2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={0,-a},B={},a-2,2a-2\,若AqB,則。=（）.

2

A.2B.IC.-D-->

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)

查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400

名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.1G種B.C制-C一種

C.c%c墨種D.Cy.C品種

7Y-1

4.若/（司=（》+“加寶節(jié)為偶函數(shù)，貝心=（）.

A.-1B.0C.1D.1

2

5.已知橢圓。:土+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，&，直線y=與C交于A,B

3

兩點(diǎn)，若△耳AB面積是面積的2倍，則機(jī)=（）.

.更

A.1Br_V2n_2

3333

6.已知函數(shù)f（x）=ae'-Inx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）.

A.e2B.eC.e-1D.仁一2

7.已知a為銳角，cosa=上氈，則sin1=（

).

42

A3—>/5R—1+>/53-幣-1+逐

A.-----------D.--------------C.D.

8844

8.記5“為等比數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和，若其=-5,$6=2電，則§8=().

A.120B.85C.-85D.-120

二、多選題

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,A8為底面直徑，ZAPS=120°,24=2,點(diǎn)

C在底面圓周上，且二面角尸—AC—0為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=2壺D.4c的面積為百

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-K(x-l)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C

交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則().

Q

A.p=2B.|M7V|=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.OMN為等腰三角形

11.若函數(shù)/(x)=alnx+§+城(〃工0)既有極大值也有極小值，則().

A.bc>0B.ab>0C.b2+8?c>0D.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為a(0<c<l),

收到0的概率為l-a；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為以0</<1),收到1的概率為1-4.

考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳

輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，

收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依

次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-夕)(1-尸)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為"I-6)?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1-6)2+(1-/?)3

D.當(dāng)0<夕<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳

輸方案譯碼為0的概率

三、填空題

13.已知向量々,］滿足.叫=6,卜+4=忸一4,則忖=.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

15.已知直線/：x—叼+1=0與GC:(x-iy+y2=4交于A,8兩點(diǎn)，寫出滿足“一ABC面

Q

積為?的根的一個(gè)值.

16.已知函數(shù)〃x)=sin?x+e),如圖4,B是直線y=g與曲線y=的兩個(gè)交點(diǎn)，

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

17.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃也c,已知一ABC的面積為6，。為8c中

點(diǎn)，且AD=1.

(1)若ZA￡)C=m，求tan3；

⑵若。2+。2=8,求友c.

,、伉，一6,〃為奇數(shù)(、,、

18.｛〃〃｝為等差數(shù)列，bn=\：，記S“，7；分別為數(shù)列也｝,他｝的前〃項(xiàng)

和，邑=32,q=16.

⑴求｛叫的通項(xiàng)公式;

(2)證明：當(dāng)〃>5時(shí),T?>S?.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，

小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記

為P(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,

以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p?=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率4(c)；

⑵設(shè)函數(shù)”c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce[95,105]時(shí),求/(c)的解析式，并求〃c)在區(qū)間

[95,105]的最小值.

20.如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDA,CD,ZADB=ZADC=60,E

為BC的中點(diǎn).

(1)證明：BCYDA-,

(2)點(diǎn)/滿足EF=D4，求二面角。一AB—F的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜2石,0),離心率為右.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A，&,過點(diǎn)(T,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),

M在第二象限，直線MA與”交于點(diǎn)尸.證明:點(diǎn)P在定直線上.

22.(1)證明：當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2<sinA<x:

(2)已知函數(shù)/(x)=cos亞若x=0是的極大值點(diǎn)，求”的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因?yàn)椋╨+3i）（3-i）=3+8i-3*=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分2=0和2〃-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)锳=則有：

若a—2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,-2},8={1,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時(shí)A={0,-l},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

3.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x粵=40人,高中部共抽取60x縹=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C北-c爆種.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出“值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)閒CO為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I),(1+?)In1=(-1+?)In3,解得a=0,

解得或一：,

當(dāng)a=0時(shí)，=（2x-l）（2x+l）＞0,

則其定義域?yàn)榛蜿P(guān)于原點(diǎn)對稱.

