ABE+S四邊形AECD＝S△DCF+S四邊形AECD＝S矩形AEFD＝AD×AE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴S平行四邊形ABCD＝BC×AE．即平行四邊形的面積＝底×高．故答案為：①AB；②∠DCF；③矩形；④AD＝BC．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖、平行四邊形的判定與性質、平行線的性質、矩形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質、平行線的性質、矩形的判定與性質等知識點是解答本題的關鍵．21．某校對七、八年級進行了普法知識問答測試，現從七、八年級各抽取了20人的成績進行整理，描述和分析，成績用x表示，共分為四個等級：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D．x＜70．下面給出了部分信息．抽取的七年級20人的成績：68，70，73，75，79，80，82，82，85，86，86，86，88，88，90，91，93，94，96，98；抽取的八年級B等級包含的所有數據為：89，85，87，83，84，88，81，82抽取的七、八年級學生成績統計表學生平均數中位數眾數七年級84.586b八年級84.5a79根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝82.5，b＝86，m＝20；（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級的普法知識問答測試，哪個年級成績更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．（3）若該校七、八年級共有1800人參加普法知識問答測試，請估計兩個年級成績合格（大于或等于80分）的有多少人．【分析】（1）先計算八年級C組和D組的人數，進而求出A組的人數，即可確定中位數a和m；根據眾數的定義求出b即可；（2）比較平均數、中位數和眾數可得結論；（3）求出七、八年級學生競賽成績為A、B等級的百分比可得答案．解：（1）C組的人數：＝6（人），D組的人數：20×10%＝2（人），∵B組有8人，∴A組有4人，∴m%＝×100%＝20%，∴m＝20；B組數據排序：89，88，87，85，84，83，82，81，∵數據有20個，∴中位數是第10個和第11個數據的平均數：＝82.5（分），故答案為：82.5，86，20；（2）七年級競賽成績較好，理由為：兩個年級平均數相同，七年級的中位數和眾數高于八年級；（3）七年級A、B等級人數是15人，八年級A、B等級人數是12人，1800×＝1215（人），答：估計兩個年級成績合格（大于或等于80分）的有1215人．【點評】本題考查扇形統計圖、中位數、眾數、平均數，理解中位數、眾數、平均數的計算方法是正確求解的前提．22．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，動點E和F分別以每秒3和4個單位長度的速度同時從點A出發，點E沿A→B方向運動，到達點B即停止運動，點F沿A→C方向運動，到達點C即停止運動．設運動時間為t秒，S1＝FC，S2＝S△EFC．（1）請直接寫出S1和S2關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數S1和S2的圖象，并寫出函數S2的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出S1＝S2時t的值，保留1位小數，誤差小于0.2．【分析】（1）由題意得：AF＝4t，則S1＝FC＝AC﹣AF；S2＝S△EFC＝FC×AE，即可求解；（2）取點、描點、連線即可繪制函數圖象，即可求解；（3）觀察函數圖象即可求解．解：（1）由題意得：AF＝4t，則S1＝FC＝AC﹣AF＝8﹣4t（0≤t≤2）；S2＝S△EFC＝FC×AE＝（8﹣4t）×3t＝﹣6t2+12t（0≤t≤2）；（2）當t＝0，S1＝8，當t＝2時，S1＝0，當x＝0時，S2＝0，當x＝2時，S2＝0，S2的頂點坐標為：（1，6）；對上述點描點、連線繪制函數圖象如下：從S2的圖象看，其對稱軸為x＝1，頂點坐標為：（1，6）（答案不唯一）；（3）從（2）中圖象看，其交點坐標橫坐標約為0.7，即t＝0.7（答案不唯一）．【點評】本題是三角形綜合題，考查了三角形面積的計算、一次函數和二次函數的圖象和性質和應用等知識，深入理解題意是解決問題的關鍵．23．杭州亞運會期間，某旗艦店以相同的價格購進了兩批亞運會吉祥物毛絨玩具玩偶套裝，第一批100套，售價108元；第二批150套，售價98元，兩批全部售出，該旗艦店共獲利10500元．（1）求玩偶套裝的進價是多少元？（2）該店以相同的價格購進第三批玩偶套裝200套，當每套售價為90元時，第一天賣出50套，第二天賣出40套，隨著亞運會結束，該玩偶開始滯銷，店家決定降價促銷，每下降5元，在第二天的銷量上增加10套，到第三天結束時，這批玩偶已賣出的部分獲利3900元，為了在第四天內全部賣出，應降價多少元？【分析】（1）設玩偶套裝的進價是x元，利用總利潤＝每套的銷售利潤×銷售數量，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）設應降價y元，則每套的銷售利潤為（90﹣y﹣60）元，第三天可售出（40+2y）套，根據“到第三天結束時，這批玩偶已賣出的部分獲利3900元”，可列出關于y的一元二次方程，解之可得出y值，再結合要在第四天內全部賣出，即可確定結論．解：（1）設玩偶套裝的進價是x元，根據題意得：100（108﹣x）+150（90﹣x）＝10500，解得：x＝60．答：玩偶套裝的進價是60元；（2）設應降價y元，則每套的銷售利潤為（90﹣y﹣60）元，第三天可售出40+10×＝（40+2y）套，根據題意得：（90﹣60）×50+（90﹣60）×40+（90﹣y﹣60）（40+2y）＝3900，整理得：y2﹣10y＝0，解得：y1＝0，y2＝10，又∵隨著亞運會結束，該玩偶開始滯銷，且要在第四天內全部賣出，∴y＝10．答：應降價10元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．