八一'）=（一切nj^=（r）E駕=（T）E（駕）='皿黑=〃'）,

故此時(shí)f（x）為偶函數(shù).

故選：B.

答案第1頁，共16頁

5.C

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用△>(),求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得

到關(guān)于機(jī)的方程，解出即可.

y=x+m

x2，消去y可得4/+6如+3病-3=0,

了+八21

因?yàn)橹本€與橢圓相交于A,8點(diǎn)，則A=136m2—4X4(3〃P—3)>0,解得—2<帆<2,

設(shè)F,到AB的距離4，B到AB距離4，易知耳卜屈0),乙(技0),

皿|-0+機(jī)|,\y/2+m\

I-及+川

占=西=黑*2,解得…當(dāng)或一30(舍去),

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)r(x)=ae--WO在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，r(x)="e'-JwO在(1,2)上恒成立，顯然”>0,所以xe、*,

設(shè)g(x)=m\x?l,2),所以g，(x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=e,故ezL即即“的最小值為e1

ae

故選：C.

7.D

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因?yàn)閏osa=l-2sin24=55,而a為銳角，

24

答案第2頁，共16頁

解得：sin,=?JMT后-I.

故選：D.

8.C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)名，怎的關(guān)系即可解出；

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為。，首項(xiàng)為4，

若4=1,則$6=64=3x24=3$2,與題意不符，所以4壬1；

由54=-5,S,,=21邑可得，也引=一5,業(yè)?=21x31U)①，

\-q"qi-q

由①可得，1+/+/=21,解得：^=4,

所以$8=)=)X(1+/)=_5X(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為4，

因?yàn)橐?-5,S6=21S2,所以夕二―1,否則S1,=0,

從而，聞，$4-52,比一邑，國一$6成等比數(shù)歹U，

所以有，(一5-5)2=52(23+5),解得：$2=-1或$2=:,

當(dāng)$2=-1時(shí)，5,,54-S2,S6—Sii,Ss—Sf),即為-1,-4,-16,Sg+21,

易知，$8+21=-64,即58=-85；

當(dāng)$2=一時(shí),S4=4+叼+—+包=(4+/乂1+/)=(1+42)$2＞。，

與邑=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是

把握s431s的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算.

答案第3頁，共16頁

9.AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識判斷C、D

選項(xiàng)的正確性.

【詳解】依題意，ZAPS=120°,PA=2,所以O(shè)P=1,04=08=6,

A選項(xiàng)，圓錐的體積為gx兀x（右）41=兀，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為兀xgx2=2/兀，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接。2?。，

則ACJLOD,AC所以NPDO是二面角P—AC—O的平面角，

則NP￡）O=45。，所以O(shè)P=OD=1,

故AD=CD=^^i=&,則AC=2應(yīng)，C選項(xiàng)正確；

22

D選項(xiàng)，PD=71+1=72>所以SPAC=gx2\/5x夜=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.AC

【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得?，根據(jù)弦長公式求得|例M,根據(jù)圓與等腰三角形的

知識確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng):直線y=-K（x-l）過點(diǎn)（1,0）,所以拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F（l,o）,

所以勺1，。=2,2。=4,則A選項(xiàng)正確，且拋物線C的方程為V=4x.

B選項(xiàng)：設(shè)例（Xi，y）,N（w，%）,

由一,0T）消去，并化簡得3x?-10x+3=（x-3）（3x—l）=0,

y=4x

答案第4頁，共16頁

解得玉=3,尤2=：，所以|〃兇=百+Xz+p=3+g+2=與，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)：設(shè)MN的中點(diǎn)為A,A到直線/的距離分別為44,d,

因?yàn)閐=g(4+4)=；(|M/1+pVF|)=；|MM，

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以為直徑的圓與直線/相切，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)：直線y=即+y-百=(),

0到直線?r+y_百=()的距離為d=B,

2

所以三角形OMN的面積為=延，

2323

273

由上述分析可知y=-G(3-1)=-2>/3,y2=

所以=,3?+12國=⑨,|0N|=V13

所以三角形。MN不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

y=-V3(x-l)

11.BCD

【分析】求出函數(shù)/*)的導(dǎo)數(shù)f(x),由已知可得/(x)在(0,m)上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=〃lnx+±+二的定義域?yàn)?0,”)，求導(dǎo)得

XX

?，、ab2cax2-bx-2c

f(x)=----2一一r=-----5-----，

XXXX

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f(x)在(0,yo)上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，而axO,

答案第5頁，共16頁

因此方程以2_版-20=0有兩個(gè)不等的正根不，W，

A=b2+8ac>0

于是“玉+工2=，>。，即有Z2+8ac>0,ab>0,ac<09顯然/bc<0,即Ac<0,A錯(cuò)

2c八

%1%2=--->0

、?a

誤，BCD正確.

故選：BCD

12.ABD

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率

計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(l-0(l-a)(l-/?)=(l-c)(l-02,A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1-￡)力―(1-0=/(1-/)2,B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C/(1-外+(1-夕)3=(1—夕)2(1+2夕),C錯(cuò)誤:

對于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l-a)“l(fā)+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸=1-a,而0<a<0.5,

因此P—P=(1—a)~(l+2a)—(1—a)=a(l—a)(l—2a)>0,即尸>。，D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

13.G

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令;?=5-),結(jié)合

數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

答案第6頁，共16頁

【詳解】法一：因?yàn)閗+同=|2〃-可，即（a+〃y=（2〃-〃y,

則a+2ab+b=4a~-4a-b+b,整理得，-2a-b=0'

又因?yàn)榧矗╝-b『=3,

^a-2a.b+b=b=3>所以忖=瓜

rrrrrrrrr

法二：^.c=a-b>貝明=石,4+6=。+26,2。一匕=2c+/>,

由題意可得:（c+力）=（2c+b）,則；2+，/+4抹=4；『+4；.力+；

整理得：；2=抹，即帆='=b.

故答案為：6.

14.28

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據(jù)臺體的體積公式直接運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：由于（=］，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為gx（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+VI而）=28.

故答案為：28.

答案第7頁，共16頁

15.2（2,-2,；,-g中任意一個(gè)皆可以）

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長恒卻，以及點(diǎn)C到直線AB的距離，結(jié)合面積

公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線A3的距離為d,由弦長公式得恒8|=2"-/,

所以％阮=；〉"2"一才=],解得：d=拽或1=也，

11+11224石22石1

由=所以竿或”^=半，解得：加=±2或m=土:.

yjl+m2Jl+療Jl+s571+療52

故答案為：2（2,-2,g,-；中任意一個(gè)皆可以）.

【分析】設(shè)依題可得，々-玉=v，結(jié)合sinx=；的解可得,

?（X2-X,）=y,從而得到。的值，再根據(jù)=°以及〃0）＜。，即可得

/（x）=sinf4x-17t\進(jìn)而求得了（兀）.

【詳解】設(shè)由卜叫=?可得工2-占=1

66

由sinx=1可知，1==+2攵兀或x="+2E,ZeZ,由圖可知,

266

cox-\-(p-[cox+^)=-n--=—,BPco(x-x)=—,,\co=4.

2x6632i3

/21.I8K)8兀.

因?yàn)?[§nj=sm[石+/J=0,所以號+e=及兀，即夕=——n+kn,kEZ.

4K一色兀+而..2,)

所以/(x)=sinsin4x——兀+依,

3I3

所以/(x)=sin(4x—17t)或/(x)=—sin[4x-g2jt

3

又因?yàn)?（0）＜0，所以/（x）=sin（4x-：7t

/./(7t)=sin4兀3

3

故答案為：-今

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/（X）的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

答案第8頁，共16頁

17.⑴歸

5

(2)b=c=2.

【分析】(1)方法1，利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答：方法2,利

用三角形面積公式求出。，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出-4X7即可求解作答；方

法2,利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出“，再利用三角形面積公式求出NADC即可求解作答.