24．某海域上，碼頭A處的海警同時接到B處和C處的求救信號，海警一組前往B處，海警二組前往C處，B在A的北偏東45°方向，C在A的南偏東30°方向，C在B的正南方向，AC＝10海里．（1）求AB的距離（結果精確到0.1）；（2）B處的人員得到解救后，C處還未完成解救任務，海警一組決定前往C處協助二組完成任務，若海警一組的快艇速度為每小時65海里，問海警一組能否在15分鐘內到達C處？請說明理由．（參考數據：≈1.414，【分析】（1）過A作AH⊥BC于H，由題意得：∠B＝45°，∠C＝30°，由含30°角的直角三角形的性質待定AH＝AC＝5（海里），由等腰直角三角形的性質得到AB＝AH＝5≈7.1（海里）；（2）由直角三角形的性質求出CH的長，而BH＝AH＝5海里，即可求出BC的長，從而求出海警一組到達C的時間，即可解決問題．解：（1）過A作AH⊥BC于H，由題意得：∠B＝45°，∠C＝30°，∴AH＝AC＝×10＝5（海里），∵∠AHB＝90°，∠B＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AB＝AH＝5≈7.1（海里），∴A、B的距離約是7.1海里．（2）∵∠AHC＝90°，∠C＝30°，∴CH＝AH＝5≈8.7（海里），∵△AHB是等腰直角三角形，∴BH＝AH＝5海里，∴BC＝BH+CH＝13.7（海里），∵海警一組的快艇速度為每小時65海里，∴海警一組到達C的時間是13.7÷65≈0.21小時＝12.6（分鐘），∴海警一組能在15分鐘內到達C處．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣方向角問題，關鍵是過A作AH⊥BC于H，構造直角三角形．25．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（0，3），B（3，0）．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點C是直線AB上方拋物線上的一個動點．過點C作CD∥x軸，交AB于點D，過點C作CE∥y軸，交AB于點E，當△DCE的周長取得最大值時，求點C的坐標和△DCE周長的最大值；（3）在（2）中△DCE的周長取得最大值時，把拋物線y＝﹣x2+bx+c向右平移個單位得到新的拋物線，點M是點C的對應點，新拋物線交y軸于點N，G為新拋物線對稱軸上一點，H在新拋物線上，使得以M，N，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的點H的坐標．【分析】（1）用待定系數法可得拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+x+3；（2）由A（0，3），B（3，0）求出直線AB函數表達式為y＝﹣x+3，設C（t，﹣t2+t+3），則E（t，﹣t+3），可得CE＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t；由A（0，3），B（3，0），可知△CDE是等腰直角三角形，有DE＝CE＝﹣t2+t，CD＝CE＝﹣t2+t，故△DCE周長＝DE+CD+CE＝﹣t2+t﹣t2+t﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，根據二次函數性質可得答案；（3）將拋物線y＝﹣x2+x+3向右平移個單位得到新的拋物線y＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+3＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，故新拋物線對稱軸為直線x＝2，與y軸交于N（0，），M（3，），設G（2，m），H（n，﹣n2+2n+），分三種情況：①當MN．GH為對角線時，MN，GH的中點重合，有，②當NG，MH為對角線時，NG，MH的中點重合，，③當NH，MG為對角線時，NH，MG的中點重合，有，分別解方程組可得答案．解：（1）把A（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+x+3；（2）由A（0，3），B（3，0）可得直線AB函數表達式為y＝﹣x+3，設C（t，﹣t2+t+3），則E（t，﹣t+3），∴CE＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t；∵A（0，3），B（3，0），∴OA＝OB，∴△AOB的等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵CD∥x軸，CE∥y軸，∴∠CDE＝∠ABO＝45°，△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CE＝﹣t2+t，CD＝CE＝﹣t2+t，∴△DCE周長＝DE+CD+CE＝﹣t2+t﹣t2+t﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴當t＝時，△DCE周長取最大值，此時C（，），∴點C的坐標為（，），△DCE周長的最大值為；（3）將拋物線y＝﹣x2+x+3向右平移個單位得到新的拋物線y＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+3＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，∴新拋物線對稱軸為直線x＝2，與y軸交于N（0，），∵點M是點C（，）的對應點，∴M（3，），設G（2，m），H（n，﹣n2+2n+），①當MN．GH為對角線時，MN，GH的中點重合，∴，解得n＝1，∴H（1，）；②當NG，MH為對角線時，NG，MH的中點重合，∴，解得n＝﹣1，∴H（﹣1，﹣）；③當NH，MG為對角線時，NH，MG的中點重合，∴，解得n＝5，∴H（5，﹣）；綜上所述，H的坐標為（1，）或（﹣1，﹣）或（5，﹣）．【點評】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，三角形周長，平行四邊形性質及應用等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點坐標和