【詳解】(1)方法1：在中，因?yàn)椤?c中點(diǎn)，NAOC=方，AD=\,

則S=LAZ).￡>CsinNAQC=LxlxLax走=3a=，S.?r=—,解得a=4,

ADCABC

2222822

在△"￡>中，AADB=—,由余弦定理得C2=8L>2+A32-28?AOCOSZAOB,

解得cS則cos八嘉年

即c2=4+l-2x2xlx7,

所以tanB=包二=".

cosB5

TT

方法2：在一AfiC中，因?yàn)椤锽C中點(diǎn)，ZADC=-,AD=\,

貝l]SA*=-ADDCsinZADC=-x\x-ax—=—a=-S.?=—,解得a=4,

ADC222282M'r2

在，A8中，由余弦定理得加=82+4)2_28-4￡>8$乙狂)3,

即/=4+l-2x2xlx；=3,解得方=石，WAC2+A￡>2-4=CZ)2.貝叱6。=寵，

C=y,過A作A￡_LBC于E,于是CE=ACcosC=』,4E=ACsinC=3,BE昊,

6222

所以tan8=.

BE5

(2)方法1：在△43。與ACE＞中，由余弦定理得，

,11

Zr=—〃~9+l-2x—axlxcosZ.ADC

42

答案第9頁，共16頁

整理得;/+2=〃+，，而〃+/=8,則〃=26，

又Sme=』x逝x1xsinZ.ADC=—,解得sinZADC=1，而0vZADC<n,于是ZAOC==,

AZJC22

所以〃=C=J4￡>2+C￡>2=2.

方法2：在.ABC中，因?yàn)榱锽C中點(diǎn)，則24O=AB+AC，又C8=A8-4C，

于是4Ar>2+C82=(.+402+(48-402=2(從+,2)=16，即4+/=16，解得。=26，

又S=！x6xlxsinNACC=^，解得sin/4DC=l,而0<44℃<兀，于是NADC=:，

ADC222

所以/?=c=Jm+C。?=2.

18.⑴%=2九+3；

(2)證明見解析.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,用q，d表示S“及7”，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，b?,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出7；,并與S,,作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S.，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式

求出并與S,作差比較作答.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,而a=[*-：'：；："一陵wN*,

則b、=q—6也=2az=2q+2d也=%-6=a\+2d-6,

⑸=4tz,+6d=32

于是|丁..,..,解得％=5,d=2,。“=4+（a-1）"=2"+3,

[T3=4?,+4d-12=16

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是。“=2〃+3.

（2）方法1：由（1）知，S"="°+<+”=”2+4〃，。=〃；MeN*,

2[4n+o,n=2k

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，+2=2("-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6〃+1)2=和7

+n，

Tn=2

答案第10頁，共16頁

371

當(dāng)“〉5時(shí)，=(-n2+-n)-(n2+4n)=-?(/j-l)>0,因此

3735

22

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，7；,=7；+l-^1=-(H+l)+-(/7+l)-[4(n+l)+6]=-H+-n-5)

351

22

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-S?=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2Xn-5)>0,因此7；>S“,

所以當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn>S?.

,,.?°”(5+2"+3)2,,2n-3,n=2k-l

萬法2：由(1)知，S,,=---------=n-+4n,b“=，&EN*,

4/7+6,n=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

—l+2(n—1)—3n14+4/2+6n3)7

7；=(4+4++〃i)+(A+，++2)=----------------F一〃一+一〃,

222222

37i

22

當(dāng)〃〉5時(shí)，7；l-S?=(-n+-/7)-(/?4-4n)=-n(n-l)>0,因此￡>S“，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，若〃23,則

個(gè)“/；\ii\-1+2〃―3〃+114+4(〃-1)+6n-1

北=(么+4++或)+應(yīng)+仇++〃,-1)=------------+

22

a5

2325<

|n+1n-5,顯然（=偽=-1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Tn=—n+一〃一5,

22

當(dāng)”>5時(shí)，7；,-5?=(|?2+|?-5)-(n2+4n)=i(n+2)(n-5)>0,因此7；>S.，

所以當(dāng)〃>5時(shí)，T.>S,,

19.⑴c=97.5,如)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100「.，

⑵/?=0.01c-0.98,100<c<105'最小值為°02-

【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出，，再根據(jù)第二個(gè)圖求出C297.5的矩形面積即

可解出；

（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100,即可得出/（c）的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可

解出.

【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以（c—95）x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

^（0=0.01x（97.5-95）+5x0.002=0.035=3.5%.

答案第11頁，共16頁

(2)當(dāng)ce［95,100］時(shí),

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

當(dāng)ce(100,105］時(shí),

/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c—0.98>0,02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=

0.0k-0.98J00<c<105

所以〃c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.(1)證明見解析;

(2)f

【分析】(D根據(jù)題意易證3c1平面AZJE,從而證得BC_LZM；

(2)由題可證/場，平面58,所以以點(diǎn)E為原點(diǎn)，&),E8,E4所在直線分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面ABRABF的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同

角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【詳解】(1)連接AE,OE,因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，DB=DC,所以DELBC①,

因?yàn)镈A=DB=DC,ZADB=ZADC=60,所以AC￡)與△43。均為等邊三角形，

AC=AB,從而AE_L8C②，由①②，AEDE=E,4及。后€=平面/1。后，

所以，BCmADE,而AOu平面AOE,所以BC_LZM.

(2)不妨設(shè)DA=DB=DC=2,BDVCD,:.BC=2C,DE=AE=垃.

：,AE2+DE2=4=AD2>:.AE工DE,又，AE1BC,DE'BC=E,￡>E,8Cu平面BCD

.?.AE_L平面5co.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)￡>(V2,0,0),4(0,0,72),2(0,品,0),E(0,0,0),

答案第12頁，共16頁

設(shè)平面與平面A5尸的一個(gè)法向量分別為〃?=（%,X，4）,%=（&,%*2），

二面角O—AB—R平面角為。，而A8=（0,JI一夜），

因?yàn)辂?次=（-應(yīng),0,0）,所以網(wǎng)-"0,忘），即有初=卜&,0,0）,

f-V2x,+V2z,=0

'Gx-低=0'取2'所以勺=（LU）；

0%一夜z,=0.

'-ji-o，取為=1，所以"=（o,i,i）,

所以"8網(wǎng)=圖=國壇=今從而sine=n=*.

所以二面角。-他-尸的正弦值為坦.

3

21.（1）—-^-=1

416

（2）證明見解析.

【分析】（1）由題意求得。力的值即可確定雙曲線方程;

（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與N4的方程,

聯(lián)立直線方程，消去丁，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得”x+2=-：1，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此

x-23

可證得點(diǎn)P在定直線x=T上.

22

【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為￡=1（。>0力>0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知。=26，

則由e=*=逐可得。=2,b=>Jc2-a2=4?

a

雙曲線方程為片-片=1.

416

（2）由（1）可得A（-2,0）,4（2,0）,設(shè)"（斗,乂）,%（々,％）,

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為》=歿-4,且-：<〃?<<,

與，戶1聯(lián)立可得（431）/一32.48=0

且△=64(4/+3)>0,

32m48

則y+%=

4/n2-1

答案第13頁，共16頁

直線"A的方程為y=T?(x+2),直線叫的方程為y=(X-2),

Xj-rZX-,—L

聯(lián)立直線"4與直線N4的方程可得：

x+2=%（占+2）=%（沖?-2）=陽心-2（%+%）+2乂

x-2》（占-2）y（"%-6）加X內(nèi)一6%

48。32777?。-16瓶/

m------------2?4/^2）1

4療一12

=

48-48m/3

mx——-——_6yE-6X

4"-1

由x=+=2一：i可得x=-l,即與=-1,

x-23

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線4-1上運(yùn)動(dòng).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和

綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算,

是解題的關(guān)鍵.

22.（1）證明見詳解（2）（-00,-72）（V2,+oo）

【分析】(1)分別構(gòu)建尸(x)=x-sinx,xe(O,l),G(x)=x2-x+sinx,xe(O,